分数阶微积分的分数阶控制系统仿真研究的毕业论文.docx
- 文档编号:29070364
- 上传时间:2023-07-20
- 格式:DOCX
- 页数:54
- 大小:587.92KB
分数阶微积分的分数阶控制系统仿真研究的毕业论文.docx
《分数阶微积分的分数阶控制系统仿真研究的毕业论文.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《分数阶微积分的分数阶控制系统仿真研究的毕业论文.docx(54页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
分数阶微积分的分数阶控制系统仿真研究的毕业论文
分数阶微积分的分数阶控制系统仿真研究的毕业论文
摘要....................................................................................................................................I
Abatract............................................................................................................................I
1绪论................................................................................................................................1
1.1课题的背景和意义....................................................................................................1
1.2分数阶微积分的应用发展.........................................................................................2
1.3本文研究容.............................................................................................................3
2数学理论基础...............................................................................................................3
2.1数学基本函数.............................................................................................................4
2.2分数阶微积分的定义................................................................................................8
2.3分数阶微积分的性质..............................................................................................11
2.4拉普拉斯变换..........................................................................................................12
2.5分数阶微积分的仿真实例.......................................................................................13
2.6本章小结...................................................................................................................17
3分数阶控制系统的求解.............................................................................................18
3.1分数阶微分方程......................................................................................................18
3.2分数阶微分方程的数值解法...................................................................................20
3.3分数阶微分方程的解析解法...................................................................................25
3.4本章小结..................................................................................................................31
4分数阶控制系统的仿真..............................................................................................32
4.1整数阶控制系统仿真实例.......................................................................................32
4.2分数阶控制系统仿真实例.......................................................................................36
4.3本章小结..................................................................................................................44
5结论.............................................................................................................................45
致谢.................................................................................................................................46
参考文献.........................................................................................................................46
附录1外文资料翻译....................................................................................................47
A1.1译文:
分数阶控制系统的频域稳定性条件........................................................47
A1.2原文:
FrequencyDomainStabilityCriteriaforFractional-orderControlSystems..............................................................57
附录2附录程序..........................................................................................................68
1绪论
1.1课题的背景和意义
分数阶微积分是一个历史悠久且依然新颖的概念,其诞生于300年前,分数阶微积分主要研究的是任意阶次的微分和积分的算子特性以及应用问题。
在分数阶诞生的时候,就有很多数学家及数学爱好者就开始对其进行研究,想要比较清晰地介绍分数阶微积分的数学定义,但是,在早期的研究中,由于缺乏一定的相应的应用背景,以及计算繁琐困难等方面的问题,分数阶微积分理论以及它的应用方面的研究问题一直没有太多的引起人们的关注,其研究大多停留在理论研究的方面,而没有得到系统的应用。
这在一定的程度上限制了科学技术在实际工程中的应用。
但是,进入20世纪之后,随着自然科学方面的极速发展,以及复杂工程对于其需求的急剧增加,特别是随着计算机技术的产生及其迅速的发展,分数阶微积分理论在许多领域都产生了巨大的影响,促进了这些领域的迅速发展,这些变化反过来有极大的促进了分数阶微积分理论的发展,现在分数阶理论及其应用研究已经成为国际研究领域中的热门领域,在自动控制领域也已出现分数阶控制理论等新的研究分支。
这些研究分支的出现,使得分数阶微积分理论得以迅速的发展。
在实际的应用系统中,多多少少都会受到非整数阶次一定的影响,尤其是一些扩散和传导等一些动态过程,都是一些所谓典型的非整数阶的系统过程,在分析这些过程的时候,需要运用非整数阶理论的分析方法才能很好地运动状态对系统进行分析,以获得系统的等方面的信息。
在一些控制系统中,加入一些分数阶环节后,可以增加微分积分阶次,从而使系统控制方式灵活性大幅增加,可以得到较未加入时更好的效果,但是这同时也一定程度上增加了设计及实现的难度,这些年来自动控制理论在分数阶方面的研究俨然已经成为科学界的一大热点。
吸引着来自各个领域越来越多的研究人员,也使得越来越多的资金及科技流向这一领域。
一些西方的国家,由于科学技术的巨大领先优势,得以可以较早的摄入这一领域,投资巨大,已经在航天领域,材料加工,国防工业中深入地运用了分数阶理论,反之,由于国科技及各方面起步比较晚,以致在分数阶理论研究领域与西方国家有很大的差距,但是在卫星运行,轨道交通等方面已有一定的运用,收获了极好的效果,分数阶控制系统方面的研究具有非常重大的研究意义,因此,这是一个值得研究的课题。
1.2分数阶微积分的应用发展
虽然分数阶控制理论还在不断快速发展中,还在慢慢的进一步达到完善状态,但是,这些年来,特别是最近十年来,随着计算机软硬件技术的极速的发展,分数阶理论在很多领域都得到了很好的应用,在金属冶炼,化工工业,机械工业等方面的应用发展,已经表明分数阶控制俨然已经成了自动控制理论领域一个全新的分支展现在人们的面前。
在20世纪的末期,在控制系统设计及实施方面的应用中分数阶微积分理论得到了长足的发展,取得了令人瞠目结舌的成果,Podlubny教授在他书写的书里面,详细地介绍分数阶微积分具体的计算方法,及其分数阶微积分方程的具体的解法,并对分数阶微分积分理论方面提供了物理方面的理论解释,提到以矩阵的办法开始来进行分数阶微积分的运算,把拉氏变换,傅氏变换等数学基础工具带入到分数阶控制系统的计算及设计里来,对分数阶控制系统理论的极速发展进行了理论方面的铺垫。
Podlubny教授在进行分数阶控制系统的研究的基础之上,系统的提出分数阶P控制器,由于在原有存在的基础上又增加了λ,μ这两个参数变量,整个控制系统又增加了两个可调参数变量,也就是控制器更加灵活的对受控对象进行控制,因此,这一理论的提出,对分数阶控制理论的长足全面的发展产生了巨大的促进,这一理论也就成为分数阶控制系统具有里程碑性质的理论,对于分数阶控制系统的研究具有重大的意义。
现在,Podlubny教授依然走在分数阶控制研究领域的最前沿,因为分数阶微积分方程可以对受控对象进行更为精确的描述,而分数阶P
控制器在其相应的围之受被控的对象及其本身的参数变化影响较小,在描述系统的动态特性及其稳态性能的方面,分数阶P
控制器跟整数阶控制器相比是有着非常大的优势的,另外,随着分数阶P
控制器在航天领域,国防工业等控制方面的相当成功的应用,进而也在一定方面促进了分数阶微积分理论长足全面的发展。
但是,需要明确认识的是,分数阶控制理论现在还远远不能满足所有对其有需求的各个领域的需求,而且理论还有些方面还不够完善,需要进一步的研究以适应科学技术的发展对其的需求。
1.3本文研究容
本文的主要容是分数阶控制理论在数学方面相关的基础知识,分数阶控制系统的求解以及分数阶控制系统的具体仿真实例。
第二章为数学理论基础,主要介绍了分数阶微积分要用到的数学方面的知识
,介绍了三种基本的数学函数Gamma函数和Bata函数以及Mittag-Leffler函数,分数阶微积分中常用到的拉普拉斯变换。
给出了分数阶微积分的三种定义形式,Grünwald-Letnikov定义与R-L定义及其Caputo定义[1]。
以及分数阶微积分的相关性质;给出了分数阶微积分的具体仿真实例。
第三章为分数阶控制系统的求解,分数阶控制系统的求解,即为分数阶微分方程的求解。
主要给出了分数阶微积分方程的两种求解方法,包括数值解法和解析解法[2]。
并分别进行了具体的仿真实例分析。
第四章为分数阶控制系统的仿真,主要介绍了整数阶控制系统和分数阶控制系统,并对这两种控制系统分别进行了仿真实例分析,以观察整数阶控制系统和分数阶控制系统的不同特点。
2数学理论基础
本章主要介绍的是分数阶控制系统的数学基础,在现阶段的自然科学研究中,分数阶微积分扮演者非常重要的角色,本章将着重介绍分数阶微积分中需要用到的数学基础知识,以便在后面的讨论中得以更加的得心应手。
分数阶微积分的数学基础包括数学常用基本函数,在本章第一节中将着重介绍三种函数Gamma函数,Bata函数及其Mittag-Leffler函数,在第三第四节中将介绍拉普拉斯变换,这三种函数及变换形式是第二节学习分数阶微积分定义时所必须要了解的,只有理解这三种函数,我们才能更好地理解分数阶微积分的定义。
随着分数阶的发展,不同的数学家们分别提出了不同的定义形式,这些定义形式大都在实践中得到了检验,在第二节中将着重介绍三种常见的定义形式,根据这些定义形式我们可以对分数阶微积分有着清晰的认识。
在第五节中,将举一个分数阶微积分的仿真实例,通过这个例子,通过参数变化而引起的图形变化,在这里可以了解分数阶微积分的作用。
2.1数学基本函数
本小节就将介绍分数阶微积分中常用到的这三种数学基本函数。
1.1.1Gamma函数
毫无疑问,分数阶微积分中最常用的的数学基本函数就是欧拉的Gamma函数,它是用n!
来表示的,这里的n可以是实数也可以是复数。
Gamma函数的积分形式的定义形式如下:
(2.1)
式中:
Re(z)>0。
Gamma函数的极限形式的定义形式如下:
(2.2)
其中:
Re(z)>0,它在复平面右半平面是收敛的。
Gamma函数具有下面的性质:
(2.3)
其中由以上中前两个可以推导出下面一个:
Γ
(2)=1*Γ
(1)=1
Γ(3)=2*Γ
(2)=2*1!
=2!
Γ(4)=3*Γ(3)=3*2!
=3!
所以,以此类推,可以得到如下式子:
Γ(n+1)=n*Γ(n)=n*(n-1)!
=n!
(2.4)
记为Γ(n)=n!
这个性质在以后的推导是会经常用到,在这里应该了解它的推导过程。
Gamma函数还有非常重要的一个性质,即为在z=-n(n=0,1,2…)时是单极点,可以用下面的式子表示:
(2.5)
这其中,积分形式
可以表示一个广义围的积分。
2.1.2Bata函数
Bata函数也是常用的数学基本函数之一,其可以看成是Gamma函数的特殊形式,在许多情况下,使用Bata函数来代替Gamma函数可以收获更加方便快捷的运算效果。
Bata函数的数学定义形式如下:
(2.6)
其中式子中的Re(z)>0,Re(ω)>0。
可以用拉式变换在Bata函数和Gamma函数的之间来建立特定的联系,用积分形式表示如下所示:
(2.7)
其中式子中的Re(z)>0,Re(
)>0。
由以上两个式子我们可以得到
=
(2.8)
由拉式变换在Bata函数和Gamma函数的之间来建立特定的联系如下:
(2.9)
而且在这里根据式子还可以得到改变参数顺序不改变结果。
根据Bata函数以及Gamma函数在这里还可以得到以下两个非常重要的关系表达式如下:
(2.10)
在这个式子中如果让z=1/2的话,那么在这里就可以得到Gamma函数的一个特殊的定值形式,即为:
(2.11)
另外一个为:
(2.12)
其中2z
0,-1,-2,…
如果对于以上式子中令z=n+1/2的话,那么在这里可以得到
(2.13)
2.1.3Mittag-Leffler函数
无论是在整数阶的微分方程还是在分数阶的微分方程中,指数函数都在扮演着非常重要的角色,Mittag-Leffler函数是一种非常特殊的数学指数函数类型,在分数阶微分方程之中同样也扮演着相当重要的角色,指数函数可以看成是由Mittag-Leffler函数在特殊情况下的特殊形式。
由于参数变量个数的不同情况,Mittag-Leffler函数可以有单个参数,双参数等这些表现形式[3]。
单个参数变量的Mittag-Leffler函数的数学表达式为:
(2.14)
其中ɑ>0。
双参数变量的Mittag-Leffler函数的数学表达式为:
(2.15)
其中ɑ>0,β>0.
当ɑ=1的时候,式子(2.14)可以表示成为:
(2.16)
广义围的Mittag-Leffler函数的数学表达式为
(2.17)
其中式子中的ɑ,β,γ
C;Re(ɑ)>0.
如果对式子(1.15)中求其k阶次的导数,就可以得到以下的式子:
(2.18)
其中k=0,1,2…
为了更加方便的叙述和表达,在这里引入新的函数:
(2.19)
其中k=0,1,2…
在这里可以对这个函数式子进行拉式变换,可以得到:
(2.20)
其中Re(s)>
。
在这里对函数
来求导可以得到:
(2.21)
其中λ和β满足关系式λ<β。
2.2分数阶微积分的定义
与整数阶微积分不同的是,分数阶微积分实际上就是,非整数阶形式的微积分形式,或者可以称之为任意阶次的微积分形式,它的阶次可以是整数也可以是分数形式,甚至可以推广到复数形式,数学家和数学研究人员分别从不同角度出发,对分数阶微积分给出了不同的定义,这些定义大多都已经在实践之中得到了验证,一般的情况下,分数阶微积分的一般表达形式为:
(2.22)
在上述式子中:
是所谓的积分或者微分运算的操作算子,参数ɑ是微积分操作算子的上限,参数t为微积分操作算子的下限,参数ɑ可以是实数也可以是复数。
不同的数学家们和研究人员对微积分定义所给出的形式会有所不同的,本文中我们将着重介绍G-L定义与Riemann-Liouville定义及其Caputo定义这三种定义形式。
2.2.1Grünwald-Letnikov定义
分数阶微积分的Grünwald-Letnikov定义是由Letnikov在1868年提出的,他把函数传统整数阶次的积分形式推广扩展到
分数形式,下面大致给出这一定义的基本的推导过程:
在这里可以假设一个函数f(t),设函数f(t)可导的,那么通过之前学习到的理论在这里可以比较容易的得到函数的一阶,二阶还有三阶导数的形式:
(2.23)
(2.24)
(2.25)
由以上式子以此类推在这里可以得到函数的n次阶导数的数学表达形式为:
(2.26)
在上面的式子中的
是一种递推系数的表达式,它的函数形式可以由下面的式子表示:
(2.27)
当ɑ为负数形式的时候,就可以得到以下的表达式:
(2.28)
由以上的推导加之根据式子(2.26),在这里可以得到函数f(t)的n阶次的积分定义的形式表达式子如下:
(2.29)
对于式子(2.26)和(2.29),如果将之推广到一般形式,将以上式子中的n推广到任意的正实数
,同时在这里设定参数ɑ是微积分操作算子的下限,参数t为微积分操作算子的上限。
由于在之前的章节中对Gamma函数进行了一些介绍,下面的介绍就直接引用Gamma函数的一些结论和定义,在这里假定函数f(t)在给定的区域围满足存在n+1阶次的导数,那么对于任意给定的实数ɑ的时候,在这里可以很快的推导出函数f(t)的任意λ阶次的微积分的定义形式为以下所示的式子,即为分数阶微积分的Grünwald-Letnikov定义的数学定义的表达式子:
(2.30)
在上面的式子中,
表示的是这个函数近似大概的递推项个数,而其中的h表示分数阶积分的时间步长。
当λ大于零时,上述式子表示对函数f(t)求解λ阶次导数;当λ小于零时,上述式子表示对函数f(t)求解λ阶次积分。
如果函数f(t)满足
这一条件,其中k为任意的正实数,那么对于任意的
,
在这里有以下的性质:
(2.31)
2.2.2Riemann-Liouville定义
R-L定义和Grünwald-Letnikov定义在一定程度上有很大的联系,Riemann-Liouville定义可以在G-L定义的基础上通过简单的数学推导运算得到,下面在这里就首先给出Riemann-Liouville定义的分数阶微分定义形式的数学表达式子:
(2.32)
上述式子中可以用到在前面章节中介绍的Gamma函数。
而用R-L表示的分数阶积分定义的数学表达式子为:
(2.33)
对于式子(2.31)和式子(2.32)在这里可以用一个通用的数学表达式子来表示:
(2.34)
其中在上述式子中ɑ满足:
。
关于Riemann-Liouville的分数阶微分积分的定义,其在数学层面的要求要比G-L定义的分数阶微分积分的定义的要求高得多,它不仅仅要求函数是连续的,而且要求函数必须是可积的,虽然在实际的工程实践运用的过程中,的确可以保证函数的连续性以及可积性,但是,Riemann-Liouville的定义在工程实际中的运用还面临着很多的无法解决的问题,例如,理论上的实现问题,以及在实际过程中还缺乏在物理意义上的初试值得问题,这些问题的存在限制了Riemann-Liouville定义在工程实际中的运用。
2.2.3Caputo定义
Caputo分数阶积分定义的形式和Riemann-Liouville定义的积分定义形式相差不大,但是微分就有一些差别,二者的微分运算顺序是相反的。
Caputo分数阶的微分形式的数学表达式为:
(2.35)
在上述式子中,ɑ=λ+m,m是整数,且
,
Caputo分数阶的积分形式的数学表达式为:
(2.36)
对于式子(2.35)和式子(2.36),在
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 分数 微积分 控制系统 仿真 研究 毕业论文
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)