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《高等数学微积分学》笔记
高等数学(微积分学)
主讲:
王飞燕教授、柳重堪教授、蔡高厅教授
宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,无处不用数学。
(华罗庚,1910—1985)
数学处于人类智能的中心领域。
(冯﹒诺依曼,1903—1957)
数学是调节理论和实践、思想和经验之间差异的工具。
它架起了一座连通双方的桥梁,并在不断地加固它。
事实上,全部现代文明中有关理性认识和征服自然的部分都有赖于数学。
(希尔伯特,1863—1943)
前言
《高等数学》主要包括:
一元和多元函数、极限与连续、导数与微分学、导数应用、不定积分、定积分、无穷级数(包括傅里叶级数)、微分方程、矢量代数、空间解析几何。
教学目标:
掌握高等数学基本知识、基本理论,基本计算方法,提高数学素养;培养学生抽象思维和逻辑推理能力,辩证的思想方法;培养学生的空间想象能力;培养学生分析问题和解决问题的能力;为学生进一步学习数学打下一定的基础,为学习专业的后继课程准备必要的数学基础。
第一章 函数
一、实数:
1、数的扩展:
自然数集(N)、整数集(Z,自然数+零+负整数)、有理数集(Q,整数+分数)、实数集(R,有理数+无理数)、复数(实数+虚数)……
在高等数学研究中的数基本上都是实数,若用到虚数都会特别的说明。
2、数的几何表示——数轴:
数轴的特点:
有正负方向、有零点、有刻度。
它的作用是:
数轴上的点与实数是一一对应的关系。
3、区间:
某一实数集A与数轴上的某一区间对应。
﹛x:
a<x<b﹜=﹙a,b﹚——开区间,﹛x:
a≤x≤b﹜=[a,b]——闭区间。
4、邻域:
假设有两个数,a、δ(δ>0),则称实数集﹛x|a-δ
去心邻域:
把N(a,δ)的中心点a去掉,称为a的去心邻域,记为N(,δ)=﹛x|0<|x-a|<δ﹜=N(a,δ)﹨﹛a﹜。
5、绝对值:
二、函数:
1、常量&变量:
常量:
在某一过程中,取固定值的量,g、π等。
变量:
在某一过程当中,可以取不同数值的量,R、t、s等。
2、函数:
有两个变量,且这两个变量之间有依赖关系,当一个变量在某个区间取定一个数值时,另一个变量取相应的值,如下,其中x称为这个函数的自变量,y称为这个函数的因变量;x的取值范围称为定义域,y的取值范围称为值域。
y=f(x)
【注】:
(1)f表示了一种自变量和因变量的对应规则;
(2)f表示函数,f(x)表示函数值,y=f(x)称作y是x的函数;(3)函数符号可以用f、g、h……;(4)函数具有单值性,即一个x只有一个唯一的y与其对应;(5)函数的定义域非常重要;,注意有时需要考虑它的物理意义;(6)y=f(x),含有n个自变量的函数,称为n元函数。
3、函数的表示方法:
(1)解析法(即公式法):
如y=x3-1。
优点:
可以精确的来研究函数;缺点:
不直观。
(2)图形法:
在直角坐标系中,把满足y=f(x)的点(x,y)的轨迹,即为该函数的图形。
优点:
直观;缺点:
不精确。
(3)列表法:
优点:
便于查找函数值;缺点:
不完整。
4、函数的属性:
(1)有界性:
y=f(x)有界
如果存在M>0,使得|f(x)|≤M,其中在定义域内的x都成立,则该函数具有有界性。
如正弦函数|sinx|≤1;
相反,为无界函数。
(2)奇偶性(对称性):
若f(x)=f(-x),则称f(x)为偶函数,如y=x2,几何特点是以y轴对称。
若f(x)=-f(x),则称f(x)为奇函数,如y=x3,几何特点是以原点为中心对称。
如:
f(x)=(ax+a-x)/2为偶函数,g(x)=(ax-a-x)/2为奇函数。
(3)周期性(循环性):
如果y=f(x),x∈D,若存在T>0,使得对任意x∈D有x+T∈D且f(x+T)=f(x),则该函数具有周期性。
【注】:
有些函数存在最小正周期。
(4)单调性:
如果对于任意的两点x1 如果对于任意的两点x1 注: 说函数的单调性一定要注明区间。 三、初等函数: 1、基本初等函数: 基本初等函数是指下面这些函数: (1)常值函数: y=c (2)幂函数: y=xα(α可以取任意实数) (3)指数函数: y=ax(其中a>0且a≠1),如y=ex(其中e=2.718……) (4)对数函数: y=logax,如y=logex (5)三角函数: 主要有y=sinx,y=cosx,y=tgx (6)反三角函数: y=arcsinx,yarccosx,y=arctgx 2、函数的运算: 基本运算: 加、减、乘、除;特殊运算: 符合运算。 如y=lgsinx,则y=lgu,u=sinx。 3、初等函数: 初等函数是指由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除,符合而成的函数。 4、建立函数关系举例: 注意: 第一,根据问题分清变量和常量;第二,在变量里面分清自变量和因变量;第三,存在多余变量,要消掉多余变量。 四、小结: 1、注意区间、邻域的概念和表达; 2、函数: 概念、定义域、值域、表达、建立函数关系等。 第二章 极限与连续 一、数列的极限: 1、数列和数列极限: 数列是指一列有次序的数,按一定次序排列就构成数列,如X1、X2、X3……Xn。 极限研究的是数列的变化趋势。 数列极限是指对于一个数列,当n趋于无限大时,这个数列无限地接近于某一个常数,就称这个数列是有极限的,而这个常数就称为这个数列的极限。 2、无限接近: “无限接近”: |Xn-C|之间的距离。 【定义】设Xn、a,如果对任ε>0,总存在N使得当n>N开始,均有|Xn-a|<ε,则称数列Xn的极限是a,记成。 即: a-ε 3、数列极限的性质: 1、唯一性(极限的唯一的): 2、增加或者删去有限项,不影响数列极限的存在和极限值; 3、有极限的数列,它一定是有界的,即|Xn| 有极限一定是有界的,有界的不一定存在极限。 4、极限的运算法则: 假设: 存在两个存在极限的数列、,那么: = = = ( ) 【注】求极限只能用极限的运算法则和极限的性质。 一般地,n-1)==(其中|q|<1)。 二、函数的极限: 1、当x时函数的极限: 【定义】如果某个函数f(x)在(a,+)有定义,如果任意给定ε>0,总存在()X>0,使得当x>X时,总有|f(x)-A|<ε,则称A是f(x)当x趋于正无穷时的极限,记为。 【定义】假设f(x)在(,a)有定义,且给定ε>0,总存在()X>0,使得当x<-X时,总有|f(x)-A|<ε,则称A是f(x)当x趋于负无穷时的极限,记为。 如果,且,则。 2、当x→xo时函数的极限: 【定义】假设f(x)在x0的某邻域有定义(不包括x0),且当x无限接近于x0时,f(x)无限接近于A,则称A是f(x)当x趋近于x0时的极限,记为。 如=1,的极限不存在,的极限不存在。 【注】对某个函数f(x),当x从左边趋于x0时的极限为A,则称A为函数的左极限;当x从右边趋于x0时的极限为B,则称B为函数的右极限。 如果f(x0-0)=f(x0+0)=A. 3、运算法则: = = = ( ) 【推论】= 【注意】x趋于0和无穷的求极限的方法不同。 三、两个极限存在的定理及应用: 1、夹逼定理: 假设在x0的邻域内,存在g(x)≤f(x)≤h(x),且==A,则=A。 根据夹逼定理,可以推出如下结论: (1),; (2),; (3)=1; 2、单调数列存在定理: a1≤a2≤a3……,则该数列为单调上升数列;a1≥a2≥a3……,则该数列为单调下降数列。 单调、有界数列一定存在极限。 考察: an=(1+)n,特点: 第一,an 幂指函数: =是初等函数。 即: =e。 四、无穷小量与无穷大量: 1、无穷小量: 如果一个量有极限,而且它的极限等于0,它就是无穷小量,即极限为0的量就是无穷小量。 一般地,若,则f(x)-A是无穷小量(当x→x0),反之亦然。 无穷小量的性质: (1)有限个无穷小量之和,仍然是无穷小量; (2)有限个无穷小量之积,是无穷小量;(3)常量与无穷小量相乘仍然是无穷小量;(4)有界量与无穷小量相乘,仍然是无穷小量。 无穷小量的比较: 两个无穷小量相除,若结果也是无穷小量,则称分子是分母的高阶无穷小量,记为f(x)=0(g(x))(注: 小0仅仅表示高阶,而不是真正的等号);若结果是一个常数,则称分子和分母是同阶无穷小量(等价无穷小量),记为f(x)∽g(x)。 2、无穷大量: 当x趋于x0时,|f(x)|无限增大,则称f(x)是无穷大量,记为。 五、函数的连续性: 1、函数在一点的连续和间断: f(x)在点x0及其邻域内有定义,存在,且=f(x0),则称函数f(x)在x0连续。 间断产生的条件: f(x)在点x0没有定义、不存在、f(x0)。 f(x)在点x0连续的充分必要条件是f(x)在点x0左连续且右连续。 第一类间断点: 左右极限都存在,但x0是间断点;第二类间断点: 是指不是第一类间断点的间断点。 2、初等函数的连续性: 六类基本初等函数在其定义域内是连续的。 符合运算并不改变函数的连续性。 【定理】如果某个初等函数在一个区间内有定义,则此函数该区间内连续。 3、连续性的作用: 连续性可以被用来求极限。 =f(x0)=f() 4、闭区间上连续函数的性质: 【定理】设f(x)在[a,b]上连续,则f(x)可以在该区间上达到最大值和最小值。 注意: 该定理成立的条件,首先区间是闭区间,其次,函数在该区间上连续。 【定理: 零点定理】如果f(x)在区间[a,b]连续,且f(a)﹒f(b)﹤0,则存在§属于(a,b),使得f(§)=0。 (方程根的存在定理,而且也可以用二分法来求方程的根) 第三章 导数与微分 一、导数: 1、导数的概念: 设y=f(x)在x0的邻域U内有定义,x0、x0+Δx∈U,Δy=f(x0+Δx)-f(x0),则Δy/Δx=f(x0+Δx)-f(x0)/Δx。 如果存在,那么就称此极限为f(x)在x0处的导数,记为f’(x0)或y’|x=x0或者|x=x0。 如果f’(x0)存在,则称f(x)在x0处可导。 【注】 (1)给定函数f(x)、点x0,则f’(x0)就随之而定,f’(x0)是一个具体的数值; (2)在求导数过程中,Δx→0是变量;(3)如果f(x)在(a,b)内的任一点x0都可导,则称f(x)在这个区间内可导,则f’(x0)是(a,b)内的函数,称为f(x)的导函数。 【常数函数的导数】y’=(c)’=0 【幂函数的导数】y’=(xn)’=nxn-1,则’= 【正余弦函数的导数】y’=(sinx)’=cosx,类似的有(cosx)’=-sinx,(tgx)’=sec2x,(ctgx)’=-csc2x。 注意: (sinu)’=cosu×u’(其中u为中间变量)。 其中cosu×u’即为。 【指数函数的导数】y’=(ex)’=ex 【对数函数的导数】y’=(lg|x|)’=,类似的有y’=’= 2、导数的几何意义: 切线是割线的极限位置。 导数的几何意义: 函数在一点的导数,就相当于在该点处的切线的斜率。 即f’(x)是y=f(x)在(x0,f(x0))点处的切线斜率。 于是y=f(x)在(x0,f(x0))处的切线方程: y-f(x0)=f’(x0)(x-x0) y=f(x)在(x0,f(x0))处的法线方程: y-f(x0)=-(x-x0) 3、可导与连续的关系: 【定理】若y=f(x)在点x0处可导,则y=f(x)在点x0处连续。 即。 注意: 若y=f(x)在点x0处连续,则y=f(x)在点x0处不一定可导。 可导的几何意义: 曲线y=f(x)在(x0,f(x0))处的切线存在,而且此切线不垂直于X轴。 4、历史: (1)关于导数概念: 牛顿(Newton,英国,1642—1727): 主要从物理角度提出导数的概念。 莱布尼茨(德国,1646—1716): 主要从几何的角度提出。 (2)可导与连续: 存在: 处处连续、处处不可导的实例。 不可导的四种情况: 第一,函数无定义;第二,间断点;第三,尖角(即切线不存在);第四,切线垂直于X轴。 二、微分法(求导数的方法): 1、加减求导法则: 【定理】若u(x)、v(x)在x处可导,则u(x)±v(x)在x也是可导。 即: [u±v]’=u’±v’ 2、乘法求导法则: 【定理】设u(x)、v(x)在x处可导,则u(x)×v(x)也在x处可导。 即: [u×v]’=u’v+uv’ 【推论】[c×v]’=c×v’。 3、除法求导法则: 【定理】设u(x)、v(x)在x处可导,且v(x)≠0,则u(x)v(x)也在x处可导。 即: 4、隐函数求导法: y=f(x)的形式为显函数,如y=x+1、y=。 复合函数求导公式: (适合复合函数求导),即’=f(u)’×g(x)’。 【反三角函数的导数公式】(arcsinx)’=(其中x-siny=0);(arctgx)’= ;(arccosx)’= ;(arcctgx)’=。 (arcsinx)’+(arccosx)’=(arcsinx+arccosx)’=()’=0 【牛顿】我不知道世人对我怎样看法,但是在我看来,我只不过是象一个在海滨玩耍的孩子,偶尔高兴地拾到几颗光滑美丽的石子或贝壳,那浩瀚无涯的真理的大海,却还在我的面前未曾被发现。 【牛顿】如果我之所见比笛卡尔等人要远一点,那只是因为我是站在巨人肩上的原故。 【莱布尼茨】我有非常多的思想,如果别人比我更加深入透彻地研究这些思想,并把他们心灵的美好创造和我的劳动结合起来,总有一天会有某些用处的。 5、对数微分法: y=ax=exlna,则: y’=axlna(即两边取对数)。 6、初等函数求导: 初等函数是由基本初等函数(即基本公式)通过有限次的加减乘数、符合运算(即运算法则)得到的。 三、微分: 1、微分的概念: 设f(x)在某一点x0可导,假定自变量的改变量Δx,则量f’(x0)×Δx称为f(x)在x0改变量Δx的微分,记号为 dy=f’(x0)×Δx (其中dx=Δx) 例如y=x3在x0关于Δx的微分: dy=3x02Δx 。 2、微分的几何意义: 函数在x0的微分,表示函数在x0的切线的纵坐标的改变量dy。 Δy与dy的关系: Δy-dy=0(Δx),即 =f’(x0)-f’(x0)=0 3、可微的概念: Δy=dy+0(Δx)=f’(x0)Δx+0(Δx)(其中0(Δx)为高阶无穷小量),其中f’(x0)Δx为线性主部。 若Δy=AΔx+0(Δx),其中A与Δx无关,则称f(x)在x0处可微。 结论: 若f(x)在x0可导,则f(x)在x0可微;若f(x)在x0可微,则f(x)在x0可导,即可微和可导是等价的。 4、微分用来做近似计算: Δydy,即f(x0+Δx)f(x0)+f’(x0)Δx 如sin290sin300+cos300(-)=0.484(注: 10=弧度)。 5、微分的公式和运算法则: 对dy=f’(x0)×Δx,则 , 注意: 这个导数记号,含义主要有三种: 第一种意义是关于一的导数;第二种意义是导数是微分之商,有时把导数也称为微商;第三种意义是隐含着微分形式的不变形。 所以,微分的运算公式为: d(u+v)=du+dv, d(uv)=duv+udv d 6、微分形式不变性: 若y=f(u),u=g(x),则y’=f’(u)g’(x) 即: dy=f’(u)g’(x)dx=f’(u)du(微分形式不变性)。 如dsinu=cosudu。 7、参数方程表示的函数的导数: ,其中α≤t≤β,如x2+y2=R2(y≥0),则其参数方程为: (其中0≤t≤)。 则参数方程表示的导数公式: 四、高阶导数: 1、高阶导数: 函数y=f(x)在x0的二阶导数: (即导数的导数) 2、高阶导数的解法: 类同与一阶导数的求导方法。 注意: 一阶导数的写法: y’=(其中为一个整体,即为y’中的’d的标记);二阶导数的写法: y’’=y’==y;三阶导数的记法为;四阶导数以上一般记为: 、、(其中n≥4)。 物理意义: 如路程s=s(t),则v=s’(t),a(t)=v’(t)=s’’(t)。 即速度的二阶导数是加速度。 一般地,对于y=xn,y(n)=n! (其中n≤10),y(n+1)=0(其中n≥11);对于正弦函数y=sinx,则y(n)=sin;对于y=ln(1+x),则y(n)=(-1)n-1(n-1)! (1+x)-n。 3、参数方程表示的高阶导数解法: 先求一阶导数,然后再求二阶导数。 4、隐函数的高阶求导: 隐函数的高阶求导和一阶求导相同。 第四章 导数的应用 一、中值定理: 1、罗尔定理: 【罗尔定理】设f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,且f(a)=f(b),则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f‘(ξ)=0。 罗尔定理的几何意义: 即f‘(ξ)=0表示在ξ点的切线的斜率为0。 2、拉格朗日定理: 【拉格朗日定理】设f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f‘(ξ)。 (也称为中值定理,微分学的中值定理)。 说明: 1、若f(a)=f(b)时,则拉格朗日定理就变为罗尔定理;2、拉格朗日定理的结论可以改写为: 令a=xo,b=xo+Δx,则 f‘(ξ);ξ在xo和xo+Δx之间,令ξ=xo+θΔx(0<ξ<1=,则: =f‘(xo+θΔx)﹒Δx;3、对于f‘(ξ)中的ξ,一般地是求不出来的。 【推论1】设f(x)在(a,b)可导,且f‘(x)0,则在f(x)在(a,b)内一定是一个常值函数。 【推论2】设f(x)、g(x)在(a,b)可导,且f‘(x)=g‘(x),x∈(a,b),则f(x)、g(x)相差一个常数C,即f(x)=g(x)+C。 3、柯西定理: 【柯西定理】设f(x)、g(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,且g‘(x)≠0,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得。 表: 罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理的比较 名称 内容 条件一 条件二 条件三 罗尔定理 f‘(ξ)=0 f(x)、g(x)在[a,b]连续 f(x)、g(x)在(a,b)可导 f(a)=f(b) 拉格朗日 定理 f‘(ξ) 柯西定理 g‘(x)≠0 二、弧长微分与曲率: 1、弧长函数及其微分: 假设y=f(x)在[a,b]区间,且f’(x)连续,则弧长函数的导数为: 弧长函数的微分方程为: ds(x)=dx=dx= = 即: 2、曲率: 曲率是指曲线的弯曲程度。 圆周的弯曲特征: (1)圆周的任何一点的弯曲程度都是一样; (2)半径越大,它的弯曲程度越小;(3)圆周的弯曲程度的度量: 单位弧长所对应的切线所转动的角度,即||。 函数y=f(x)在x处的曲率定义为: ==|| 因为tgα=y’,则α=arctgy’,α’(x)=;,所以: 对于x2+y2=R2,则其曲率K=1/R。 曲率半径是指曲率的倒数,即ρ=1/K。 【补充】王国维《人间词话》——治学三境界: 1、昨夜西风凋碧树,独上高楼,望尽天涯路; 2、衣带渐宽终不悔,为伊消得人憔悴; 3、众里寻他千XX,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处。 第五章 不定积分 一、原函数与不定积分的概念: 1、基本公式: 求导是正运算,而求不定积分是逆运算。 2、两个运算法则: (1) (2) 【推论】
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