吉林省长春市第108中学考前10道中考数学压轴题含答案doc.docx
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吉林省长春市第108中学考前10道中考数学压轴题含答案doc
交于八、B两点,
10道中考压轴题
1.(2015*枣庄)如图,直线y二X+2与抛物线
y=ax2+bx+6(aHO)相交于A(丄,—)和B(4,m),
22
点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC丄x轴于点D,交抛物线于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值?
若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由;
(3)求APAC为直角三角形时点P的坐标.
2.(2015*酒泉)如图,在直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴相交于点M.
(1)求抛物线的解析式和对称轴;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使APAB的周长最小?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接AC,在直线AC的下方的抛物线上,是否存在一点N,使ANAC的面积最大?
若存在,请求出点N
(2)当点P运动到B点时,点Q停止运动,这时,在x轴上是否存在点E,使得以A,E,Q为顶点的三角形为等腰三角形?
若存在,请求出E点坐标;若不存在,请说明理由.
(3)当P,Q运动到t秒吋,AAPQ沿PQ翻折,点A恰好落在抛物线上D点处,请判定此时四边形APDQ的
抛物线y**经过爪B两点,
与x轴的另一个交点为C,连接BC.
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;
(2)点M在抛物线上,连接MB,当ZMBA+ZCBO二45°时,求点M的坐标;
(3)点P从点C出发,沿线段CA由C向A运动,同时点Q从点B出发,沿线段BC由B向C运动,P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度,当Q点到达C点时,P、Q同时停止运动,试问在坐标平面内是否存在点D,使P、Q运动过程中的某一时刻,以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形?
若存在,直接写出点D的坐
3.(2014*遵义)如图,二次函数y二上x'+bx+c的图象
3
与x轴交于八(3,0),B(-1,0),与y轴交于点
3).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴1与OC有怎样的位置关系,并给出证明;
(3)已知点P是抛物线上的一个动点,且位于A,C两点之间,问:
当点P运动到什么位置时,APAC的面积最大?
并求出此时P点的坐标和/XPAC的最大面积.
V
6.(2014・兰州)如图,抛物线y二-丄x2+mx+n与x轴
'2
交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(・1,0),C(0,2).
(1)求抛物线的表达式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使APCD是以CD为腰的等腰三角形?
如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的而积最大?
求出四边形CDBF的最大面
矩形0EFG,线段GE、F0相交于点II,平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、G0和x轴于点M、P、N、D,连结MH.
(1)若抛物线1:
y=ax2+bx+c经过G、0、E三点,则
它的解析式为:
;
(2)如果四边形OHMN为平行四边形,求点D的坐标;
(3)在
(1)
(2)的条件下,直线MN与抛物线1交于点R,动点Q在抛物线1上且在R、E两点之间(不含
时,确定点Q的横坐标的取值范I韦I.
8.(2015-黄冈屮学自主招生)如图,二次函数尸-丄/+2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C
2
点,点P从A点出发,以1个单位每秒的速度向点B运动,点Q同时从C点出发,以相同的速度向y轴正方向运动,运动时间为t秒,点P到达B点时,点Q同时停止运动.设PQ交直线AC于点G.
(1)求直线AC的解析式;
(2)设APQC的面积为S,求S关于t的函数解析
式;
(3)在y轴上找一点M,使AMAC和AMBC都是等腰三角形.直接写出所有满足条件的M点的坐标;
(4)过点P作PE丄AC,垂足为E,当P点运动时,线段EG的长度是否发生改变,请说明理由.
9.(2014・泰安)二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点
(-1,4),且与直线y二-丄x+1相交于A、B两点(如2
图),A点在y轴上,过点B作BC丄x轴,垂足为点C
(-3,0).
(1)求二次函数的表达式;
(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方),过N作NP丄x轴,垂足为点P,交AB于点M,求MN的最大值;
(3)在
(2)的条件下,点N在何位置吋,BM与NC相互垂直平分?
并求出所有满足条件的N点的坐标.
10.(2015-鄂州)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y二丄x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物
2
线y=ax+bx+c的对称轴是x二-卫且经过A、C两点,与
2
x轴的另一交点为点B.
(1)①直接写出点B的坐标;②求抛物线解析式.
(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点,连接
PA,PC.求APAC的面积的最大值,并求出此时点P的坐标.
(3)抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A、M、"为顶点的三角形与AABC相似?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理
11.(2014・白银)如图,在平面直角坐标系xOy屮,顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的,它与y轴负半轴交于点八,点B在该抛物线上,且横坐标为3.
(1)求点A^B坐标;
(2)连接AB、AM、BM,求ZABM的正切值;
(3)点P是顶点为M的抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,设P0与x正半轴的夹角为a,当a=ZABM
1.(2015*枣庄)如图,直线y二x+2与抛物线
y=ax2+bx+6(aHO)相交于A(丄,—)和B(4,m),
'22
点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC丄X轴于点D,交抛物线于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值?
若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理
(3)求APAC为直角三角形时点P的坐标.
m)在直线y=x+2上,可求得
m的值,抛物线图象上的A、B两点坐标,可将其代入抛物线的解析式中,通过联立方程组即可求得待定系数的值.
(2)要弄清PC的长,实际是直线AB与抛物线函数值的差.可设出P点横坐标,根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标,进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出PC的
最大值.
(3)当APAC为直角三角形吋,根据直角顶点的不同,有三种情形,需要分类讨论,分别求解.
【解答】解:
(1)VB(4,m)在直线y二x+2上,
/.m=4+2=6,
AB(4,6),
VA(丄,卫)、B(4,6)在抛物线y=ax2+bx+6上,
22
iii)若点C为直角顶点,则ZACP二90°.
Vy=2x2-8x+6=2(x-2)2-2,
(2)设动点P的坐标为(n,n+2),则C点的坐标为
(n,2n2-8n+6)»
APC=(n+2)-(2n2-8n+6),
=・2nJ+9n-4,
=-2(n-^)J坐,
48
VPC>0,
.••当n二卫时,线段PC最大且为坐.
48
(3)•••△PAC为直角三角形,
i)若点P为直角顶点,则ZAPC二90°・
由题意易知,PC〃y轴,ZAPC二45°,因此这种情形不存在;
ii)若点A为直角顶点,则ZPAC二90°.
如答图3-1,过点A(丄卫)作AN丄x轴于点N,则
22
ON」,AN巨
22
过点A作AM丄直线AB,交x轴于点M,则由题意易知,ZXAMN为等腰直角三角形,・・・MN二AN更,・・・0M二0N+MM二丄+卫二3,
222
AM(3,0).
设直线AM的解析式为:
y二kx+b,
则:
”k+吨解得广-1,
3k+b二02二3
・・・直线AM的解析式为:
尸・x+3①又抛物线的解析式为:
y二2x?
・8x+6②联立①②式,解得:
x=3或x二丄(与点A重合,舍去)
2
AC(3,0),即点C、M点重合.
当x=3时,y=x+2=5,
・・・P:
(3,5);
・••抛物线的对称轴为直线x=2.
如答图3-2,作点A(丄,卫)关于对称轴x二2的对称
22
点C,
则点C在抛物线上,且C(丄卫).
22
当x二弓时,y二x+2二号.
・・.1〉2(丄,11).
22
・・•点P】(3,5)、P2(丄,丄1)均在线段AB上,
22
・•・综上所述,APAC为直角三角形时,点P的坐标为(3,5)或(丄11).
22
2.(2015*酒泉)如图,在直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴相交于点M.
(1)求抛物线的解析式和对称轴;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使APAB的周长最小?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接AC,在直线AC的下方的抛物线上,是否存在一点",使ANAC的面积最大?
若存在,请求出点N
【分析】
(1)抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C
(5,0),可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a(X-1)(x-5),代入A(0,4)即可求得函数的解析式,则可求得抛物线的对称轴;
(2)点A关于对称轴的对称点A的坐标为(6,4),连接BA'交对称轴于点P,连接AP,此时APAB的周长最小,可求出直线BA'的解析式,即可得出点P的坐标.
(3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使ANAC面积最大.设N点的横坐标为t,此时点M(t,-V-
5
聖t+4)(0 5 得NG的长与AACN的面枳,由二次函数最大值的问题即可求得答案. 【解答】解: (1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-5), 把点A(0,4)代入上式得: a—, 5 y—(x-1)(x-5)—x'-—x+4—(x-3)2- '5555 16 9 5 ・・・抛物线的对称轴是: x=3; (2)P点坐标为(3,卫). 5 理由如下: •・•点A(0,4),抛物线的对称轴是x=3, ・••点A关于对称轴的对称点A'的坐标为(6,4)如图1,连接BA'交对称轴于点P,连接AP,此时△PAB的周长最小. 设直线BA'的解析式为y二kx+b, 把A'(6,4),B(1,0)代入得『=6k+b 0二k+b 解得 4, 5 ・・•点P的横坐标为3, ・v一4乂q_4_8 '555 ・・・P(3,卫). 5 (3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使ANAC面积最大. 设N点的横坐标为t,此时点N(t,A2--^t+4)(0 55 由点A(0,4)和点C(5,0)可求出直线AC的解析式为: y=-—x+4, 5 把x=t代入得: y=-—1+4,则G(t,-—1+4), 55 此时: NG=-—1+4-(―t2-—1+4)=-—t2+4t, 5555 IAD+CF二CO二5, SaacFSaang+SacCn=-ADXNG+^NGXCF=1nG*0C=丄X(- 2222 A2+4t)X5=-2t2+10t=-2(t-卫)? +竺 522 ・・・当t二号时,Z\C心面积的最大值为今, 由t二得: -廻t+4二-3, 255 ・・.N(5,・3). 2 AC(0,-4). (2)存在. 如图1,过点Q作QD丄0A于D,此时QD〃0C, 3.(2014・遵义)如图,二次函数y二Mx'+bx+c的图象 3 与x轴交于八(3,0),B(-1,0),与y轴交于点 C.若点P,Q同时从A点出发,都以每秒1个单位长度的速度分別沿AB,AC边运动,其中一点到达端点吋,另一点也随之停止运动. (1)求该二次函数的解析式及点C的坐标; (2)当点P运动到B点时,点Q停止运动,这时,在x轴上是否存在点E,使得以A,E,Q为顶点的三角形为等腰三角形? 若存在,请求出E点坐标;若不存在,请说明理由. (3)当P,Q运动到t秒时,AAPQ沿PQ翻折,点A恰好落在抛物线上D点处,请判定此吋四边形APDQ的形状,并求出D点坐标. 【分析】 (1)将A,B点坐标代入函数y二上x'+bx+c 3中,求得b、c,进而可求解析式及C坐标. (2)等腰三角形有三种情况,AE=EQ,AQ二EQ, AE=AQ.借助垂直平分线,画圆易得E大致位置,设边长为x,表示其他边后利用勾股定理易得E坐标. (3)注意到P,Q运动速度相同,则△APQ运动时都为等腰三角形,又rflA、D对称,则AIM3P,AQ二DQ,易得四边形四边都相等,即菱形.利用菱形对边平行且相等等性质可用t表示D点坐标,又D在E函数上,所以代入即可求t,进而D可表示. 【解答】方法 (1): 解: (1): •二次函数y=—x2+bx+c的图象与x轴交于八 3 (3,0),B(-1,0), f4 0=^・9+3b+c …4, 0^-*1-b+c 5 VA(3,0),B(・1,0),C(0,・4),0(0,0), AAB=4,0A=3,OC=4, AC二寸32+q2二5, •・•当点P运动到B点吋,点Q停止运动,AB二4, ・・・AQ二4・ ・.・QD〃OC, ・QDADAQ ••9 OCAOAC ・QDAD4 ••=二—? 435 ・・.QD』,AD二兰. 55 1作AQ的垂直平分线,交AO于E,此时AE二EQ,即厶 ・••在RtAEDQ中,(丄^・x)2+(垄)2=x2,解得 55 x』, 3 ・・・0A-AE二3■卫二■丄, 33 ・・・E(■丄,0), 3 说明点E在x轴的负半轴上; 2以Q为圆心,AQ长半径画圆,交x轴于E,此时 QE=QA=4, TED二AD二丄 5 ・・.AE二丝 5 A0A-AE二3■丝・2 55 ・・.E(・20). 5 3当AE二AQ二4时, 1.当E在A点左边时, V0A-AE=3-4=-1, AE(-1,0). 2.当E在A点右边时, T0A+AE二3+4二7, AE(7,0). 综上所述,存在满足条件的点E,点E的坐标为(・丄,0)或(・20)或(・1,0)或(7,0). 35 (3)四边形APDQ为菱形,D点坐标为(・卫,・ 8 也).理由如下: 16 如图2,D点关于PQ与A点对称,过点Q作,FQ丄AP AQ=DQ, AAP=AQ=QD=DP, ・・・四边形AQDP为菱形, VFQ/7OC, AF^FQ^AQ A0=0C=AC, AFFQt—二—二—, 345 Q(3一轨善), DQ=AP=t, D(3一討t,卡), 或t二0(与A重合,舍去), 方法二 (1)略. (2)・・•点P、Q同时从A点出发,都已每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC运动.过点Q作x轴垂线,垂足为H. VA(3,0),C(0,4), 4 Iac: y=—x-4, 3 •・•点P运动到B点时,点Q停止运动, ・・・AP二AQ二4, ・・.QII二兰,Qy二■丄 55 代入S: y」x・4得,则Q(2・兰), 3555 ・・•点E在x轴上, ・••设E(a,0), VA(3,0),Q(2-芟),AAEQ为等腰三角形, 55 ・・・AE二EQ,AE=AQ,EQ=AQ, ・•・(a-3)2=(a■迢)2+(0+兰)2,・••沪-丄, 553 (a・3)2二(3■卫)2+(0+丄§)2,/.al=7,&2二・ 55 (a■卫)2+(0+兰)2二(3■卫)2+(0+垄)2, 5555 al=-—,a2=3(舍) 5 ・••点E的坐标为(■丄,0)或(・20)或(・1, 35 0)或(7,0). (3)TP,Q运动到t秒, (2)点M在抛物线上,连接MB,当ZMBA+ZCB0=45°时,求点M的坐标; (3)点P从点C岀发,沿线段CA由C向A运动,同时点Q从点B出发,沿线段BC由B向C运动,P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度,当Q点到达C点时,P、Q同时停止运动,试问在坐标平面内是否存在点D,使P、Q运动过程中的某一时刻,以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形? 若存在,直接写出点D的坐 ••设—°XQ(3-f 51), ••AD丄PQ, Kpq A(3,0), 山3(舍),x2=-| “晋,DQ//AP,DQWAP, 此时四边形APDQ的形状为菱形. 【分析】 (1)首先求出点A、B的坐标,然后利用待定系数法求出抛物线的解析式,进而求出点C的坐标; (2)满足条件的点M有两种情形,需要分类讨论: 1当BM1BC时,如答图2-1所示; 2当BM与BC关于y轴对称时,如答图2-2所示. (3)ACPQ的三边均可能成为菱形的対角线,以此为基础进行分类讨论: 1若以CQ为菱形对角线,如答图3・1.此时BQ二t,菱形边长二t; 2若以PQ为菱形对角线,如答图3・2.此时BQ二t,菱形边长二t; 3若以CP为菱形对角线,如答图3-3.此时BQ二t,菱形边长=5-t. 【解答】解: (1)直线解析式尸x・4, 令x=0,得y=-4; 令y二0,得x=4. AA(4,0)、B(0,・4)・ ': 点A、B在抛物线y二丄x'+bx+c上, 3 -y+4b+c=0 c二一4 •I抛物线解析式为: 呼兮“ 令y二丄x? ■丄x・4=0, *33 解得: x二-3或x二4, AC(-3,0). (2)ZMBA+ZCB0=45°, 设M(x,y), 1当BM丄BC时,如答图2・1所示. VZAB0=45°, : .ZMBA+ZCBO=45°,故点M满足条件. 过点Mi作M】E丄y轴于点E,则MiE=x,0E=-y,・・・BE二4+y. VtanZMiBE=tanZBCO—, 3 ・x4 ••=9 4+y3 ・・・直线BNL的解析式为: y二-4. 4 联立y—x-4与y—x2-丄x-4, 433 得: —x-4=—x2-—x-4, 433 解得: xi=0,x2=-^, 4 Ayi=-4,y2=-—, 16 2当BM与BC关于y轴对称时,如答图2-2所示. VZAB0-ZMBA+ZMB0=45°,ZMB0二ZCB0, AZMBA+ZCB0M50, 故点M满足条件. 过点血作血E丄y轴于点E, 则M2E=x,OE=y, ・・・BE二4+y・ VtanZM,BE=tanZCBO二卫, 4 ・x3 ••二, 4+y4・•・直线BM2的解析式为: y二上x・4. 3 联立y二上x・4与y二丄x? -—x-4得: —x-4=—x2-—x 333333 解得: xfO,X2=5, g ■■yi二-4,y2二一9 '3AM2(5,卫). 3 综上所述,满足条件的点M的坐标为: (M■竺) 416 或(5,卫). 3 (3)设ZBC0二0,则tan9二上,sin0二上,cos9. 355 假设存在满足条件的点D,设菱形的对角线交于点E,设运动时间为t. ①若以CQ为菱形对角线,如答图3-1.此时BQ二t,菱形边长二t. ・・・CE二丄CQ)(5-t). 22 仲*(5-t) 在RtAPCE中,cose二竺二二卫, CPt5 解得"竺. 11 ・・・CQ二5-t二旦. 11 过点Q作QF丄x轴于点F, 则QF二CQ・sinB二竺,CF=CQ*cos0=—, 1111 ・・・0F二3-CF二竺 11 AQ(-空). 1111 ・・•点以与点Q横坐标相差t个单位, ・・・口(-竺-廻); 1111 菱形边长二t. ・・・BQ二CQ二t, ・・・t更,点Q为BC中点, 2 ・・・Q(・卫,・2). 2 ・・•点D2与点Q横坐标相差t个单位, ・・・D: ? (1,-2); 3若以CP为菱形对角线,如答图3-3.此吋BQ=t,菱形边长二5・t. 1 —t 在RtACEQ中,cos0二£5二_? 一二卫, CQ5-t5 解得t二晋. ・・・0E二3-CE二3-丄t』,D3E=QE=CQ*sin0=(5-—) 21111 511 ・・.D3(■丄型). 1111 综上所述,存在满足条件的点D,点D坐标为: (-生,■廻)或(1,・2)或(■丄型). 11111111 【分析】 (1)已知抛物线的顶点坐标,可用顶点式设抛物线的解析式,然后将A点樂标代入其中,即可求出此二次函数的解析式; (2)根据抛物线的解析式,易求得对称轴1的解析式及B、C的坐标,分别求出直线AB、BD、CE的解析式,再求出CE的长,与到抛物线的对称轴的距离相比较即可; (3)过P作y轴的平行线,交AC于Q;易求得直线 AC的解析式,可设出P点的坐标,进而可表示出P、Q的纵坐标,也就得出了PQ的长;然后根据三角形面积的计算方法,可得出关于APAC的面积与P点横坐标的函数关系式,根据所得函数的性质即可求出APAC的最大面积及对应的P点坐标. 【解答】解: (1)设抛物线为y=a(x-4)2-1, ・・•抛物线经过点A(0,3), A3=a(0-4)2-1,J; a4 ・・・抛物线为y=j(x-4)2-l=jx2~2x+3; (2)相交. 证明: 连接CE,则CE丄BD, 当-(x-4)2_1二0时,xl
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