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168自主招生试题及答案
2009-2011年168自主招生试题及答案
2011年合肥168中学自主招生数学试题及答案
一、选择题
3、已知:
y=1/2(x的平方-100x+196+|x的平方-100x+196|),当x=1,2,到100,求这100个自然数的和的函数值
解法一:
对于函数x^2-100x+196,它可因式分解为(x-2)(x-98),所以当x=2x=98时,这个函数为0
当2
所以当x=2、3、、4、……、98时,y都为0
当x=0时,y=1/2*(196+196)=196
该函数的抛物线为x=50,所以x=1和x=99的值相等,当x=1时,y=1^2-100+196=97
所以这100个自然数的值为196+97*2=390
解法二:
当2≤x≤98时,因为x^2-100x+196=(x-2)*(x-98)≤0,
所以恒有y=[x^2-100x+196-(x^2-100x+196)]/2=0,
当x=1,99,100时,y=[x^2-100x+196+(x^2-100x+196)]/2=x^2-100x+196。
y
(1)=y(99)=97,y(100)=196。
所以:
y
(1)+y
(2)+y(3)+y(4)+……+y(97)+y(98)+y(99)+y(100
=97+0+0+0+……+0+0+97+196=390。
5、设a平方+1=3a,b平方+1=3b,且a不等于b,则代数式1/a平方+1/b平方的值是
解:
a²+1=3a,b²+1=3b,则:
a、b是方程x²+1=3x即x²-3x+1=0的两个根,则:
a+b=3且ab=1
1/a²+1/b²=[a²+b²]/(ab)²=[(a+b)²-2ab]/(ab)²=7
6、如图,一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等,当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转,直至回到原出发位置时,则这个圆共转了()
解:
小球周长和三角形边长相等,因此在每条边转动了360°(即转1圈)
三条边一共3圈。
每经过一个顶点,需要转120°:
180-60=120°
三个顶点一共多转了120*3=360°,即1圈
因此,一共转了4圈,(或者1440°
7、如图,等边△ABC的边长为10cm,以AB为直径的⊙O分别于,CA,CB于DE两点,则图中阴影部分的面积为
解:
解:
∵△ABC为等边三角形,
∴∠A=∠B=60°
又∵AB是⊙O的直径,
∴AO=AD=DO=BO=BE=EO=1/2AB=5
∴∠DOE=60°
∴S⊿ADO+S⊿BEO=2×(1/2)×5×(5/2)√3=(25/2)√3
S扇形ODE=(60°/360°)×π×5²=(25/6)π
又∵S⊿ABC=(1/2)×10×5√3=25√3
∴阴影部分的面积为:
S⊿ABC-S⊿ADO-S⊿BEO-S扇形ODE
=25√3-(25/2)√3-(25/6)π
=(25/2)√3-(25/6)π
8、如图,在正方形ABCD中,N是DC的中点,M是AD上异于D点的任一点,且∠NMB=∠MBC,求tan∠ABM的值
解:
过点N作直线NO平行于MB,交BC于点O
∵∠NMB=∠MBC,NO‖MB
∴四边形BMNO为等腰梯形
∴BO=MN
∵N是DC的中点
∴BO²=MN²=DM²+DN²=(AB-AM)²+(AB/2)²
∵NO‖MB,AD‖BC
∴∠AMB=∠MBC=∠NOC
∴⊿AMB∽⊿CON
∴OC/CN=AM/AB=(AB-BO)/(AB/2
∴BO=AB-AM/2
得到方程式
AB-AM)²+(AB/2)²=(AB-AM/2)²
解方程得:
AB²-2*AB*AM+AM²+AB²/4=AB²-AB*AM+AM²/4
AB²/4-AB*AM+3/4*AM²=0
AB/2-3/2*AM)(AB/2-AM/2)=0
AB=AM或AB=3AM
∵AB=AM时M重合于D,不合题意。
∴AB=3AM
∴tan∠ABM=AM/AB=1/3
二、填空题
10.若关于x的不等式组只有4个整数解,求a的取值范围.
解不等式1得x
解不等式2得x>2-3a
结合两解得2-3a
而x有四个整数解,观察上式可知,这四个整数解为20、19、18、17,
所以16
-5
11.在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=5,P是三角形ABC内一点,且PA=根号5,PC=5,则PB=?
作PH⊥AC,BG⊥AC,垂足H,G,
PI⊥BG,垂足I,
∵△ABC是等腰RT△,
∴AC=√2AB=5√2,
在△PAC中,根据勾股定理,
PA^2-AH^2=PC^2-CH^2=PH^2
5-AH^2=5^2-(5√2-AH)^2,
∴AH=3√2/2,
∵AG=AC/2=5√2/2,
∴HG=AG-AH=√2,
PH=√(PA^2-AH^2)=√2/2,
∵BG=AC/2=5√2/2,
∵四边形PHIG是矩形,
∴IG=PH=√2/2,
PI=HG=√2,
BI=BG-IG=BG-PH=2√2,
在RT△BPI中,根据勾股定理,
PB^2=BI^2+PI^2=8+2=10,
∴PB=√10。
12、已知圆环的内直径为acm,外直径为bcm,将50个这样的圆环一个接一个环套环地连成锁链如图1,单位;cm,那么这条锁链拉直的长度是多少厘米?
50个内径共50acm,外加两边两个外径(b-a)cm,共50a+b-a=49a+b(cm)。
13.下面是按照一定规律画出的“树形图”,经观察可以发现:
图
(2)比图
(1)多出2个“树枝”,图(3)比图
(2)多出5个“树枝”,图(4)比图(3)多出10个“树枝”,照此规律,图(7)比图(6)多出()个“树枝”。
答案60
解:
∵图A2比图A1多出2个“树枝”,图A3比图A2多出4个“树枝”,图A4比图A3多出8个“树枝”,…,
∴图形从第2个开始后一个与前一个的差依次是:
2,22,…,2n-1.
∴第5个树枝为15+24=31,第6个树枝为:
31+25=63,
∴第(6)个图比第
(2)个图多63-3=60个.
故答案为:
60.
如图,下面是按照一定规律画出的“树形图”,经观察可以发现:
图A2比图A1多出2个“树枝”,图A3比图A2多出4个“树枝”,图A4比图A3多出8个“树枝”,…,照此规律,图A6比图A2多出“树枝”()
请问能不能用n来表示这个规律
A(n+1)比A(n)多2^n树枝
A(n)树枝总数为2^n-1
A6比A2多2^6-2^2=60
14.已知对于任意正整数n都有a1+a2+...+an=n^3,则(1/a2-1)+(1/a3-1)+...+(1/a100-1)=_____a1+a2+...+a(n-1)+an=n³(1
a1+a2+...+a(n-1)=(n-1)³(2
1)-(2
an=n³-(n-1)³
=[n-(n-1)][n²+n(n-1)+(n-1)²]
=3n²-3n+1
1/(an-1)=1/(3n²-3n+1-1)=1/(3n²-3n)=(1/3)×1/(n²-n)=(1/3)×1/[n(n-1)]=(1/3)[1/(n-1)-1/n]
1/(a2-1)+1/(a3-1)+...+1/(a100-1
=(1/3)[1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/(99)-1/100]
=(1/3)(1-1/100
=(1/3)(99)/100
=33/100
已知对于任意正整数n,都有a1+a2+……+an=n^3,则
11
如图,已知A、B是线段MN上的两点,MN=4,MA=1,MB>1,以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设AB=x。
(1)求x的取值范围;
(2)若△ABC为直角三角形,求x的值;
(3)探究:
△ABC的最大面积?
答案(找作业答案--->>上魔方格)
12
)在△ABC中,∵AC=1,AB=x,BC=3-x,
,
x
若AC为斜边,则1=x2+(3-x)2,即x2-3x+4=0,无解;
为斜边,则x2=(3-x)2+1,解得x=,
x
为斜边,则(3-x)2=1+x2,解得x=,满足1
或x=;
△ABC中,作CD⊥AB于D,设CD=h,△ABC的面积为S,则S=甲所示,若点D在线段AB上,
,
+1-h2,即x=3x-4,)2-h2=x2-2x
h2)=9x2-24x+16,即x2h2=-8x2+24x-16,
,2h2=-2x2
+6x-4=-2
时(满足≤x
,从而S取最大值13,
乙所示,若点D在线段MA上,则
=-2x2+6x-4=-2(x-)2
+,,得,S2=
,时S
②得,△ABC的最大面积为。
17、如图所示,AB是圆O的直径,AB=d,过A作圆O的切线并在其上取一点C,使AC=AB,连接OC交圆O于点D,BD的延长线交AC于E,求AE的长
14
3
18、(2008•杭州)在直角坐标系xOy中,2设点A(0,t),点Q(t,b)(t,b均为非零常数)
.平移二次函数y=-tx2的图象,得到的抛物线F满足两个条件:
①顶点为Q;②与x轴相交于B,C两点(|OB|<|OC|).连接AB.
2
(1)是否存在这样的抛物线F,使得|OA|=|OB|•|OC|?
请你作出判断,并说明理由;
(2)如果AQ∥BC,且tan∠ABO=
,求抛物线F对应的二次函数的解析式.
考点:
二次函数综合题.
专题:
压轴题.
分析:
(1)平移二次函数y=-tx2的图象,得到的抛物线F,则抛物线的二次项系数不变,顶点
2为Q,则函数的解析式就可以直接写出.是y=-t(x-t)+b.|OB|•|OC|就是一元二次方程-t(x-t)
2+b=0的两根的积得绝对值,因而可以用根据韦达定理,利用t表示出来.而OA=t,根据|OA|2=|OB|•|OC|就可以得到一个关于t的方程.从而把问题转化为判断方程的解得问题.
(2)AQ∥BC即Q得纵坐标是b=t,得到抛物线F是:
y=-t(x-t)2+t.就可以求出B,C的坐标.已知tan∠ABO=
32
,就是已知OA与OB得比值,即t的关系.就可以转化为方程问题解决.
解答:
解:
(1)存在这样的抛物线F,使得|OA|2=|OB|•|OC|.
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2013年合肥一六八中学自主招生考试数学试卷答案
1.C。
2.D。
(PD=7,PB=6)
3.B或C。
(若a+b+c≠0,则k=2,选B;若a+b+c=0,则k=-1,选C)
4.B。
(ax中若x为偶数则ax=-x/2,若x为奇数则ax=-x/2+1/2)
5.C。
(分别为1、1、7,1、2、4,1、3、1和2、1、2)
6.B。
(易证△OBC∽△BAC,可得比例式1:
a=a:
(a+1),解方程并排除负解得B)
7.B。
(由n+m=4s,可知AD²/4+BC²/4=AB²即AD²+BC²=4AB²,作BE∥AD交CD于E,可证得△BEC是直角三角形且四边形ABED是平行四边形,∴AD=BE,AB=DE,
AD²+BC²=CE²,于是得4AB²=CE²即2AB=CE即2DE=CE,所以CD=3AB)
8.C。
(通过十字相乘法分解因式,得y=(nx-1)[(n+1)x-1],故其与x轴交点为1/n和1/(n+1),所截得线段长度为1/n-1/(n+1)。
所以线段长度之和为
1-1/2+1/2-1/3+…+1/2013-1/2014=2013/2014)
9.3EQ\R(,3)。
(连接OB,OA⊥AP,OB⊥BP,易算出∠BAP和∠ABP为60°,于是得△ABP为等边三角形;易算
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