傅里叶变换数字滤波器设计标准表插值算法.docx
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傅里叶变换数字滤波器设计标准表插值算法
傅里叶变换
周期函数匚⑴可表示为:
a0
fT(t)一'(ancosntbnsinn,t)
2n4
其中:
T
22a。
fT(t)dt
TT
~2
T
22
anfT(t)cosntdt
TT
~2
T
22
bnfT(t)sinntdt
TT
~2
数。
频率。
周期函数匸⑴可化为:
(三角函数公式:
cos(AB)=cosAcosB—sinAsinB)
■bo
fT(t)二'Ancos(ntn)d
nT
其中:
即周期函数fT(t)可表示为不同频率成分的正弦函数的和。
其中频率f
为基波的频率
根据欧拉公式eF=cosvisinv,有:
cosV
sin-3
2i
所以周期函数
fT(t)可表示为:
a°严e叱+e』Me吨-e』05
fT(t)八Gbn)
2nm22i
=ao十孑(an—ibngnOJ十an+ibn即)
2乙22
TT
an"bn_—
2~T
22
JffT(t)cosn^tdt—iffT(t)sinn豹tdt
JJ丄
-22一
T
1
=fT(t)(cosnt-isinnt)dt
TT
_2
T
=-fT(t)e»pt
TT
anibn1
2=T
_2
Co二T1.fT(t)dt
T
~2
T.fT(t)eJnldt
TT
T
1
fT(t)einPt
TT
"2
fT(t)=c°+瓦Ge叱+c』e皿)
n取整数时,c可以合写为一个式子
所以有
n为整数
非周期函数f(t),
所以
-He
从而
T,当T一;-七时,二-n>0。
称式
(1)中函数FC-)为函数f(t)的傅里叶变换,式⑵中函数f(t)为函数
FC)的傅里叶逆变换。
函数F(「)即为函数f(t)的频谱。
图1是函数y1和y2的函数图。
其中
y1=sin(t)。
y2=sin(t)+0.5*cos(3*t)+0.2*sin(8*t)+0.35*cos(15*t)。
y1是标准的正弦函数,y2中加入了高次谐波分量。
图1谐波分量图
图2是偶次谐波的函数图。
图2偶次谐波图
图3是偶次谐波的频谱图
图3偶次谐波频谱图
图4是偶次谐波5次谐波含量和20次谐波含量的波形图
图4偶次谐波5次谐波含量和20次谐波含量的波形图
傅里叶分析在电路上的应用
函数f(t)的傅里叶变换记为F,函数g(t)的傅里叶变换记为
Fg(t),即f()=flf(t)1g(.)=fg(t)L则有
傅里叶变换的线性性质
Ff(t)g(t)l二:
F()-G()
傅里叶变换的微分性质
Fdf(t)
FIIdt二iF(•)
傅里叶变换的积分性质
t
FJ(t)dt二丄F()
-」iO
电路上的一个例子。
有一段RLC电路如图5所示
1nF
求电路的电流i(t),列方程有
Ri(t)L啤丄’gdt=u(t)
dtCs
函数i(t)的傅里叶变换为IC),函数u(t)的傅里叶变换为U「),对方程
两边做傅里叶变换,有
RIO)iLIC)
求IC-)得
U()
1
RiL
icoC
求I(■)的傅里叶逆变换得
1t.+
i(t)—HJddt
代入具体的参数值,即可求得电路的电流i(t)
函数的卷积
已知函数f(t),g(t),则积分
h(t)二」f()g(t-)d.
称为函数f(t)和g(t)的卷积,记为
h(t)二f(t)*g(t)
按傅里叶变换的定义,有
F[f(t)*g(t)]=.」f(t)*g(t)]e_dt二」」()g(t-)d]e"dt二.;.;f()e4'g(t「)e‘—)ddt二.「()e*d._g(t(t—)d(t-)
=f恻.fg(t)
=F0■)*G0■)
即两个函数卷积的傅里叶变换等于这两个函数傅里叶变换的乘积。
数字低通滤波器的设计
模拟二阶低通滤波器的电路如图6所示
用傅里叶变换分析电路,可以证明
其中s=i「,人=1・甩。
设
Rs
-_■:
RR2GC2
c
2-.R)R2C1C2
则有
G(s)=2Ac2
s2+二s+时;
Q
函数G(s)为图6模拟二阶低通滤波器的传递函数。
A为放大系数,c
为滤波器的截止角频率,
Q为滤波器的品质因数。
取R^=R2=159.155k1」,G=C2=O.Oi'F,R3=R4=10k1」,贝UA=2,fc=100Hz,200-rad/s,Q=1。
函数G(s)的频谱图如图7所示。
图7函数G(s)的频谱图(Q=1)
特别的,取R3=:
:
R^0,则A=1,Q=0.5,函数G(s)的频谱图如图8所示。
图8函数G(s)的频谱图(Q=0.5)
G(s)的半功率点
函数G(s)的零极点图如图9所示。
Q0时极点位于左半平面。
图9函数G(s)的零极点图(A=1)
特别的,当R=R2,Ci丸2时,。
当A_3时,Q_0,函数G(s)3—A
的零极点位于右半平面。
取A弋,函数G(s)的零极点图如图10所示。
函数G(s)极点位于右半平面。
图10函数G(s)的零极点图(A=3)
函数G(s)的相频图如图11所示。
图11函数G(s)的相频图
将函数G(s)级联,构成多阶低通滤波器,如图12所示的2阶、4阶、6阶低通滤波器的频谱图。
图122阶、4阶、6阶低通滤波器的频谱图(Q=0.5)
由U°(s)二Uj(s)・G(s),根据卷积定理得u°(t)=5(t)“g(t)。
在频域上对函数G(s)采样,并对函数G(s)做傅里叶逆变换得g(t)=F-1【G(s)]。
二阶模拟低通滤波器在时域上的传递函数g(t)的图形如图13所示。
对函数Ui(t)和函数g(t)做卷积运算,求得函数uo(t),即通过数字滤波器滤波后的结果。
函数Ui(t)和函数Uo(t)的图形如图15所示。
图14是函数Ui(t)的基波经过滤波器后产生相位延时的例子。
图16是模拟二阶低通滤波器电路运行后的结果。
函数uo(t)和图
6中模拟电路给出的结果是一致的。
图13时域上的传递函数g(t)
2
-16-
IIII丨II
_2II.I.LLULLII
'00.010020.030.040050060070.000.090.1
图15函数Uj(t)和函数U°(t)
标准表的计算公式
电压表达式:
电流表达式:
电压有效值
电流有效值
瞬时有功功率
平均有功功率瞬时无功功率平均无功功率视在功率
功率因数
□0
v(t)八Vksirk(t1)
k4
i(t)八ikSin<(4k)
k4
Vrms
1rms
N
J[n]
p(t)二V(t)i(t)
1N
Pp[n]
Nnd
T
q(t)=v(t)i⑴")唯蔦)
S-Vrms1rms
cos^
(注曲送)
有功电能
'p[n].:
t
n4
无功电能
ReactiveEnergy=
t
Lq(t)dt=|jm<
厂oO
迄q[n]xAt
n=1
视在电能
ApparentEnergy=
0s⑴dt=ijmz
广CO
匹s[n]xAt
nT
脉冲频率
1度电(P、Q、S)
表常数
离散傅里叶变换(DFT)
N4
X[k]八x[n]e
离散傅里叶变换的逆变换
(IDFT)
1N4
x[nn[k]e
i2nk
N
奈奎斯特采样定理
Nyquist
-2f
标准表的插值算法
定频采样的同步问题需要插值算法。
对采样到的波形分段插值。
一副正弦曲线图
用线性分段插值后的图形如下。
将线性分段插值的图像局部放大,如下图所示。
J耐|J3l+UBII|0時昨利计I计・屋|撇观也日・甌ll.Fmrq舄j」fi號4阿-■田I□*■«UJ|T±^F
使用三次样条插值算法,得到的图形如下
将三次样条插值的图像局部放大,如下图所示。
三次样条插值
对于n+1个给定点的数据集{为},我们可以用n段三次多项式在数据点之间构建一个三
次样条。
如果
{
So(叭X€[a;o,Xi]
x[X!
T2]
Sji—](£))XC[^n—11
表示对函数f进行插值的样条函数,则样条函数Sx满足以下条件。
插值特性:
S(x)=f(xi)
样条相互连接:
Si-i(xi)=S(xi),i=1,...,n-1
两次连续可导:
S'i-i(xi)=Si(xi)以及S'i-i(xi)=S''i(刈,i=1,...,n-1。
由于每个三次多项式需要四个条件才能确定曲线形状,所以对于组成S的n个三次多项式
来说,这就意味着需要4n个条件才能确定这些多项式。
但是,插值特性只给出了n+1个
条件,内部数据点给出n+1-2=n-1个条件,总计是4n-2个条件。
我们还需要另外
两个条件,根据不同的因素我们可以使用不同的条件。
其中一项选择条件可以得到给定U与v的钳位三次样条,
S(xo)=u
S(Xn)=V
另外,可以设
S'(XO)=S'(Xn)=0
这样就得到自然三次样条。
自然三次样条几乎等同于样条设备生成的曲线。
在这些所有的二次连续可导函数中,钳位与自然三次样条可以得到相对于待插值函数最小震荡。
其他插值算法
Lagrange插值、Newton插值、抛物线插值和Hermite插值。
高阶插值算法中的“龙格现象”。
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