二次函数的应用.docx

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二次函数的应用

二次函数的应用

主讲：

方敏文

一周强化

一、一周知识概述

1、求极值（或最值）是许多实际问题中需要研究和解决的课题，二次函数是一种解决此类问题的模型．

　　在实际问题中，若由题意列出的函数关系式是一个二次函数，则这些问题属于二次函数的最值问题．解决这类问题的关键是审清题意，建立二次函数关系式．实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义．因此在求二次函数的最值，一定要注意自变量x的取值范围．

2、实际生活中的二次函数常见类型有以下几种

（1）利用实际问题构建二次函数关系式，如运动轨迹、桥梁等问题．

（2）生产经营活动问题中产值、利润最大，材料、费用最省等最优化问题．

（3）平面几何图形面积问题．

3、数学模型的建立

　　正确建立函数关系式，同时实际问题中的自变量的取值范围也不可忽视，这是函数表达式的两个不可分割的部分，是正确建立函数关系式的两个要素．

　　利用二次函数的最值解决实际问题时，要恰当地把实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而以确定二次函数的表达式．另外，当求出最值时，要从实际意义出发检验最值与实际问题的最值是否一致．

4、经济生活中的问题转化为二次函数模型时要注意变量间的关系，寻求等量关系得到解析式．

常用的关系有：

（1）销售额=销售数量×销售单价

（2）销售利润=销售收入—买入支出

（3）商品利润=商品售价－商品进价

（4）

二、重点和难点知识

重点：

运用数形结合的思想方法，应用二次函数的图象和性质解决实际问题．

难点：

在应用知识解决问题的过程中建立最优化模型的思想．

三、典型例题讲解

例1、如图所示，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．

（1）求S与x的函数关系式；

（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米?

　　（3）能围成面积比45m2更大的花圃吗?

如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．

分析：

　　由图形可知花圃的宽为AB=xm，长BC为（24－3x）m，则S与x的函数关系式不难求解出，第

（2）、（3）问可利用S与x的函数关系式来解答．

解：

（1）设宽AB=xm，则BC=（24－3x）m，

　　此时面积S=x·（24－3x）=－3x2＋24x．

（2）由条件得－3x2＋24x=45，

　　化为x2－8x＋15=0，解得x1=5，x2=3．

　　∵0＜24－3x≤10，得

，

　　∴x2=3不符合题意，故AB=5，即花圃的宽为5m．

　　（3）S=－3x2＋24x=－3（x2－8x）=－3（x－4）2＋48．

　　∵

，∴当

时，

．

　　∴能围成面积比45m2更大的花圃．花圃的长取

，宽取

，这时有最大面积

．

误区警示：

　　首先在确定函数y=－3（x－4）2＋48的最大值时，应根据实际情形

及函数的性质来综合说明，切忌不加分析而误认为当x=4时，其面积有最大值48m2；其次是在利用数学方法求出的结论中，必须检验该结果的合理性．

例2、“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y（千克）与销售单价x（元）（x≥30）存在如图所示的一次函数关系．

（1）试求出y与x的函数关系式；

（2）设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润p元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润?

最大利润是多少?

　　（3）根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围（直接写出）．

分析：

（1）y与x之间是一次函数关系，且过点（30,400）和（40,200）．故y与x之间的关系易求；

（2）每天获得的利润应为销售单价减去进价乘销售数量，即p=（x－20）·y；

　　（3）由4180≤p≤4480可求出销售单价的范围．

解：

（1）设y=kx＋b，由图象可知，

　　∴y=－20x＋1000．

（2）p=（x－20）y=（x－20）（－20x＋1000）=－20x2＋1400x－20000．

∵a=－20＜0，∴p有最大值．

当

时，p最大值=4500．

即当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．

　　（3）31≤x≤34或36≤x≤39．

反思：

　　仔细观察所绘图象特点，明确销售利润是指每千克的销售利润，还是每天的销售利润，从而正确地列出函数关系式．

例3、如图，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线与矩形ABCO的三边OA、OB、BC围成，以OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为

其中：

BC=2.4米，AB=10米，若有一辆高4米，宽2米，装有集装箱的汽车通过隧道右侧，则汽车的右侧离开隧道右壁多少米时，才不至于碰到隧道的顶部，又不违反交通规则？

分析：

　　因为隧道是双向的，且要求集装箱汽车在双向右侧行驶，即是在5米至10米之间去考虑．

解：

　　∵BC=2.4米，集装箱汽车高为4米，∴4－2.4=1.6米，

　　而拱桥在抛物线

上，∴把y=1.6代入式中，

∴x2－10x＋16=0，∴x1=2，x2=8．

　　即在抛物线上有两点M、N，它们的坐标为M（2，1.6）和N（8，1.6），显然应取点N对应的x=8．

　　这时离右壁CB有10－8=2（米）

　　所以，当汽车右侧离开隧道右壁2米，离左壁5米处时，即5

例4、如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．动点P从A出发，以1cm/s的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD．

（1）当点P运动2s时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；

（2）当点P运动2s时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以1cm/s的速度匀速运动，在BC上以2cm/s的速度匀速运动．过Q作直线QN，使QN∥PM．设点Q运动的时间为ts（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2．

　　①S关于t的函数关系式；

　　②求S的最大值．

分析：

　　本题集代数、几何知识为一体，综合性较强．问题

（1）涉及∠A=60°，△APE为直角三角形，必然运用到勾股定理；问题

（2）应运用分类讨论的数学思想，即点P，点Q运动的位置有三种情形．而求S的最大值时，要充分运用二次函数的性质及自变量的取值范围．

解：

（1）当点P运动2s时，AP=2cm，由∠A=60°，

　　知AE=1cm，

，∴

．

（2）①当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，

，AP=t＋2，

．

　　∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为

．

　　当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动．设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，

，BP=t－6，CP=10－t，

，而

，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为

．

　　当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动．设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则CQ=20－2t，

，CP=10－t，

．

　　∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为

．

　　故S关于t的函数关系式为

　　②当0≤t≤6时，S的最大值为

；

　　当6≤t≤8时，S的最大值为

；当8≤t≤10时，S的最大值为

；

　　所以当t=8时，S有最大值为

．

反思：

　　动点问题应弄清动点在不同位置时所得图形的面积不同，所以探究最值时应在各自的取值范围内探究．

例5、已知抛物线y=x2＋（2n－1）x＋n2－1（n为常数）.

（1）当抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数表达式.

（2）设A是

（1）所确定的抛物线上位于x轴下方，且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C.

　　①当BC=1时，求矩形ABCD的周长.

　　②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？

如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由.

解析：

　　应先求出抛物线所对应的函数式，然后根据题设条件作出矩形，进而求解.

解：

（1）∵抛物线经过原点（0，0），∴当x=0，y=0，即n2－1=0，n1=1，n2=－1

当n=1时，y=x2＋x，此抛物线顶点是

不在第四象限.

当n=－1时，y=x2－3x，此抛物线顶点是

在第四象限,

∴所求函数式为y=x2－3x.

（2）由y=x2－3x，顶点为

，对称轴

令y=0，∴x2－3x=0，x（x－3）=0，∴x1=0，x2=3,

∴抛物线与x轴另一交点是（3，0），

∴函数图象大致如图.

①当BC=1时，设对称轴交x轴于E，由对称性

∴B的坐标为（1，0）

∴点A的横坐标x=1，而点A在抛物线上，

∴点A的纵坐标y=12－3×1=－2，

∴AB=|y|=|－2|=2，

∴矩形ABCD周长为：

2（AB＋BC）=2×（2＋1）=6.

②假设矩形ABCD周长随点A的运动存在最大值，

∵点A在抛物线上，

∴点A的坐标为（x,x2－3x），则点B的坐标为（x,0）（0

）

由对称性，BC=3－2OB=3－2x，而点A的纵坐标x2－3x<0，

∴AB=|x2－3x|=3x－x2

∴矩形ABCD周长=2[（3－2x）＋（3x－x2）]=－2x2＋2x＋6=

∵a=－2<0，∴当x=

时，矩形ABCD周长有最大值

，所以假设成立.