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1实验71传染病模型2

河北大学《数学模型》实验实验报告

班级专业

15计科2班

姓名

张宇轩

学号

20151101006

实验地点

C1-229

指导老师

司建辉

成绩

实验项目

1.实验7-1传染病模型2（SI模型）一一画di/dt~i曲线图

2.实验7-2传染病模型2（SI模型）画i~t曲线图

3.实验7-3传染病模型3（SIS模型）一一画di/dt~i曲线图

4.实验7-4传染病模型3（SIS模型）一一画i~t曲线图

5.实验7-5传染病模型4（SIR模型）

一、实验目的

二、实验要求

1.实验7-1传染病模型2（SI模型）一一画di/dt~i曲线图

（参考教材P137-138）

传染病模型2（SI模型）：

di/dt=ki（1-i）,i（0）=i°;

其中，i（t）是第t天病人在总人数中所占的比例。

入是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。

i0是初始时刻（t=0）病人的比例。

取k=0.1,画出di/dt~i曲线图，求i为何值时di/dt达到最大值，并在曲线图上标注。

试

编写一个m文件来实现。

参考程序运行结果（在图形窗口菜单选择Edit/CopyFigure，复制图形）：

［提示］

1）画曲线图

用fplot函数，调用格式如下：

fplot（fun,lims）

fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。

若lims取［xminxmax］，贝Ux轴被限制在此区间上。

若lims取［xminxmaxyminymax］，贝Uy轴也被限制。

本题可用

fplot（'0.1*x*（1-x）',［01.100.03］）;

2）求最大值

用求解边界约束条件下的非线性最小化函数fminbnd，调用格式如下：

x=fminbnd（‘fun',x1,x2）

fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。

返回自变量x在区间x1

本题可用

x=fminbnd（'-0.1*x*（1-x）',0,1）

y=0.1*x*（1-x）

4）指示最大值坐标

用线性绘图函数plot，调用格式如下：

plot（x1,y1,'颜色线型数据点图标’,x2,y2,'颜色线型数据点图标’,…）

说明参见《数学实验》p225

本题可用

holdon;%在上面的同一张图上画线（同坐标系）

plot（[0,x],[y,y],':

',[x,x],[0,y],':

'）;

3）图形的标注使用文本标注函数text，调用格式如下：

格式1

text（x,y,文本标识内容,'HorizontalAlignment','字符串1'）

x,y给定标注文本在图中添加的位置。

'HorizontalAlignment'为水平控制属性，控制文本标识起点位于点（x,y）同一水平线上。

'字符串1'为水平控制属性值，取三个值之一：

‘left'，点（x,y）位于文本标识的左边。

‘center'，点（x,y）位于文本标识的中心点。

‘right'，点（x,y）位于文本标识的右边。

格式2

text（x,y,文本标识内容,'VerticalAlignment','字符串2'）

x,y给定标注文本在图中添加的位置。

'VerticalAlignment'为垂直控制属性，控制文本标识起点位于点（x,y）同一垂直线上。

'字符串1'为垂直控制属性值，取四个值之一：

‘middle'，'top'，'cap'，'baseline'，'bottom'。

（对应位置可在命令窗口应用确

定）

本题可用text（0,y,'（di/dt）m','VerticalAlignment','bottom'）;text（x,-0.001,num2str（x）,'HorizontalAlignment','center'）;

4）坐标轴标注

调用函数xlabel，ylabel和title

本题可用

title（'SI模型di/dt~i曲线'）;

xlabel（'i'）;ylabel（'di/dt'）;

2.实验7-2传染病模型2（SI模型）——画i~t曲线图

（参考教材p137-138）

传染病模型2（SI模型）：

di/dt=ki（1-i）,i（0）=i0;

其中，

i（t）是第t天病人在总人数中所占的比例。

k是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。

i0是初始时刻（t=0）病人的比例

求出微分方程的解析解i（t），画出如下所示的i~t曲线（i（0）=0.15,k=0.2,

t=0~30）。

试编写一个m文件来实现。

（在图形窗口菜单选择Edit/CopyFigure，复制

图形）

團1SI模型冷曲戮

1-8-64J

O..O„O..a（冨艺£區YK）-

［提示］

1）求解微分方程

常微分方程符号解用函数dsolve,调用格式如下：

dsolve（‘equl','equ2',…,'变量名'）

以代表微分方程及初始条件的符号方程为输入参数，多个方程或初始条件可在一个输入变量内联立输入，且以逗号分隔。

默认的独立变量为t,也可把t变为其他的符号变量。

字符D代表对独立变量的微分，通常指d/dt。

本题可用

x=dsolve（‘Dx=k*x*（1-x）','x（0）=x0'）

2）画出i~t曲线（i（0）=0.15,入=0.2,t=0~30）

用for循环，函数length,eval,plot,axis,title,xlabel,ylabel

3.实验7-3传染病模型3（SIS模型）一一画di/dt~i曲线图

（参考教材P138-139）

已知传染病模型3（SIS模型）：

di/dt=-■i［i-（1-1/匚）］,i（0）=i0

其中，

i（t）是第t天病人在总人数中所占的比例。

入是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。

i0是初始时刻（t=0）病人的比例。

c是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数（接触数）。

取入=0.1，c=1.5，画出如下所示的di/dt~i曲线图。

试编写一个m文件来实现。

（在

图

形窗口菜单选择Edit/CopyFigure，复制图形）

［提示］

用fplot函数画出di/dt~i曲线图；

在上图上用plot函数画一条过原点的水平

用title,xlabel,ylabel标注。

4.实验7-4传染病模型3（SIS模型）一一画i~t曲线图

（参考教材P138-139）

已知传染病模型3（SIS模型）：

di/dt=-■i［i-（1-1/-）］,i（0）=i。

其中，

i（t）是第t天病人在总人数中所占的比例。

入是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。

io是初始时刻（t=0）病人的比例。

d是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数（接触数）。

实验要求：

求出微分方程的解析解i（t）。

取入=0.2,（7=3,t=0~40，画出如下所示的图形。

试编写

一个m文件来实现。

09

0.8

07

0.6

05

04

03

0.2

01

%5

10152025303540

t（天）

时的i~t曲线（第1条）；

0,1-1/疔）的水平线（第2条）；时的i~t曲线（第3条）。

legend（'i（0）=0.2','1-1/|E,'i（0）=0.9'）;

5.实验7-5传染病模型4（SIR模型）

（参考教材P140-141）

SIR模型的方程：

di/dt=■si-Jii（0）=i0

ds/dt=-■sis（0）=s0

实验要求：

1•设X=,口=0.3,i（0）=0.02,s（0）=0.98。

输入p139的程序，并修改程序中

的［t,x］，使得输出的数据格式如下（提示：

取4位小数，使用四舍五入取整函数round,矩阵剪裁和拼接）：

ans=

Columns1through6

012345

0.020.0390.07320.12850.20330.2795

0.980.95250.90190.81690.69270.5438

Columns7through12

67891015

0.33120.34440.32470.28630.24180.0787

0.39950.28390.20270.14930.11450.0543

Columns13through18

202530354045

0.02230.00610.00170.00050.00010

0.04340.04080.0401|0.03990.03990.0398

2.运行结果与教材p140的内容比较。

[提示]

1）求解微分方程的数值解函数—ode45，格式如下：

[t,x]=ode45（'fun',ts,x0）

fun是由一个或多个待解方程写成的函数式m文件；

ts=[t0,tf]表示此微分方程的积分限是从t0到tf，也可以是一些离散的

点，形式

为ts=[t0,t1,…,tf];

x0为初值条件。

2）等待用户反应命令pause:

程序执行到该命令时暂停，直到用户按任意键后继续（处

在命令窗口有效）。

三、实验内容

1.实验7-1传染病模型2（SI模型）一一画di/dt~i曲线图

在matlab中建立M文件fun1.m

代码如下：

functiony=fun（x）

k=0.1;

y=k*x*[1-x];

Fun2.m

代码如下：

functiony=fun（x）

k=0.1;

y=-k*x*[1-x];

在命令行输入以下代码：

fplot（'fun1',[01.100.03]）;

x=fminbnd（'fun2',0,1）;

y=0.1*x*（1-x）;

holdon;

plot（[0,x],[y,y],'-',[x,x],[0,y],'-'）;

text（0,y,'（di/dt）m','VerticalAlignment','bottom'）;

text（x,-0.001,num2str（x）,'HorizontalAlignment','center'）;title（'SI模型di/dt~i曲线'）;

xlabel（'i'）;

ylabel（'di/dt'）;

holdoff

2.实验7-2传染病模型2（SI模型）——画i~t曲线图在matlab中建立M文件fun22.m代码如下：

k=0.2;x0=0.15;

x=dsolve（'Dx=k*x*（1-x）','x（0）=x0'）;tt=linspace（0,31,1001）;

fori=1:

1001t=tt（i）;

xx（i）=eval（x）;

end

plot（tt,xx）axis（[0,31,0,1.1]）;

title（'图1SI模型i~t曲线'）;

xlabel（'t（天）'）;

ylabel（'i（病人所占比例）'）;在命令行输入以下代码：

fun22;

3.实验7-3传染病模型3（SIS模型）——画di/dt~i曲线图在matlab中建立M文件fun3.m

代码如下：

functiony=fun（x）

a=0.1;

b=1.5;y=-a*x*[x-（1-1/b）];

在命令行输入以下代码：

fplot（'fun3',[00.4-0.00050.003]）;x=fminbnd（'fun3',0,1）;

title（'SIS模型di/dt~i曲线'）;

xlabel（'i'）;ylabel（'di/dt'）;

>>holdon

>>plot（[0,0.4],[0,0]）

4.实验7-4传染病模型3（SIS模型）——画i~t曲线图在matlab中建立M文件fun4.m代码如下：

functiony=fun（x）

x=dsolve（'Dx=-0.2*x*（x-（1-1/3））','x（0）=0.2'）;tt=linspace（0,41,1001）;

fori=1:

1001t=tt（i）;

xx（i）=eval（x）;

endplot（tt,xx）;holdon;plot（[0,40],[1-1/3,1-1/3],'-k'）;x=dsolve（'Dx=-0.2*x*（x-（1-1/3））','x（0）=0.9'）;tt=linspace（0,41,1001）;

fori=1:

1001

t=tt（i）;xx（i）=eval（x）;

end

plot（tt,xx,'-r'）;

axis（[0,40,0,1]）;

title（'图1SI模型i~t曲线（入=0.2,c=3）'）;xlabel（'t（天）'）;

ylabel（'i（病人所占比例）'）;

legend（'i（0）=0.2','1-1/c','i（0）=0.9'）;

在命令行输入以下代码：

fun4;

5.实验7-5传染病模型4（SIR模型）

在matlab中建立M文件fun5.m

代码如下：

functiony=fun（t,x）

a=1;

b=0.3;

y=[a*x

（1）*x

（2）-b*x

（1）,-a*x

（1）*x

（2）]';在命令行输入以下代码：

>>ts=0:

50;

>>x0=[0.02,0.98];

>>[t,x]=ode45（'fun5',ts,x0）;

>>plot（t,x（:

1）,t,x（:

2））,grid,pause

>>plot（x（:

2）,x（:

1））,grid,

i曲线图

四、实验结果及其分析

1.实验7-1传染病模型2（SI模型）——画di/dt~

分析：

当i=1/2时di/dt达到最大值（di/dt）m,这时病人增加得在最快，可以认为是医院的门诊

量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻。

当t趋近于无穷时i

趋近于1,即所有人终将被传染，全部变成病人，着显然不符合实际。

原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者

分析：

当i=1/2时di/dt达到最大值（di/dt）m,这时病人增加得在最快，可以认为是医院的门诊

量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻。

当t趋近于无穷时i

趋近于1,即所有人终将被传染，全部变成病人，着显然不符合实际。

原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者

分析：

口是一个阈值，当口>1时,i（t）的增减性取决于i0的大小，但其极限值i（无穷）=1-1/口，随口的增加而增加（试从的含义给予解释）；当<=1时，病人的比例i（t）越来越小。

最终趋近于0，这是由于传染期内经有效接触从而使健康者变成病人数不超过原来的病人数的缘故。

°0

09

U.8

07

0.6

05

04

0.3

0.2

01

610152025303540

t（天）

分析：

口是一个阈值，当口>1时,i（t）的增减性取决于i0的大小，但其极限值i（无穷）=1-1/口，随口的增加而增加（试从的含义给予解释）；当<=1时，病人的比例i（t）越来越小。

最终趋近于0，这是由于传染期内经有效接触从而使健康者变成病人数不超过原来的病人数的缘故。

5.实验7-5传染病模型4（SIR模型）

ans=

00.02000.9800

1.0000

0.0390

0.9525

2.0000

0.0732

0.9019

3.0000

0.1285

0.8169

4.0000

0.2033

0.6927

5.0000

0.2795

0.5438

6.0000

0.3312

0.3995

7.0000

0.3444

0.2839

8.0000

0.3247

0.2027

9.0000

0.2863

0.1493

10.0000

0.2418

0.1145

11.0000

0.1986

0.0917

12.0000

0.1599

0.0767

13.0000

0.1272

0.0665

14.0000

0.1004

0.0593

15.0000

0.0787

0.0543

16.0000

0.0614

0.0507

17.0000

0.0478

0.0480

18.0000

0.0371

0.0460

19.0000

0.0287

0.0445

20.0000

0.0223

0.0434

21.0000

0.0172

0.0426

22.0000

0.0133

0.0419

23.0000

0.0103

0.0415

24.0000

0.0079

0.0411

25.0000

0.0061

0.0408

26.0000

0.0047

0.0406

27.0000

0.0036

0.0404

28.0000

0.0028

0.0403

29.0000

0.0022

0.0402

30.0000

0.0017

0.0401

31.0000

0.0013

0.0400

32.0000

0.0010

0.0400

33.0000

0.0008

0.0400

34.0000

0.0006

0.0399

35.0000

0.0005

0.0399

36.0000

0.0004

0.0399

37.0000

0.0003

0.0399

38.0000

0.0002

0.0399

39.0000

0.0002

0.0399

40.0000

0.0001

0.0399

41.0000

0.0001

0.0399

42.0000

0.0001

0.0399

43.0000

0.0001

0.0399

44.0000

0.0000

0.0398

45.0000

0.0000

0.0398

46.0000

0.0000

0.0398

47.0000

0.0000

0.0398

48.0000

0.0000

0.0398

49.0000

0.0000

0.0398

50.0000

0.0000

0.0398

1

分析：

如果仅当病人比例i（t）有一段增长的时期才认为传染病在蔓延，那么1/c是一个阈值,

当S0>1/（T时传染病就会蔓延，而减小传染期接触数（7，即提高阈值1/（7，是的S0<=1/（T,传染病就不会蔓延。

7减小时，SX增加，im降低，也控制了蔓延的程度。

在7=入/卩中，人们的卫生水平提高，日接触率入越小；医疗水平越高，日治愈率卩越大，于是7越小，所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延。