高中数学教案精华doc.docx
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高中数学教案精华doc
《函数y=Asin(ωx+φ)的图象》(自用)
教材:
人民教育出版社全日制普通高级中学教科书(必修)
《数学》数学第一册(下)第四章第9节
一、
教材分析
1.教学内容
本节主要是通过图像变换和五点法作出函数y=Asin(介绍函数y=Asin(ωx+φ)(A.>0,ω>0)的性质,及它与
ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象,
y=sinx的图象的关系。
2.本节教材的地位与作用
由正弦曲线变换得到y=Asin(ωx+φ)(A.>0,ω>0)图象的思维过程充分体现了由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想,训练了学生运用数形结合的思想解决问题的能力。
函数y=Asin(ωx+φ)(A.>0,ω>0)是学生继学习了正弦函数、余弦函数之后要学习的又一重要的三角函数,它与高中物理课程中的“机械波”的内容与之紧密相关,因此能为实际问题的解决提供良好的理论依据。
同时,本节教材也是培养学生观察、分析、类比、归纳和
探究的数学能力的重要素材。
3.教学重点、难点
重点:
通过图象变换和五点法作出函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象,掌握参
数A、ω、φ对其形状和位置的影响,分析其与函数y=sinx的图象的关系。
难点:
理解并掌握函数y=Asin(ωx+φ)(A.>0,ω>0)的图象变换规则。
参数A、ω、
φ变换的顺序不同时,变换的规则不同,容易发生混淆。
教学过程中让学生自主
探索,加强对变换顺序的理解,正是为了攻克难点。
4、课时安排
本节内容将安排1课时时间完成教学。
二、教学目标
1
y=Asin(
ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象;
知识目标:
○通过图象变换和五点法作出函数
2
ω>0)的性质;
○函数y=Asin(ωx+φ)(A.>0,
3
ω>0)的图象变换规则。
○理解并掌握函数y=Asin(ωx+φ)(A.>0,
能力目标:
让学生观察并分析函数
y=Asin(
ωx+φ),(A.>0,ω>0)的图象,分析A、
ω、φ的变化对函数图象的形状和位置的影响,
总结出图象的基本变换规则。
培养学生化归和数形结合的思想,
训练学生自主地获取知识的能力,
以及在
所学知识的基础上进行再创新的能力。
情感目标:
激发学生的好奇心,
刺激学生的探究心理,培养学生的学习积极性,提高对
数学的兴趣。
理论联系实际,使学生受到唯物主义观点的教育。
三、教法与学法分析
1.教法分析
本节课设计的指导思想是:
现代认知心理学——建构主义学习理论。
采用探究式教学方法,创设情景,通过多媒体课件的直观演示,启发引导学生发现问题、联想类比,同时让学生动手画图来验证猜想。
通过点化问题,引导学生观察、分析图象的变化,自主地总结出变化规律,有利于突破教学难点,提高学生的分析归纳能力。
2.学法指导
本节课注重调动学生积极思考、主动探索,尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空
间,学生在探究的过程中被激发起好奇心和创新意识,通过观察分析、联想类比、总结归纳
的方法掌握教学目标。
四、教学过程
本节内容的教学过程如下:
1.创设情景→2.对比探索→3.探究规律→4.归纳小结→5.应用新知→6.课堂小结→7.布置作业。
教学
环节
教学程序设计意图
1.创设
情景,引
发兴趣
2.对比
探索,分
析归纳
在物理中,弹簧振子位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y=Asin(ωx+φ)(其中A、ω、φ都是常数)的函数。
(演示课件)
设问:
这个图象与y=sinx的图象有什么关系?
若将函数y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象,应采用怎样的方法和步骤?
例1、利用五点法在同一坐标系中作
出y=2sinx与y=1sinx的简图,
2
并指出它们的图象与y=sinx的关系。
(引导学生得出规律)
例2、利用五点法在同一坐标系中作
出=sin2x与y=sin1x的简图,
2
并指出它们的图象与y=sinx的关系。
(引导学生得出规律)
例3、利用五点法在同一坐标系中作
①从学生已熟悉的弹簧振子的“位移——时间”图象来引发设问,使新课引入
显得自然、易于接受。
②让学生明确理论是从实践中来,又回到实践中去。
使学生学习研究目的性更加明确。
以这3个例子来学习三种基本变换,引导学生观察变换过程中的不变量,得出结论。
必要时由老师给予适当的提示和启发。
(让学生大胆尝试,使学生对函数图象有一个初步的感性认识。
)
出y=sin(x+)与y=sin(x-)
34
的简图并指出它们的图象与y=sinx的关系。
(引导学生得出规律)
3.探究
例4、作出函数y=3sin(2x+
)的简
规律,掌
3
握新知
图,并指出它的图象与
y=sinx
的关系。
(引导学生揭示规律)
变换方法有两种:
1)先平移变换,再周期变换,最后作振幅变换。
2)先周期变换,再平移变换,最后作振幅变换。
学生在碰到这个问题时,很感兴趣,因为它和例3很相似,因此可能会猜想
“左移个单位长度”,这时引导学
3
生通过“五点法”作图验证,就会发现猜想是错误的。
不过这不要紧,这样更加能激发学生的好奇心和求知欲,于是,很快掀学习的高潮,从而给学生搭建起一个实践探究的平台。
4.归纳①总结出函数y=Asin(ωx+φ)
小结,展
(A>0,ω>0)的图象与y=sinx
示规律
的图象的关系。
②
指明y=Asin(
ωx+φ),(A.>0,
ω>0)x∈[0,+
∝]在物理学中的
具体应用并指出
A、、ωx+φ、φ
相应的名称。
③
让学生认真总结,在探索与交流
中去体会不同的变化顺序对变化
○1展示函数y=Asin(ωx+φ)(A.>0,ω>0)的图象变换规则,攻克难点。
2引导学生对所学的知识、数学思想方法
○
进行小结。
○3引导学生对学习过程进行反思,为今后的学习中进行有效调控打下良好的基础。
规则的影响。
5.应用
完成P67的练习
当堂练习有利于巩固知识,强化学的效
新知,当
果。
堂练习
6、课堂
1以不同顺序变换A、ω、φ的方法
巩固学习效果,强调学习重点
○
小结
2用五点法和变换关系作函数
○
y=Asin(ωx+φ)的图象
7.布置
1习题题
2、3、4、5
布置作业有弹性,避免一刀切。
○
作业,巩
2思考:
用示意图表示:
将
使学有余力的学生进一步训练逆向思维,
固提高
○
使知识掌握更加深刻。
y=2sin(3x-
)的图象变换为y=sinx
2
的图象的过程。
五、板书设计:
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
例3
例1
例4
例2
《反函数》
教材:
人民教育出版社全日制普通高级中学教科书(必修)
《数学》数学第一册(上)第二章第4节
一、教材分析
1.教学内容
本节教材内容涉及反函数的概念,反函数的求法。
函数从本质上讲是函数,原函数与反
函数互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称。
2.本节教材地位与重要性
“反函数”一节课是《高中数学》第一册的重要内容。
这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系,通过对这一节课的学习,既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数
的求法,又可使学生加深对函数基本概念的理解,还为日后反三角函数的教学做好准备,起
到承上启下的重要作用。
3.重点与难点
重点:
反函数的概念及反函数的求法。
理解反函数概念并求出函数的反函数是高一数学
教学的重要内容,这建立在对函数概念的真正理解的基础上,必须使学生对于函
数的基本概念有清醒的认识。
难点:
反函数概念的接受与理解。
学生对于反函数的来历、反函数与原函数间的关系都
容易产生错误的认识,必须使学生认清反函数的实质就是函数这一本质问题,才
能使学生接受概念并对反函数的存在有正确的认识。
教学中复习函数概念,进而
引出反函数概念,就是为突破难点做准备。
4.课时安排
本节内容将安排
1课时时间完成教学。
二、教学目标
知识目标:
1理解反函数的概念,并能判定一个函数是否存在反函数;
○
○2掌握反函数的求法,并能理解原函数和反函数之间的内在联系;
能力目标:
通过观察、分析、抽象、推理得出数学规律,培养学生的数学意识。
通过作
图,加强学生对数形结合的数学思想的理解,训练学生自主地获取知识的能
力,和在所学知识的基础上进行再创新的能力。
情感目标:
使学生树立对立统一的辩证思维的观点。
三、教法与学法分析
1.教法分析
根据本节课的内容及学生的实际水平,将采取引导发现式教学方法并充分发挥电脑多媒
体的辅助教学作用。
引导发现法作为一种启发式教学方法,体现了认知心理学的基本理论。
教学过程中,教
师采用点拨的方法,启发学生通过主动思考、动手操作来达到对知识的“发现”和接受,进
而完成知识的内化,使书本的知识成为自己的知识。
课堂不再成为“一言堂”,学生也不会
变成教师注入知识的“容器”。
电脑多媒体以声音、动画、影像等多种形式强化对学生感观的刺激,这一点是粉笔和黑
板所不能比拟的,采取这种形式,可以极大提高学生的学习兴趣,加大一堂课的信息容量,
使教学目标更完美地体现。
另外,电脑软件具有良好的交互性,可以将教师的思路和策略以
软件的形式来体现,更好地为教学服务。
2.学法指导“授人以鱼,不如授人以渔”,在教学过程中,不但要传授学生课本知识,还要培养学
生主动观察、主动思考、自我发现的学习能力,增强学生的综合素质,从而达到教学的终极目标。
教学中,教师创设疑问,学生想办法解决疑问,通过教师的启发点拨,在积极的双边活动中,学生找到了解决疑难的方法。
整个过程贯穿“怀疑”——“思索”——“发
现”——“解惑”四个环节,学生随时对所学知识产生有意注意思想上经历了从肯定到否定、又从否定到肯定的辨证思维过程,符合学生认知水平,培养了学习能力。
四、教学过程
在新课导入、新课讲授及终结阶段的教学中,力求发挥学生自我发现的能力,突出学生的教学主体地位,以启发、引导为教师的责任。
教学
教学程序
设计意图
环节
1.新
物体做匀速直线运动,位移
s是时间t的函数,
这样的引入方式,抓住了
课导
即s=vt(v是常量)。
反过来,时间
t是位移s的函
反函数概念的实质,确保学生
入
数,即t=s/v。
不会产生概念上的偏差。
此
例如,由函数y=2x+6(x∈R)可以得到x=y/2-3,外,可以使学生明白新知识来
对于y在R中的任何一个值,通过
x=y/2-3,x在R
源于旧知识,促使学生主动运
中都有唯一的值和它对应,即
x是y的函数。
用函数的研究方法去学习反
引出反函数。
函数,为顺利完成教学任务做
好思维上的准备。
2.提
在导入的基础上,给出反函数的具体概念。
层层深入,揭示反函数的
炼新
进一步深化对概念的理解,设置疑问:
(1)反函
定义,逐步加深学生对反函数
知
数是不是函数;
(2)反函数有没有三要素?
如何确
的认识。
通过实例,讲解如何
定?
(多媒体课件展示)
求一个函数的反函数,达到突
引导学生思索,使学生认识到:
反函数也是函数,
破重点、难点的目的。
其定义域是原函数的值域,对应法则可由原函数得
到,值域则是原函数的定义域。
函数
y=f(x)与函数
y=f-1(x)互为反函数
例1求下列函数的反函数。
(1)y=3x-1(x∈R);
(2)y=x3+1(x∈R);
(3)x+1(x≥0);
3.应
用拓
展
(4)y=(2x+3)/(x-1)(x∈R且x≠1).
通过实例讲解反函数的求法,特别强调:
注意反
函数的定义域
例2求函数y=3x-2(x∈R)的反函数,并且画
出原来的函数和它的反函数的图象。
例3求函数y=x3(x∈R)的反函数,并且画出
通过函数图像来研究问题,直观形象,符合学生的认知规律,加深了学生对反函数
原来的函数和它的反函数的图象。
多媒体课件展示求解过程和图象,引导学生观察分析,揭示原函数与反函数图象间的关系:
两者关于直线y=x对称。
4.课完成P63的练习题1-6,并讲解。
堂练
习
5.归○1反函数的概念;
纳小
2反函数与原函数的关系:
两者互为反函数,两者的
结
○
图象关于直线
y=x对称。
6.布
习题题1、2、
3,题4、5、6选做。
置作
思考:
已知函数
y=f(x),(x∈A)是增函数,问:
反
的认识。
当堂练习有利于巩固知识,强化学的效果,并且有利于及时发现学生存在的问题。
巩固学习效果,强调学习重点。
1布置作业有弹性,避免一刀
○
业函数y=f-1(x)单调性如何?
图象中如何反映?
五、板书设计
反函数
切。
○2使学有余力的学生进一步训练逆向思维,使知识掌握更加深刻。
例1例2
例3
等比数列的前n项和
一、教材分析
1.教学内容
《等比数列的前n项和》是人教版高中数学第一册上第三章第五节的内容。
它的主要内
容是首先通过具体例子说明如何求等比数列前n项和,然后推导出等比数列的前n项和公式,
最后举例说明公式的运用。
2.教学内容的地位和作用
数列在整个中学数学教学内容中,处于一个知识汇合点的地位,很多知识都与数列有着密切联系,过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的
应用,而学习数列又为后面学习数列与函数的极限等内容作了铺垫,并且与前面学习的函数知识有着密切的联系。
它的公式推导过程中所渗透的递推、类比、化归、分类讨论、整体变
换和方程等思想方法,都是学生今后学习生活中必备的数学素养,且在现实生活中有着广泛的实际运用。
3.教学重点难点分析
重点:
等比数列的前n项和公式及其应用。
等比数列的前n项和公式在实际生活中有着
广泛的应用,这一节的内容贯彻了理论联系实际的思想,有利于提高学生的观察、思考和实
践能力。
难点:
等比数列的前n项和公式的推导。
在推导过程中第一次运用了错位相减法,根据
高一学生的认知水平,这一点理解起来有一定的难度。
4.课时安排
《等比数列的前n项和》共安排2课时,第1课时主要内容是等比数列前n项和的公
式的推导,并能灵活运用公式解决问题。
第2课时主要内容是通过讲解典型例子深化知识,
加强学生运用公式的灵活性。
二、教学目标分析
结合教材和新课标,制定如下的教学目标:
1、知识目标:
理解等比数列的前n项和公式的推导过程,掌握等比数列的前n项和公
式及其运用。
2、能力目标:
通过推导公式,提高学生的建模意识及探究问题、分析问题与解决问题
的能力,体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方式,学习推导过程中运用到的递推方法,体会方程思想、分类讨论思想及转化思想。
3、情感目标:
通过实际生活例子,探索并推导出公式,激发学生的求知欲,培养学生
大胆尝试、勇于探索的思维品质。
另外通过本节的学习,使学生体会到数学与现实生活之间的联系,感受学习数学的意义所在。
三、教法学法分析
(一)教法分析
以学生为主,采用启发式教学方式,教师根据具体的例子,引导学生思考,自主分析问
题,然后由师生共同归纳总结,推导出公式,学生掌握公式之后再将其运用到实际的例子中去。
公式的学习采用这种方式,便于学生的理解和掌握。
另外,还可利用多媒体辅助教学。
(二)学法分析
学情分析:
高一的学生具备了一定的分析问题和解决问题的能力,逻辑思维能力也初步
形成,但其探究能力还有待提高。
同时已经学习并掌握了等差数列的前n项和的公式以及对
等比数列已有初步的认识,已具备良好的知识基础。
类比和对比法:
等比数列前n项和的公式与之前所学的等差数列前n项和公式都是在首
先建立方程的基础上进行推导而得的,将二者比较起来学习,可以进一步认识他们之间的区
别和联系,以加深对等比数列的前n项和的理解。
练习巩固法:
通过各种例子,练习巩固对公式的掌握。
学生的学习过程应该为“具体—
抽象—具体”,从感性认知到理性思维,从具体到抽象是归纳总结的过程,从抽象到具体是运用推广过程,学生应该遵循这一规律,循序渐进的学习。
四、教学程序
1、知识回顾
等比数列的通项公式。
2、设立情景,引入课题
引例:
小明的爸爸每半月给小明300元的生活费,一天小明回家告诉爸爸,他以后不再
一次性拿300元,改成第一天拿1分钱,第二天拿2分钱,第三天拿4分钱⋯⋯以后每天都拿前一天的2倍,请问如果你是小明,你会这样做吗?
【设计意图:
“生活费”这一词是学生在生活中经常会接触到的,引入这一词能立刻激发
学生的兴趣,促进学生积极学习,培养学生勇于探索的求知精神。
】
3、分析推导,得出公式
根据引例,得到数列
1,2,4,⋯,2^14,这实际上是求以
1为首项、2为公比的等比数
列的前15项和,即:
S
15=1+2+4+⋯+2^
14
①
等式两边乘以公比
2得到:
2S15=2+4+8+⋯+2^
15
②
将②错位,与①对应,得到方程组③:
S15=1+2+4+⋯+2^14
2S15=2+4+8+⋯+2^15
解方程组得到:
S15=2^15-1,则S15=32767.
说明:
这一部分的推导由老师讲授给学生,
在讲授过程中要注意引导学生积极思考:
为
什么要将等式两边同时乘以
2?
那为什么不同时乘以
3呢?
【设计意图:
在教学过程中渗透递推、方程、
转化的数学思想,使学生体会数学思想的
奇妙,促发学生进行进一步研究和探索。
】
由以上对特殊例题的学习转变到对一般公式的推导:
设有等比数列:
a1,a2,a3,⋯⋯,an
其前n项和为:
Sn=a1+a2+a3+⋯⋯+an
④
根据等比数列的通项公式可以将公式④改写成:
S
n
111
2
1
n-1
⑤
=a+aq+aq^+⋯⋯+aq^
说明:
学生学习了引例之后,
已经可以通过类比列出推导过程,
所以老师在讲授到这里
时,可以将接下来的推导过程留给学生自己做。
得到等比数列的前n项和的公式为:
q≠1
时,
q=1时Sn=na1
【设计意图:
由特殊向一般转化,体现了数学的转化思想。
通过“老师引导和学生自主学
习”的方式推导出公式,可较好地培养学生的动手能力和创新精神,并且能加强学生对知识的理解。
】
4、举例分析
讲解教材例2:
某商场第1年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年增
加10%,那么从第1年起,约几年内可使总销售量达到30000台(保留到个位)?
说明:
此题由教师引导学生完成。
本例中解题的关键点在于判定出题目所给的信息分别
对应公式中的哪一项,特别提醒学生注意“平均每年的销售量比上一年增加10%”,表示的
是q为1+10%而不是10%,要善于将文字条件转换为数字条件。
【设计意图:
此题的题意与实际相联系,解决除了可以使学生对公式更加熟悉,还可以
培养学生在实际生活中去分析问题解决问题的能力。
】
5、总结归纳,课堂练习
总结以下的知识:
①请同学们回忆推导公式的过程,并自己归纳在推导过程中运用到哪些数学方法。
②等比数列的前n项和公式。
课堂练习:
P128,2.
(1)
和P129,3.
(1)
抽学生在黑板上解答,
以查看学生是否掌握了本节的重点知
识,并及时发现学生存在的问题和疑点。
同时其他的同学做第
2.
(2)
题,并随机抽查一名学
生的完成情况,以达到监督其他学生的目的。
6、作业布置
P129习题的
1、2、4题。
思考:
等差数列
等比数列
a
d
n
a
n
S
a
1
q
n
a
S
1
n
n
n
1/2
1/2
8
1/2
1/2
8
27
2/3
8
27
2/3
8
-2
-96
-63
-2
-96
-63
【设计意图:
P129习题的1、2、4题,1题可以巩固基础知识,2题4题,理论联
系实际,培养学生的实践思维。
给出思考题的目的一方面是让学生回忆等差数列和等比数列
的通项公式和各自前n项和的公式并对二者进行类比,可加强以及并深化对知识的理解;另
一方面让学生熟悉通过建立方程来解决问题的方法,体会方程思想的妙处。
】
7、板书设计
课题:
等比例数列的前
n项和
引例
学生练习
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