最新二元一次方程组 学案.docx
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最新二元一次方程组学案
一、重点、难点分析
本节的教学重点是使学生学会用代入法.教学难点 在于灵活运用代入法,这要通过一定数量的练习来解决;另一个难点在于用代入法求出一个未知数的值后,不知道应把它代入哪一个方程求另一个未知数的值比较简便.
解二元一次方程组的关键在于消元,即将“二元”转化为“一元”.我们是通过等量代换的方法,消去一个未知数,从而求得原方程组的解.
二、知识结构
三、教法建议
1.关于检验方程组的解的问题.教材指出:
“检验时,需将所求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中,看看方程的左、右两边是不是相等.”教学时要强调“原方程组”和“每一个”这两点.检验的作用,一是使学生进一步明确代入法是求方程组的解的一种基本方法,通过代入消元的确可以求得方程组的解二是进一步巩固二元一次方程组的解的概念,强调
这一对数值才是原方程组的解,并且它们必须使两个方程左、右两边的值都相等;三是因为我们没有用方程组的同解原理而是用代换(等式的传递)来解方程组的,所以有必要检验求出来的这一对数值是不是原方程组的解;四是为了杜绝变形和计算时发生的错误.检验可以口算或在草稿纸上演算,教科书中没有写出.
2.教学时,应结合具体的例子指出这里解二元一次方程组的关键在于消元,即把“二元”转化为“一元”.我们是通过等量代换的方法,消去一个未知数,从而求得原方程组的解.早一些指出消元思想和把“二元”转化为“一元”的方法,这样,学生就能有较强的目的性.
3.教师讲解例题时要注意由简到繁,由易到难,逐步加深.随着例题由简到繁,由易到难,要特别强调解方程组时应努力使变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易.这样不仅可以求解迅速,而且可以减少错误.
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1.掌握用代入法解二元一次方程组的步骤.
2.熟练运用代入法解简单的二元一次方程组.
(二)能力训练点
1.培养学生的分析能力,能迅速在所给的二元一次方程组中,选择一个系数较简单的方程进行变形.
2.训练学生的运算技巧,养成检验的习惯.
(三)德育渗透点
消元,化未知为已知的数学思想.
(四)美育渗透点
通过本节课的学习,渗透化归的数学美,以及方程组的解所体现出来的奇异的数学美.
二、学法引导
1.教学方法:
引导发现法、练习法,尝试指导法.
2.学生学法:
在前面已经学过一元一次方程的解法,求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程,故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法.
三、重点、难点、疑点及解决办法
(-)重点
使学生会用代入法解二元一次方程组.
(二)难点
灵活运用代入法的技巧.
(三)疑点
如何“消元”,把“二元”转化为“一元”.
(四)解决办法
一方面复习用一个未知量表示另一个未知量的方法,另一方面学会选择用一个系数较简单的方程进行变形:
四、课时安排
一课时.
五、教具学具准备
电脑或投影仪、自制胶片.
六、师生互动活动设计
1.教师设问怎样用一个未知量表示另一个未知量,并比较哪种表示形式更简单,如等.
2.通过课本中香蕉、苹果的应用问题,引导学生列出一元一次方程或二元一次方程组,并通过比较、尝试,探索出化二元为一元的解方程组的方法.
3.再通过比较、尝试,探索出选一个系数较简单的方程变形,通过代入法求方程组解的办法更简便,并寻找出求解的规律.
七、教学步骤
(-)明确目标
本节课我们将学习用代入法求二元一次方程组的解.
(二)整体感知
从复习用一个未知量表达另一个未知量的方法,从而导入 运用代入法化二元为一元方程的求解过程,即利用代入消元法求二元一次方程组的解的办法.
(三)教学步骤
1.创设情境,复习导入
(1)已知方程,先用含的代数式表示,再用含的代数式表示.并比较哪一种形式比较简单.
(2)选择题:
二元一次方程组的解是
A.B.C.D.
【教法说明】第
(1)题为用代入法解二元一次方程组打下基础;第
(2)题既复习了上节课的重点,又成为导入 新课的材料.
通过上节课的学习,我们会检验一对数值是否为某个二元一次方程组的解.那么,已知一个二元一次方程组,应该怎样求出它的解呢?
这节课我们就来学习.
这样导入 ,可以激发学生的求知欲.
2.探索新知,讲授新课
香蕉的售价为5元/千克,苹果的售价为3元/千克,小华共买了香蕉和苹果9千克,付款33元,香蕉和苹果各买了多少千克?
学生活动:
分别列出一元一次方程和二元一次方程组,两个学生板演.
设买了香蕉千克,那么苹果买了千克,根据题意,得
设买了香蕉千克,买了苹果千克,得
上面的一元一次方程我们会解,能否把二元一次方程组转化为一元一次方程呢,由方程①可以得到 ③,把方程②中的转换成,也就是把方程③代入方程②,就可以得到.这样,我们就把二元一次方程组转化成了一元一次方程,由这个方程就可以求出了.
解:
由①得:
③
把③代入②,得:
∴
把代入③,得:
∴
【教法说明】解二元一次方程组与解一元一次方程相比较,向学生展示了知识的发生过程,这对于学生知识的形成十分重要.
上面解二元一次方程组的方法,就是代入消元法.你能简单说说用代入法解二元一次方程组的基本思路吗?
学生活动:
小组讨论,选代表发言,教师进行指导.纠正后归纳:
设法消去一个未知数,把二元一次方程组转化为一元一次方程.
例1 解方程组
(1)观察上面的方程组,应该如何消元?
(把①代入②)
(2)把①代入②后可消掉,得到关于的一元一次方程,求出.
(3)求出后代入哪个方程中求比较简单?
(①)
学生活动:
依次回答问题后,教师板书
解:
把①代入②,得
∴
把代入①,得
∴
如何检验得到的结果是否正确?
学生活动:
口答检验.
教师:
要把所得结果分别代入原方程组的每一个方程中.
【教法说明】给出例1后提出的三个问题,恰好是学生的思维过程,明确了解题思路;教师板演例1,规范了解二元一次方程组的解题格式;通过检验,可使学生养成严谨认真的学习习惯.
例2 解方程组
要把某个方程化成如例1中方程①的形式后,代入另一个方程中才能消元.方程②中的系数是1,比较简单.因此,可以先将方程②变形,用含的代数式表示,再代入方程①求解.
学生活动:
尝试完成例2.
教师巡视指导,发现并纠正学生的问题,把书写过程规范化.
解:
由②,得 ③
把③代入①,得
∴
∴
把代入③,得
∴
∴
检验后,师生共同讨论:
(1)由②得到③后,再代入②可以吗?
(不可以)为什么?
(得到的是恒等式,不能求解)
(2)把代入①或②可以求出吗?
(可以)代入③有什么好处?
(运算简便)
学生活动:
根据例1、例2的解题过程,尝试总结用代入法解二元一次方程组的一般步骤,讨论后选代表发言.之后,看课本第12页,用几个字概括每个步骤.
教师板书:
(1)变形()
(2)代入消元()
(3)解一元一次方程得()
(4)把代入求解
练习:
P13 1.
(1)
(2);P14 2.
(1)
(2).
3.变式训练,培养能力
①由可以得到用表示.
②在中,当时,;当时,,则;.
③选择:
若是方程组的解,则()
A.B.C.D.
(四)总结、扩展
1.解二元一次方程组的思想:
.
2.用代入法解二元一次方程组的步骤.
3.用代入法解二元一次方程组的技巧:
①变形的技巧②代入的技巧.
通过这节课的学习,我们要熟练运用代入法解二元一次方程组,并能检验结果是否正确.
八、布置作业
(一)必做题:
P151.
(2)(4),2.
(1)
(2)(3)(4).
(二)选做题:
P15B组
一元一次不等式组”教学案例
许欣欣
教学目标
①熟练掌握一元一次不等式组的解法,会用一元一次不等式组解决有关的实际问题;
②理解一元一次不等式组应用题的一般解题步骤,逐步形成分析问题和解决问题的能力;
③体验数学学习的乐趣,感受一元一次不等式组在解决实际问题中的价值。
教学重点与难点
重点:
建立用不等式组解决实际问题的数学模型。
难点:
正确分析实际问题中的不等关系,列出不等式组。
教学设计
教学过程
设计意图说明
复习归纳
在习题9.3第1题中,我们知道以下不等式组与解集的对应关系
(1)你从中发现了什么规律吗?
(2)如果a、b都是常数,且a<b,你能不画数轴(但头脑中可以想数轴)很快写出它们的解集吗?
老师推荐一个口诀帮助同学们记忆:
小小取小;大大取大;大小小大取中间;大大小小题无解。
复习旧知。
引申归纳。
提升认识。
探究实际问题
出示教科书第145页例2(略)
问:
(1)你是怎样理解“不能完成任务”的数量含义的?
(2)你是怎样理解“提前完成任务”的数量含义的?
(3)解决这个问题,你打算怎样设未知数?
列出怎样的不等式?
师生一起讨论解决例2。
解(略)
归纳小结
①教科书146页“归纳”(略)。
②你觉得列一元一次不等式组解应用题与列二元一次方程组解应用题的步骤一样吗?
在讨论或议论的基础上老师揭示:
步法一致(设、列、解、答);本质有区别。
(见下表)
一元一次不等式组应用题与二元一次方程组应用题解题步骤异同表
设
列
解(结果)
答
一元一次不等式组
一个未知数
找不等关系
一个范围
根据题意
二元一次方程组
两个未知数
找等量关系
一对数
写出答案
学生对用不等式解决实际问题有了一定积累,这里对同一个未知量需要满足几个不等关系的实际问题做进一步探索。
通过类比,让学生感受,列一元一次不等式组解应用题,实际上是前面学过的知识与方法的自然拓展,体验数学各分支之间的内在联系及貌似神不似的数学现象,培养学生的辩证思想。
讨论交流
你对解决以下实际问题时的设与列有什么想法?
教科书147页练习第2题(略)
设张力平均每天读x页,则
7x>98
7(x+3)<98
(错误原因:
列式时不等号反向)
教科书148页第4题(略)
设进价的范围是x元,则
x-150>10%x
x-150<20%x
(错误原因:
设未知数不确切。
应改为设“进价为x元”)
对以上两题的纠正,你有什么感受?
教师揭示:
列不等式解应用题时,
(1)不等号方向要符合实际的数量关系,不能颠倒;
(2)未知数所代表的量要确切,不能含含糊糊。
学生在列不等式时,不等号方向经常出错,让学生在讨论中辨析。
学生设未知数时,往往受方程应用题的迁移,沿用求什么设什么的做法,常给列式带来困难甚至出错。
此处设计:
(1)突出设与列;
(2)期望起到防患于未然的作用。
练习反馈
基本练习
(1)教科书147页练习第2题。
(2)某校在一次参观活动中,把学生编为8个组,若每组
比预定人数多1人,则参观人数超过200人,若每组比预定人数少2人,则参观人数不大于184人,试求预定每组学生的人数。
备选练习(只要求设出未知数,列出不等式)
(1)已知点A(x-2,5-x)在第三象限,求x的取值范围。
(2)课外阅读课上,老师将43本书分给各个小组。
每组8本,还有剩余;每组9本,却又不够。
有几个小组?
(3)一次智力测验,有20道选择题。
评分标准为:
对1题给5分,错1题扣2分,不答题不给分也不扣分。
小明有两道题未答。
至少答对几道题,总分才不会低于60分?
教师巡视、指导、调控。
基本练习是对列一元一次不等式组解应用题的全过程的巩固。
备选练习突出“设”与“列”,同时也是一种拓展训练。
布置作业
①必做题:
教科书148页习题9.3第4、5、6题。
②选做题:
教科书148页习题9.3第7、8、9题。
③备选题:
(1)某车间生产机器零件,若每天比预定计划多做一件,8天所做零件的总数超过100件,如果每天比预定计划少做一件,那么8天可做零件的总数不到90件,问预定计划每天做多少件?
(件数是正整数)
(2)是否存在这样的整数a,使方程组
3x+4y=a
4x+3y=5
的解是一对非负数?
如果存在,求出它的解;若不存在,请说明理由。
分层练习,各得其所。
设计思想
本节课对不等式的解集的求法做概括小结,着重引导学生对一元一次不等式组应用题进行探究。
求解集的归纳不放在前一课时,而放在本课时的开头,其思路是让学生对不等式组及解集概念的形成和数形结合方法的运用有一个过程性的体验和感受,让学生在具备一定的感性积累的基础上,及时地加快解题速度。
这里占用的时间少,学生理解容易。
对于应用题教学的设计,让学生在与二元一次方程组应用题的类比中,理解一元一次不等式组应用题的解题步骤,侧重于列式及平时练习中的错误暴露。
这样既突出设与列,又防患于未然。
8.3多边形的内角和与外角和
教学目的
1.使学生了解多边形及多边形的内角、外角等概念。
2.使学生通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式,并会利用它们进行有关计算。
重点、难点
1.重点:
多边形的内角和与外角和定理。
2.难点:
多边形的内角和,外角和定理的推导。
教学过程
一、复习提问
1.什么叫三角形?
2.三角形的内角和是多少?
3.什么叫三角形的外角?
什么叫外角和?
三角形的外角和是多少?
二、新授
1.多边形的概念,
三角形有三个内角、三条边,我们也可以把三角形称为三边形(但习惯称三角形)。
我们知道:
不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结组成的平面图形叫三角形。
你能说出什么叫四边形、五边形吗?
如图
(1)它是由不在同一直线上的4条线段首尾顺次连结组成的平面图形,记为四边形ABCD。
(按顺时针或逆时针方向书写)
图
(2)是由不在同一直线上的5条线段首尾顾次连结组成的平面图形,记为五边形ABCDE。
一般地,由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形,记为n边形,又称多边形。
与三角形类似如图,∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角,延长AB、CB得四边形ABCD的两个外角∠CBE和∠ABF,这两个外角是对顶角。
一个n边形有n个内角,有2n个外角。
如果多边形的各边都相等,各内角也都相等,则称为正多边形,如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等等。
连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线,如图1,线段AC是四边形ABCD的对角线,如图2,线段AD、AC是四边形ABCDE的对角线,如图3中线段AC、AD、AE是六边形ABCDEF的对角线。
问:
(1)四边形有几条对角线?
(两条AC、BD)
(2)五边形有几条对角线?
以A为端点的对角线有两条AC、AD,同样以月为端点的对角线也有2条,以C为端点也有2条,但AC与CA是同一条线段,以D为端点的两条DA、DB与AD、BD都分别表示同一条线段。
所以只有5条。
(3)六边形有几条对角线?
n边形呢?
六边形有9条对角线。
从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线,可以引(n-3)条,(除本身这个点以及和这点相邻的两点外),那么n个顶点,就有n(n-3)条,但其中每一条都重复计算一次,如AB与BA,所以n边形一共有条对角线。
大家可以加以验证:
当n=3时,没有对角线,当n=4时,有2条;当n=5时,有5条:
当n=6时,有9条…
2.多边形的内角和公式。
三角形是边数最少的多边形,它的内角和等于180°,那么一般n边形是否也有内角和公式呢?
让我们先从四边形,正边形,六边形……开始。
从上面对角线的研究可知,一条对角线把四边形分成2个三角形,这两个三角形的内角和的和就是四边形的内角和,五边形的内角和就是图中3个三角表内角和的和。
让学生填写教科书表8.3.1由此,你可以得到”边形的内角和公式吗?
n边形的内角和=(n-2)·180°知道一个多边形的内角和,根据公式也可以求边数n。
例1.一个多边形的内角和等于2340°,求它的边数。
问题:
一个正多边形的一个内角为150°,你知道它是几边形?
分析:
正多边形的每个内角都相等。
多边形的内角和等于(n-2)·180°,还可以用以下的划分来说明,即在n边形内任取一点P,连结点P与多边形的每个顶点,可得几个三角形?
这几个三角形的各内角与这个多边的各内角之间有什么关系?
请你试一试。
对有困难的学生教师可以加以引导。
如图(教科书图8.3.5)每一个三角形都有一条边就是多边形的边,因此n边形就可划分成n个三角形,这n个三角形的内角和减去以P为顶点的周角所得的差就是”边形的内角和。
因此,n边形的内角和为:
n·180°-360°=n·180°-2·180°=(n-2)·180°
问:
还有其他方法吗?
让学生自主探索,对不同方法给予鼓励。
3.多边形的外角和。
什么叫多边形的外角和。
与三角形的外角和一样,与多边形的每个内角相邻的外角有两个,这两个角是对顶角,从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加,
得到的和称为多边形的外角和,如教科书图8.3.1,∠1+∠2+∠3+∠4就是四边形的外角和。
多边形的外角和是否也可以用公式表示呢?
下面我们也来探讨。
因为n边形的一个内角与它的相邻的外角互为补角,所以可先求出多边形的内角与外角的总和,再减去内角和,就可得到外角和。
让学生填写填教科写表8.3.2
n边形的内角与外角的总和为n·180°
n边形的内角和为(n-2)·180°
那么n边形的外角和为n·180°-(n-2)·180°=n·180°-n·180°+360°=360°
这就是说多边形的9L角和与边数无关,都等于360°。
例2.一个正多边形的一个内角比相邻外角大36°,求这个正多边形的边数。
分析:
正多边形的各个内角都相等,那么各个外角也都相等,而多边形的外角和是360°,因此只要求出每个外角度数,就可知是几边形了。
点拨;多边形的外角和等于360°,与边数无关,故常把多边形内角的问题转化为外角和来处理。
三、巩固练习
1.教科书第55页练习1.2。
第2题引导学生从外角考虑,多边形的内角是锐角,那么和这个内角相邻的外角是什么样的角?
[钝角]
多边形的外角和是360°,那么在这些外角中钝角的个数最多可以是几个?
3个可以吗?
4个呢?
让学生动手算一算,由他们自己得出结论.
从而得到最多可以有3个外角是钝角,即多边形的内角中最多可以有3个是锐角。
四、小结
本节课我们通过把多边形划分成若干个三角形,用三角形内角和去求多边形的内角和,从而得到多边形的内角和公式为(n-2)·180°。
这种化未知为已知的转化方法,必须在学习中逐步掌握。
由于多边形的外角和等于360°,与边数无关,所以常把多边形内角的问题转化为外角和来处理。
五、作业
教科书习题8.3.1、2、3、4。
9.1.2.《三角形的外角和》教案
第一课时
教学目的
1.使学生在操作活动中,探索并了解三角形的外角的两条性质以及三角形的外角和。
2.利用平行线性质来证明三角形的外角的第一个性质以及三角形 的外角和。
3.会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算。
重点、难点
1.重点:
掌握三角形外角的性质以及其外角的和。
2.难点:
在三角形外角的性质证明的过程中,涉及到添加辅助线来沟通证明思路的方法。
教学过程
一、复习提问
1.什么叫三角形的外角?
三角形的外角和它相邻的内角之间有什么关系?
2.三角形的内角和等于多少?
二、新授
我们已经知道三角形的内角和等于180°。
1.现在我们探索三角形的外角及外角和。
如图所示,一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角,不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角。
∠DAC是三角形的一个外角,内角BAC与它相邻,内角∠B、∠C与它不相邻。
A D
B C
问:
三角形的外角与和它相邻内角有什么关系?
(互补)
探索三角形的一个外角与它不相邻的两个内角之间的关系。
请同学们拿出一张白纸,在白纸上画出如教科书图9.1.9所示的图形,然后把∠ACB、∠BAC剪下拼在一起放到∠CBD上,使点A、C、B重合,看看会出现什么结果,与同伴交流一下,结果是否一样。
请你用文字语言叙述三角形的一个外角与它不相邻的两个内角间的关系。
由此可知:
三角形外角有两条性质:
(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;
(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
A
如图:
D是△ABC边BC上一点,则有
∠ADC=∠DAB+∠ABD B D C
∠ADC>∠DAB,∠ADC>∠ABD
问:
∠ADB=∠( )+∠( )
2.探索证明“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和”的方法。
(1)你能用“三角形的内角和等于180°”来说明三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和呢?
(2)你能否从前面的操作中,得到说明三角形外角性质的另一种方法?
3、探索三角形的外角和
(1)与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个,这两个外角是对顶角,从与每个内角相等的两个外角中分别取一个相加,得到的和称为三角形的外角和。
(2)探索三角形的外角和是多少?
(3)探索三角形的外角和是360°的证明方法。
三、巩固练习
教科书第64页练习1、2。
四、小结
1、三角形的内角和与外角和各是多少?
2、三角形的外角有哪些性质?
五、作业
教科书第67页习题9。
1第1、2题
第二课时
教学目的
使学生能熟练灵活地利用三角形内角和,外角和以及外角的两条性质进行有关计算。
重点:
利用三角形的内角和与外角的两条性质来求三角形的内角或外角。
难点:
比较复杂图形,灵活应用三角形外角的性质。
教学过程
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