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数字信处理课后习题答案
数字信号处理(姚天任江太辉)第三版
课后习题答案
第二章
2.1判断下列序列是否是周期序列。
若是,请确定它的最小周期
(1)
x(n)二Acos(
5n
8
6)
(2)
x(n)=ej(-
8
)
(3)
x(n)=Asin(
3n
4
3)
解
(1)对照正弦型序列的-
般公式
x(n)二Acos(
n),得出5。
因此
8
216是有理数,所以是周期序列。
5
最小周期等于
N=^k16(k取5)。
5
(2)对照复指数序列的
般公式
x(n)二exp[
j]n,得出1。
因此216
8
是无理数,所以不是周期序列。
(3)对照正弦型序列的
般公式
x(n)二Acos(
3
n),又x(n)二Asin(n)
43
=Acos(—.门—)=Acos(—n
丄),得出
3。
因此28是有理数,所以
243
4
6
43
是周期序列。
最小周期等于
N=-k
3
8(k取3)
2.2在图2.2中,x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。
计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n),并画出y(n)的图形。
解利用线性卷积公式
y(n)=x(k)h(nk)
k
按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法,计算
y(n)的每一个取样值
(a)y(0)=x(0)h(0)=1
y(l)=x(0)h
(1)+x
(1)h(0)=3
y(n)=x(O)h(n)+x
(1)h(n-1)+x
(2)h(n-2)=4,n
(b)x(n)=2
(n)-
(n-1)
h(n)=-
(n)+2
(n-1)+
(n-2)
y(n)=-2
(n)+5
(n-1)=
(n-3)
(c)y(n)=
u(k)
k
nk
au(nk):
nk1an1/\
=a=.au(n)
kia
2.3计算线性线性卷积
(1)y(n)=u(n)*u(n)
(2)y(n)=nu(n)*u(n)
解:
(1)y(n)二u(k)u(nk)
k
u(k)u(nk)=(n+1),n>0k0
即y(n)=(n+1)u(n)
(2)y(n)=
k
k
u(k)u(nk)
即y(n)二
k
u(k)u(n
1
n1
——,n>0
n1
—u(n)
2.4图P2.4所示的是单位取样响应分别为九(n)和h2(n)的两个线性非移变系统的
级联,已知x(n)=u(n),h^n)二(n)-(n-4),h2(n)=anu(n),|a|<1,求系统的输
出y(n).
解(n)=x(n)*hJn)
u(k)[(n-k)-(n-k-4)]
k
=u(n)-u(n-4)
y(n)=(n)*h2(n)
aku(k)[u(n-k)-u(n-k-4)]
k
2.5已知一个线性非移变系统的单位取样响应为
h(n)二anu(-n),0 算线性卷积的方法,求系统的单位阶跃响应 2.6试证明线性卷积满足交换率、结合率和加法分配率。 证明 (1)交换律 X(n)*y(n)=x(k)y(nk) 因此线性卷积公式变成 k 令k=n-t,所以t=n-k,又- 'x(n)*y(n)=x(nt)y[n(nt)] t =x(nt)y(t)=y(n)*x(n) t 交换律得证. (2)结合律 [x(n)*y(n)]*z(n) =[x(k)y(nk)]*z(n)k [x(k)y(tk)]z(n-t) tk x(k)y(t-k)z(n-t) kt x(k) y(m)z(n-k-m) x(k)[y(n-k)*z(n-k)] =x(n)*[y(n)*z(n)] 结合律得证• (3)加法分配律 x(n)*[y(n)+z(n)] x(k)[y(n-k)+z(n-k)] k x(k)y(n-k)+ x(k)z(n-k) =x(n)*y(n)+x(n)*z(n) k k 加法分配律得证 2.7判断下列系统是否为线性系统、非线性系统、稳定系统、因果系统。 并加以证明 2 (1)y(n)二2x(n)+3 (2)y(n)二x(n)sin[—n+—] 36 n (3)y(n)=x(k)(4)y(n)=x(k) kk (5)y(n)=x(n)g(n) 解 (1)设ydn)=2xM)+3,y2(n)=2x2(n)+3,由于 y(n)=2[x i(n)+x2(n)]+3 丰yi(n)+y2(n) =2[xi(n)+x2(n)]+6 故系统不是线性系统。 因而 由于y(n-k)=2x(n-k)+3,T[x(n-k)]=2x(n-k)+3, y(n-k)=T[x(n-k)] 故该系统是非移变系统。 设|x(n)| |y(n)|=|2x(n)+3|<|2M+3|< 故该系统是稳定系统。 因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于未来的输入,故该系统是 因果系统。 (2)设yi(n)=axi(n)sin[乙n+] 36 2 y2(n)二bx2(n)sin[——n+] 36 由于y(n)=T[axi(n)+bx2(n)] 2 =[ax1(n)+bx2(n)]sin[n+—] 36 2 =axi(n)sin[ n+]+bx2(n)sin[ 2—n+—] 3 6 36 =ayi(n)+by2(n) 故该系统是线性系统。 由于y(n-k)=x(n-k)sin[ 2(n-k)+ 3 6] T[x(n-k)]=x(n-k)sin[n+—] 36 因而有T[x(n-k)]工y(n-k) 帮该系统是移变系统。 设|x(n)| 2 |y(n)|=|x(n)sin[—(n-k)+—]| 36 2 =|x(n)||sin[2(n-k)+]| 36 =a xi(k)+b X2(k)二ayi(n)+by2(n) [axi(k)bx2(k)] k y(n)=T[axi(n)+bx2(n)]= 故该系统是线性系统。 因y(n-k)= ntn x(k)=x(mt) km =T[x(n-t)] 所以该系统是非移变系统。 设x(n)二M n M二x,所以该系统是不稳定系统。 k 因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于未来的输入,故该系统 是因果系统。 nn (4)设yi(n)=xi(k),y2(n)=X2(k),由于 kn0kn0 n y(n)=T[axi(n)+bx2(n)]=[ax(k)bx2(k)] kno nn =axi(k)+bX2(k)=ayi(n)+by2(n) knokno 故该系统是线性系统。 因y(n-k)=x(k)=x(mt) kn0mn0t n 工T[x(n-t)]二x(mt) kn0 所以该系统是移变系统。 设x(n)=M,则limy(n)=lim(n-n0)M=,所以该系统不是稳定系统。 nn 显而易见,若n\n0。 则该系统是因果系统;若n 则该因果系统是非因果 系统。 (5)设y1(n)=x1(n)g(n),y2(n)=x2(n)g(n),由于 y(n)=T[ax1(n)+bx2(n)]=(ax1(n)+bx2(n))g(n) =ax1(n)g(n)+b2(n)=ay1(n)+by2(n) 故系统是线性系统。 因y(n-k)=x(n-k),而 T[x(n-k)]=x(n-k)g(n)工y(n-k) 所以系统是移变系统。 设|x(n)| |y(n)|=|x(n)g(n)|=M|g(n)| 所以当g(n)有限时该系统是稳定系统。 因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于本来的输入,故该系统是因果系统。 2.8讨论下列各线性非移变系统的因果性和稳定性 1 (1)h(n)=2nu(-n)(4)h(n)=(-)nu(n) 2 1 (2)h(n)=-anu(-n-1)(5)h(n)二1u(n) n (3)h(n)二(n+n。 ),n。 >0(6)h(n)=2nRnu(n) 解 (1)因为在n<0时,h(n)二2n工0,故该系统不是因果系统。 故该系统是稳定系统。 因为S=|h(n)|=|2n|=1< nn0 (2)因为在*0时,h(n) 工0,故该系统不是因果系统。 定系统。 因为S= n 1 |h(n)|=|an|=an,故该系统只有在|a|>1时才是稳 nn (3)因为在*O时,h(n) 工0,故该系统不是因果系统。 因为S=|h(n)|= nn |(n+n0)|=1< ,故该系统是稳定系统。 ⑷因为在n<0时,h(n)=0,故该系统是因果系统 因为S= n ^0)1=nol (2)n|< 故该系统是稳定系统。 ⑸因为在n<0时,h(n)二1u(n)=0,故该系统是因果系统。 n 因为S=|h(n)|二l」u(n)|=1=,故该系统不是稳定系统。 nnnn0n ⑹因为在n<0时,h(n)=0,故该系统是因果系统。 因为S= n 故该系统是稳定系统。 N1 |h(n)|=|2n|=2N-1< n0 2.9已知y(n)-2cosy(n-1)+y(n-2)=0,且y(0)=0,y (1)=1,求证y(n)=sin(n) sin 证明题给齐次差分方程的特征方程为 2-2cos•+1=0 由特征方程求得特征根 1=cos+jsin=ej,2=cos-jsin二e 齐次差分方程的通解为 y(n)二c11n+c22n=c1ejn+c2ejn 代入初始条件得 y(0)=c1+c2=0 y (1)=c1ejn+c2ejn=1 由上两式得到 =1 2sin __1 c2=-ci=-2sn 将Ci和C2代入通解公式,最后得到 y(n)二c1ejn+c2ejn=1—(ejn+ejn)=sin(n) 2sinsin 2.10已知y(n)+2y(n-1)+(n-2)=0,且y(0)=0,y (1)=3,y (2)=6,y(3)=36, 解首先由初始条件求出方程中得系数a和b 求y(n) 由 y (2)2ay (1)by(0)66a0 y(3)2ay (2)by (1)3612a3b0 可求出 a=-1,b=-8 于是原方程为 y(n)-2y(n-1)-iy(n-2)=0 由特征方程2-2—8=0求得特征根 1=4,2—-2 齐次差分方程得通解为 y(n)=c11n+C22n=j4n+C2(-2n) 代入初始条件得 y(n)=c11+c22=41+22=3 由上二式得到 将Ci和C2代入通解公式,最后得到 1 y(n)=C11n+C22n=尹W)n] 2.11用特征根法和递推法求解下列差分方程: y(n)-y(n-1)-y(n-2)=0,且y(0)=1,y (1)=1 解由特征方程2——1=0求得特征根 1;5 通解为y(n)=c11n+C2 1■■5 ) 2 代入初始条件得 求出 C1 C2 15 2,5 最后得到通解 y(n)=c (1、5)n+c(1'5)n 12 2,52-5 1 =5 [(1-5)n1-(1I5)n1] 「2药2亦 2.12—系统的框图如图P2.12所示,试求该系统的单位取样响应h(n)和单位阶跃 响应 y(n)=x(n)+y(n-1) 为求单位取样响应,令x(n)二(n),于是有 h(n)二(n)+h(n-1) 由此得到 h(n)二 (n)= nu(n) 阶跃响应为 ky(k)u(n-k) n y(n)=h(n)*u(n)二 k0 n1 —u(n) 2.13设序列x(n)的傅立叶变换为X(ejw),求下列各序列的傅立叶变换 解 (1)F[ax1(n)+bx2(n)]二aX1(ejw)+bX2(ejw) (2)F[x(n-k)]二ejwkX(ejw) (3)F[ejWonx(n)]二X[ej(wWo)] ⑷F[x(-n)]=X(ejw) (5)F[x*(n)]=X*(ejw) (6)F[x*(-n)]二X*(ejw) (8川m[x(n)]二1[X(ejw)-X(ejw)] 2 1 (9)丄X(ej)*X(ejw) 2 (10)j弟 dw 2.14设一个因果的线性非移变系统由下列差分方程描述 y(n)- 沖)= 1x(n-1) 2 (1)求该系统的单位取样响应h(n) ⑵用 (1)得到的结果求输入为x(n)=ejwl (3)求系统的频率响应 ⑷求系统对输入x(n)=cos(n+—)的响应 24 解 (1)令X(n)=3(n),得到 h(n)-h(n-1)/2二3(n)+3(n-1)/2 时系统的响应 由于是因果的线性非移变系统,故由上式得出 h(n)=h(n-1)/2+ 递推计算出 h(-1)=0 h(0)=h(-1)/2+ 3(n)+3(n-1)/2,n 3(0)=1 h (1)=h(0)/2+1/2=1 h (2)=h (1)/2=1/2 112 h(3)=1h (2)= (1) 22 h(4)=尹2)= (1)3 1n-1 h(n)=3(n)+(-)u(n-1) 2 或h(n)二 (1)n[u(n)-u(n-1)] 2 也可将差分方程用单位延迟算子表示成 (1-D)h(n)=(1+D)3(n) 由此得到 44do*123dk13 h(n)=[(1+1D)/(1-1D)]3(n)=[1+D+」D+(丄)D+…+(丄)-D+…]3(n) 22222 111k1 =3(n)+3(n-1)+-3(n-2)+-3(n-3)+...+ (1)-3(n-1)+… 222 =3(n)+ (1)nu(n-1) 2 2)将X(n)ejwn代入y(n)x(n)*h(n)得到 (3)由 (2)得出 (4)由(3)可知 1IjwIIjw ynHecos—n—argHe 故: 24 1cos—n—2arctan— 242 2.15某一因果线性非移变系统由下列差分方程描述 y(n)-ay(n-1)=x(n)七x(n-1) 试确定能使系统成为全通系统的b值(bza),所谓全通系统是指其频率响应的模 为与频率无关的常数的系统。 解: 令x(n)二打n),贝V h(n)=ah(n-1)=卜(n)-b8(n-1) 或 h(n)二ah(n-1)+"(n)-"(n-1),n>0 由于是线性的非移变系统,故对上式递推计算得出: h(-1)=0 h(0)=1 h (1)=ah(0)-blS(0)=a-b h (2)=ah (1)=7-ab h(3)=ah (2)=7—b h(n)=ah(n-1)=-宀-b,n>0 h(n)二: u(n)-芥bu(n-1) 或系统的频率特性为 H(「)二_j-(_: ;-'^L11■< =小― 1,孑闷 占—b 二 l-be-^ =m-T小 振幅的特性平方 7|l-be~jw2|H(沖)1」氏云 (1-吋加)(1—1>旳 (l^ae-jw)(i-oeiu) ae-^+a- 11 若选取a=亍或b=孑,则有|H(ejw)|2=|b|2,即幅度响应等于与频率响应无关的常数,故该系统为全通系统。 2.16
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