中考数学路专题4 数形结合转化思想01.docx

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中考数学路专题4数形结合转化思想01

专题4　数形结合、转化思想

一、选择题

1．回顾初中阶段函数的学习过程，从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是（）

A．数形结合B．类比

C．演绎D．公理化

2．我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x－2）＝0，从而得到两个一元一次方程：

3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是（）

A．转化思想B．函数思想

C．数形结合思想D．公理化思想

3．（2019·德州）在下列函数图象上任取不同两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），一定能使

＜0成立的是（）

A．y＝3x－1（x＜0）

B．y＝－x2＋2x－1（x＞0）

C．y＝－

（x＞0）

D．y＝x2－4x＋1（x＜0）

4．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y＝

上，顶点B在反比例函数y＝

上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是（）

A．

B．

C．4D．6

5．（2019·玉林）已知抛物线C：

y＝

（x－1）2－1，顶点为D，将C沿水平方向向右（或向左）平移m个单位，得到抛物线C1，顶点为D1，C与C1相交于点Q，若∠DQD1＝60°，则m等于（）

A．±4

B．±2

C．－2或2

D．－4或4

二、填空题

6．（2019·扬州）如图，将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至四边形AB′C′D′的位置，若AB＝16cm，则图中阴影部分的面积为____cm2.

7．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，⊙O经过A，B两点，已知AB＝2，则

的值为____．

8．（2019·潍坊）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝

（x＞0）与y＝

（x＜0）的图象上，则tan∠BAO的值为____．

三、解答题

9．（2019·甘肃）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm（含300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）.如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：

AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB＝CD，AC＝900mm，∠ACD＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：

sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）

10．自主学习，请阅读下列解题过程．

解一元二次不等式：

x2－5x＞0.解：

设x2－5x＝0，解得：

x1＝0，x2＝5，则抛物线y＝x2－5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）.画出二次函数y＝x2－5x的大致图象（如图所示），由图象可知：

当x＜0或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2－5x＞0，所以，一元二次不等式x2－5x＞0的解集为：

x＜0或x＞5.

通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：

（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的________和________.（只填序号）

①转化思想　②分类讨论思想　③数形结合思想

（2）一元二次不等式x2－5x＜0的解集为________.

（3）用类似的方法解一元二次不等式：

x2－2x－3＞0.

11．（2019·北京海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）经过点A（0，－3）和B（3，0）.

（1）求c的值及a，b满足的关系式；

（2）若抛物线在A，B两点间从左到右上升，求a的取值范围；

（3）结合函数图象判断，抛物线能否同时经过点M（－1＋m，n），N（4－m，n）？

若能，写出一个符合要求的抛物线的表达式和n的值，若不能，请说明理由．

专题4　数形结合、转化思想

一、选择题

1．回顾初中阶段函数的学习过程，从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是（A）

A．数形结合B．类比

C．演绎D．公理化

2．我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x－2）＝0，从而得到两个一元一次方程：

3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是（A）

A．转化思想B．函数思想

C．数形结合思想D．公理化思想

3．（2019·德州）在下列函数图象上任取不同两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），一定能使

＜0成立的是（D）

A．y＝3x－1（x＜0）

B．y＝－x2＋2x－1（x＞0）

C．y＝－

（x＞0）

D．y＝x2－4x＋1（x＜0）

4．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y＝

上，顶点B在反比例函数y＝

上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是（C）

A．

B．

C．4D．6

5．（2019·玉林）已知抛物线C：

y＝

（x－1）2－1，顶点为D，将C沿水平方向向右（或向左）平移m个单位，得到抛物线C1，顶点为D1，C与C1相交于点Q，若∠DQD1＝60°，则m等于（A）

A．±4

B．±2

C．－2或2

D．－4或4

二、填空题

6．（2019·扬州）如图，将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至四边形AB′C′D′的位置，若AB＝16cm，则图中阴影部分的面积为__32π__cm2.

7．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，⊙O经过A，B两点，已知AB＝2，则

的值为__－

__．

8．（2019·潍坊）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝

（x＞0）与y＝

（x＜0）的图象上，则tan∠BAO的值为__

__．

三、解答题

9．（2019·甘肃）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm（含300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）.如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：

AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB＝CD，AC＝900mm，∠ACD＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：

sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）

解：

连接BD，作DM⊥AB于点M，∵AB＝CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，

∴∠C＝∠ABD，AC＝BD，∵∠C＝65°，AC＝900，∴∠ABD＝65°，BD＝900，∴BM＝BD·cos65°＝900×0.423≈381，DM＝BD·sin65°＝900×0.906≈815，∵381÷3＝127，120＜127＜150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260＜272＜300，

∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．

10．自主学习，请阅读下列解题过程．

解一元二次不等式：

x2－5x＞0.解：

设x2－5x＝0，解得：

x1＝0，x2＝5，则抛物线y＝x2－5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）.画出二次函数y＝x2－5x的大致图象（如图所示），由图象可知：

当x＜0或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2－5x＞0，所以，一元二次不等式x2－5x＞0的解集为：

x＜0或x＞5.

通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：

（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的________和________.（只填序号）

①转化思想　②分类讨论思想　③数形结合思想

（2）一元二次不等式x2－5x＜0的解集为________.

（3）用类似的方法解一元二次不等式：

x2－2x－3＞0.

解：

（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的①和③；

（2）由图象可知：

当0＜x＜5时函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即x2－5x＜0，∴一元二次不等式x2－5x＜0的解集为：

0＜x＜5.

（3）设x2－2x－3＝0，解得：

x1＝3，x2＝－1，

∴抛物线y＝x2－2x－3与x轴的交点坐标为（3，0）和（－1，0）.画出二次函数y＝x2－2x－3的大致图象（如图所示），由图象可知：

当x＜－1或x＞3时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2－2x－3＞0，∴一元二次不等式x2－2x－3＞0的解集为：

x＜－1或x＞3.

11．（2019·北京海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）经过点A（0，－3）和B（3，0）.

（1）求c的值及a，b满足的关系式；

（2）若抛物线在A，B两点间从左到右上升，求a的取值范围；

（3）结合函数图象判断，抛物线能否同时经过点M（－1＋m，n），N（4－m，n）？

若能，写出一个符合要求的抛物线的表达式和n的值，若不能，请说明理由．

解：

（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）经过点A（0，－3）和B（3，0）.∴

∴c＝－3，3a＋b－1＝0；

（2）由1可得：

y＝ax2＋（1－3a）x－3，对称轴为x＝－

，∵抛物线在A，B两点间从左到右上升，当a＞0时，对称轴在A点左侧，即：

－

≤0，解得：

a＜

，∴0＜a≤

.A，B两点间从左到右上升，∴0＜a≤

时，抛物线在A，B两点间从左到右上升；

（3）抛物线不能同时经过点M（－1＋m，n），

N（4－m，n）.理由如下：

若抛物线同时经过点

M（－1＋m，n），N（4－m，n）.则对称轴为：

x＝

＝

，由抛物线经过A点可知抛物线经过（3，－3），与抛物线经过B（3，0）相矛盾，故抛物线不能同时经过点M（－1＋m，n），

N（4－m，n）.