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经典想相似图形
八年级数学(下)第四章《相似图形》经典试题选
1、如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3㎝,BC=7㎝,∠B=60°,P为下底BC上一点(不与B、C重合),连结AP,过P点作PE交DC于E,使得∠APE=∠B.
(1)求证:
△ABP∽△PCE;
(2)求等腰梯形的腰AB的长;(3)在底边BC上是否存在一点P,使得DE∶EC=5∶3?
如果存在,求出BP的长,如果不存在,请说明理由.
2、如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点E、F在AB上,∠ECF=45°.
(1)求证:
△ACF∽BEC;
(2)设△ABC的面积为S,求证:
AF·BE=2S.
3、如图,在
ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连结AE,F为AE上一点,且∠BFE=∠C.
(1)求证:
△ABF∽△EAD;
(2)若AB=4,∠BAE=30°,求AE的长;(3)在
(1)
(2)的条件下,若AD=3,求BF的长.
4、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠CAB交于点D,过点C作CE⊥AD于E,CE的延长线交AB于点F,过点E作EG∥BC交AB于G,AE·AD=16,AB=4
.
(1)求证:
CE=EF;
(2)求EG的长.
5、将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折线交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC交于点G,
(1)如果M为CD的中点,求证:
DE∶DM∶EM=3∶4∶5.
(2)如果M为CD上任一点,设AB=2a,问△CMG的周长是否与点M的位置有关?
若有关,请把△CMG的周长用含DM的长x(即DM=x)的代数式表示;若无关,请说明理由.
6、某生活小区的居民筹集资金1600元,计划在一块上、下底分别为10米,20米的梯形空地上种植花木如图①,
(1)他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花,单价为8元/㎡,当△AMD地带种满花后(图中阴影部分)共花了160元,请计算种满△BMC地带所需费用.
(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉两种花木可供选择,单价分别为12元/㎡和10元/㎡,应选择哪种花木,刚好用完所筹集的资金.(3)若梯形ABCD为等腰梯形,面积不变(如图②)请你设计一种花坛图案,即在梯形内找到一点P,使得△APB≌△DPC,且S△APD=S△BPC,并说明你的理由.
7、如图,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端在BC、CD上,若△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似,求CM的长.
8、如图,已知△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ∥AB,P点在AC上(与A、C不重合),Q在BC上.
(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,求CP的长.
(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长.(3)试问:
在AB上是否存在一点M,使得△PQM为等腰直角三角形,若不存在,请简要说明理由;若存在,请求出PQ的长.
9、操作:
如图,在正方形ABCD中,P为CD上一动点(与C、D不重合),使三角尺的直角顶点与点P重合,并且一条直角边始终经过点B,另一条直角边与正方形的某一边所在直线交于点E,探究:
(1)观察操作结果,哪一个三角形与△BPC相似?
并说明你的结论.
(2)当点P位于CD的中点时,你找到的三角形与△BCP的周长比是多少?
10、如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,DE⊥AC,M为DE的中点,AM与BE相交于N,AD与BE相交于F.求证:
(1)
=
;
(2)△BCE∽△ADM;(3)AM与BE互相垂直.
11、如图,在矩形ABCD中,AB=12㎝,BC=6㎝,点P沿AB边从点A开始向点B以2㎝/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1㎝/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6),那么
(1)当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形;
(2)求四边形QAPC的面积,提出一个与计算结果有关的结论;(3)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似?
12、如图,已知点E是四边形ABCD的对角线BD上一点,且∠BAC=∠BDC=∠DAE.
(1)求证:
BE·AD=CD·AE;
(2)根据图形特点,猜想
可能等于哪两条线段的比(只需写出图形中已有线段的一组比即可),并证明你的结论.
13、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,M是CD上的点,DH⊥BM于H,DH的延长线交AC的延长线于E.求证:
(1)△AED∽△CBM;
(2)AE·CM=AC·CD.
14、如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,D为CB延长线上一点,E为BC延长线上点,且满足AB2=DB·CE.
(1)求证:
△ADB∽△EAC;
(2)若∠BAC=40°,求∠DAE的度数.
15、如图,P为正方形ABCD的边BC上的点,BP=3PC,Q是CD中点,
(1)求证:
△ADQ∽△QCP;
(2)在现在的条件下,请再写出一个正确结论.
16、如图,在△ABC中,∠BAC=90°D为BC的中点,AE⊥AD,AE交CB的延长线于点E.
(1)求证:
△EAB∽△ECA;
(2)△ABE和△ADC是否一定相似?
如果相似,加以说明,如果不相似,那么增加一个怎样的条件,△ABE和△ADC一定相似.
17、已知,如图,在△ABC中,D是BC的中点,且AD=AC,DE⊥BC交AB于点E,EC与AD相交于点F.
(1)求证:
△ABC∽△FCD;
(2)若S△FCD=5,BC=10,求DE的长.
18、已知,梯形ABCD中,AD∥BC,AD AB=DC=2. (1)P为AD上一点,满足∠BPC=∠A, 求证: △ABP∽△DPC; (2)如果点P在AD边上 移动(P与点A、D不重合),且满足∠BPE=∠A, PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么, 当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x,CQ=y, 求关于的函数解析式,并写出函数的定义域. 19、已知,如图,等边三角形ABC中,AB=2,点P是AB边上的任意一点(点P与点A重合,但不与点B重合),过点P作PE⊥BC于E,过点E作EF⊥AC于F,过点F作FQ⊥AB于点Q,设BP=x,AQ=y. (1)写出y与x之间的函数关系式: (2)当BP的长等于多少时,点P与点Q重合;(3)当线段PE、FQ相交时,写出线段PE、EF、FQ所围成三角形的周长的取值范围. 20、如图,在△ABC中,AC=BC,F为边AB上的一点,BF∶AF=m∶n(m、n>0),取CF的中点D,连结AD并延长交BC于点E。 (1)求BE∶EC的值; (2)若BE=2EC,那么CF所在的直线与边AB有怎样的位置关系? 证明你的结论。 (3)E点能否成为BC中点? 若能,求出相应的m∶n,若不能,证明你的结论。 21、如图,已知,在△ABC中,BA=BC=20㎝,AC=30㎝,点P从A点出发,沿AB以4㎝/s的速度向点B运动;同时点Q从C点出发,沿CA以3㎝/s的速度向A点运动,设运动时间为x, (1)当x为何值时,PQ∥BC; (2)当S△BCQ∶S△ABC=1∶3时,求S△BPQ∶S△ABC的值;(3)△APQ能否与△CQB相似,若能,求出AP的长,若不能,请说明理由. 22、如图,△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连结AE. (1)写出图中所有相等的线段,并加以说明; (2)图中有无相似三角形,若有,请写出一对,若没有,请说明理由;(3)求△BEC与△BEA的面积之比. 1、 2、 3、 4、 5、 6、解: (1)∵四边形ABCD是梯形,AD∥BC, ∴△AMD∽△BMC, ∴ S△AMD S△BMC =( AD BC )2= 1 4 , ∵S△AMD= 160 8 =20m2, ∴S△BMC=20×4=80m2, ∴种满△BMC地带所需的费用为: 80×8=640元; (2)设△AMD的高为h1,△BMC的高为h2,梯形ABCD的高为h, 则 1 2 ×10•h1=20, 1 2 ×20•h2=80, 解得h1=4,h2=8, ∴h=4+8=12, S梯形ABCD= 1 2 (AD+BC)×h= 1 2 (10+20)×12=180, ∴S△AMB+S△CMD=180-20-80=80, 所种花木的单价是: (1600-160-640)÷80=800÷80=10元, ∴选择种茉莉花,可以刚好用完所筹集的资金; (3)如图,点P应在AD、BC的中垂线上,设△APD的高为x,则△BPC的高为(12-x), ∴S△APD= 1 2 ×10x=5x, S△BPC= 1 2 ×20(12-x)=120-10x, ∵S△APD=S△BPC, ∴5x=120-10x, 解得x=8, ∴点P在AD、BC的中垂线上,且到AD的距离等于8米时,S△APD=S△BPC. 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 证明: 因为在RT三角形ABC中,角ACB=90度,CD垂直于AB, 所以三角形ACD相似于三角形CBD, 所以角ACD=角CBD,角A=角BCM, 同理因为CD垂直于AB,DH垂直于BM, 所以三角形MDH相似于三角形DBH, 所以角MDH=角DBH, 因为角ACD=角MDH+角E, 角CBD=角DBH+角CBM, 所以角E=角CBM, 又因为角A=角BCM, 所以三角形AED相似于三角形CBM。 (2)证明: 因为三角形AED相似于三角形CBM, 所以AE/BC=AD/CM, 所以AExCM=BCxAD, 因为三角形ACD相似于三角形CBD, 所以AC/BC=AD/CD, 所以ACxCD=BCxAD, 所以AExCM=ACxCD。 14、 15、 16、 17、 18、 19、 1、∵△ABC是等腰三角形 ∴∠A=∠B=∠C=60°,AB=BC=AC=2 ∵PE⊥BE,∠B=60° ∴∠BPE=30° ∴BE=1/2BP=1/2X ∴EC=BC-BE=2-1/2X 同理EF⊥AC,∠C=60° FC=1/2EC=1/2(2-1/2X)=1-1/4X ∴AF=AC-FC=2-1+1/4X=1+1/4X 同理FQ⊥AB,∠A=60° ∴AQ=1/2AF=1/2(1+1/4X)=1/2+1/8X ∴Y=1/2+1/8X 2、当BP的长等于多少时,点P与点Q重合 那么X+Y=2 Y=1/2+1/8X 解: X=4/3 3、y=AQ=1+x/8 当x+y=2时P,Q重合 即x+1+x/8=4,x=4/3时,P,Q重合 PE=(√3)x/2,EF=(√3)(1-x/4),FQ=(√3)(1+x/4) pE+EF+FQ=(√3)(x/2+1-x/4+1+x/4)=(√3)(2+x/2) 当4/3 t=QP 2=AQ+QB=AQ+(BQ+QP)-QP=AQ+BP-QP=1+x/8+x-QP QP=1+x/8+x-2=9x/8-14/3 OQ=PQ/√3=(9x/8-1)(√3)/3, OP=2PQ=2(9x/8-1)√3/3 L=PE+EF+FQ-OQ-OP =(√3)(2+x/2)-(√3)(9x/8-1) =(√3)(3-5x/8)4/3 由: 4/3 -5/6>-5/8x≥-5/4 3-5/6>3-5/8x≥3-5/4 13/6>7-5/8x≥7/4 即: 13√3/6>L≥7√3/4 20、 1.过C做AB平行线,交AE延长线于G ∵CD=DF ∴△CDG≌△FDA ∴CG=AF ∵CG//AB ∴BE/EC=AB/CG=(AF+BF)/AF=(m+n)/n 2.CF⊥AB ∵m+n=2n-->m=n ∴F为AB中点 ∵AC=BC 三线合一 CF⊥AB 3.不能 若为中点 m+n=n-->m=0,显然不能成立 21、 22、 有三角形AEC相似于三角形ADE,三角形ABC相似于三角形BDC。 直接给你把两个的证明过程都给你吧,这样容易看明白。 证明过程如下: 证明: (1)由于∠BDC=60°,CE⊥BD;故∠ACE=30°,且CD=2ED。 又CD=2DA,故ED=DA。 则有∠EAD=∠AED=30°。 至此,∠ACE=∠AED,∠EAC=∠DAE。 故三角形AEC相似于三角形ADE。 (2)由上可知,∠AED=∠DAE=30°,又∠BAC=45°,则: ∠EAB=∠EBA=15°。 即EB=EA。 又∠EAC=∠ACE=30°,则: EC=EA;因此EC=EB,即∠CBE=∠BCE又CE⊥BD,即∠BEC=90°。 故∠CBE=45°。 至此,∠BCD=∠ACB,∠CBD=∠CAB故三角形ABC相似于三角形BDC。
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