人教版初一数学下册一元一次方程.docx
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人教版初一数学下册一元一次方程
第三章 一元一次方程
3.1 从算式到方程
3.1.1 一元一次方程(2课时)第1课时 方程的概念
1.初步学会寻找问题中的相等关系,列出方程,了解方程的概念.
2.培养学生获取信息、分析问题、处理问题的能力.
重点
了解一元一次方程及相关概念.
难点
寻找问题中的相等关系,列方程.
活动1:
创设情境,导入新课
师:
小学中我们已经学习过列方程解决问题,什么是方程?
你能举一个例子吗?
学生回答.
活动2:
探究新知
1.定义方程,回顾举例
师:
你知道什么叫方程吗?
生:
含有未知数的等式叫做方程.
师:
你能举出一些方程的例子吗?
由学生举例,教师总结.
练习:
判断下列式子是不是方程,正确的打“√”,错误的打“×”.
(1)1+2=3
(2)x+2>1 (3)1+2x=4
(4)x+y=2 (5)x2-1 (6)x2=x+2
(7)x+3-5 (8)x=8
2.如何根据题意列方程
师:
利用多媒体展示图片,出示教材本小节开头的问题:
一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶,客车的行驶速度是70km/h,卡车的行驶速度是60km/h,客车比卡车早1小时经过B地,A,B两地间的路程是多少?
学生分组活动,同桌两个同学讨论看能否用算术方法解,然后考虑用方程如何解决,然后小组内同学交流,教师可以参与到学生中去,要关注学生解决问题的思路,在用算术法时,是否遇到了麻烦,用方程可以轻松解决吗?
让学生感受方程在解决实际问题时的优势.
解:
设A,B两地间的路程是xkm.根据客车比卡车早1小时经过B地,可得方程
-
=1.
在这一过程的教学中,教师不仅要使学生掌握本问题的解决方法,更重要的是让学生去体会列方程过程中的一般思路和方法.
在这一过程中,教师还应当注意培养学生的发散思维和创新能力,可以让他们进行小组间的交流,也可以根据题意画一个表格讨论,看一看各小组所列的方程是否一致,以开拓学生的思路,从而掌握更多的解题方法.
活动3:
归纳整理
师:
提出问题,你能谈谈列方程过程中的思路和方法吗?
你是怎样一步步列出方程的?
学生讨论交流,然后回答.
算术法和方程法有什么不同?
你能谈谈你的认识吗?
两种方法的比较:
从形式上观察:
算术方法与方程方法有什么不同的情况出现?
从思路上看:
你刚才做题的想法有什么不同?
(师根据学生的口述列成表,便于比较)
用方程解
用算术方法解
1.未知数用x表示,x参加列式
1.未知数不参加列式
2.根据题意找出数量间的相等
关系,列出含有未知数x的等式
2.根据题里已知数和未知数间的
关系,确定解答步骤,再列式计算
师指出:
在两个方面的区别中,未知数能不能参加列式决定了怎样分析,并且决定了列式的不同特点.
学生讨论交流后回答.
教师不必苛求学生的回答,只要学生能谈出一两点体会,教师都应当加以鼓励.
练习:
教材练习第1,2题.
学生独立完成,然后交流.
活动4:
小结与作业
小结:
谈谈你本节课的收获.
作业:
习题3.1第1,5题.
要上好一节课不仅要埋头钻研教材,设计教学过程,还必须善于与学生交流,要学会从学生的角度看问题,也就是常说的要学会做学生,应从学生能否理解的角度来安排适当的教学程序,用有趣的资料激发学生的学习热情,更应主动地去了解学生对过去相应的知识的掌握程度,这样才能把握住实施教的深浅及分寸,做到进行适当的引导,达到事半功倍的效果.
第2课时 一元一次方程
1.理解一元一次方程、方程的解的概念.
2.掌握检验某个值是不是方程的解的方法.
重点
寻找等量关系,列出方程.
难点
对于复杂一点的方程,用估算的方法寻求方程的解,需要多次的尝试,也需要一定的估计能力.
一、情境引入
师出示问题:
问题:
小雨、小思的年龄和是25,小雨年龄的2倍比小思的年龄大8岁,小雨、小思的年龄各是几岁?
如果设小雨的年龄为x岁,你能用不同的方法表示小思的年龄吗?
在学生回答的基础上,教师加以引导:
小思的年龄可以用两个不同的式子25-x和2x-8来表示,这说明许多实际问题中的数量关系可以用含字母的式子来表示.
由于这两个不同的式子表示的是同一个量,因此我们可以写成:
25-x=2x-8.这样就得到了一个方程.
二、尝试探究
师:
让学生尝试解决例1,对于基础比较差的学生,教师可以作如下提示:
(1)选择一个未知数,设为x.
(2)对于这三个问题,分别考虑:
用含x的式子分别表示正方形的周长;
用含x的式子表示这台计算机x个月的使用时间;
用含x的式子分别表示男生和女生的人数.
(3)找一个问题中的相等关系列出方程.
学生讨论完成后交流.
师:
让学生观察并讨论所列方程等号两边式子的关系,师生归纳:
(1)方程等号两边表示的是同一个量;
(2)左右两边表示的方法不同.
简单地说:
列方程就是用两种不同的方法表示同一个量.
学生讨论交流:
以上各题,你还能用两种不同的方法来表示另一个量,再列出方程吗?
让学生在学习小组内讨论,然后分组汇报交流:
如
(2)题中,选“已使用的时间”可列方程:
2450-150x=1700.
选“还可使用的时间”可列方程:
150x=2450-1700.
解题书写过程(略).
三、探究概念
学生讨论交流.
在学生观察上述方程的基础上,教师进行归纳:
各方程都只含有一个未知数,并且未知数的指数都是1,这样的方程叫做一元一次方程式.
“一元”:
一个未知数,“一次”:
未知数的次数是一次.
引导学生归纳:
从上面的分析过程我们可以发现,用方程的方法来解决实际问题,一般要经历哪几个步骤?
在学生回答的基础上,教师用方框表示:
分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学解决实际问题的一种方法.
列出方程后,还必须解这个方程,求出未知数的值,对于简单的方程,我们可以采用估算的方法.
①问题:
你认为该怎样进行估算?
可以采用“尝试—发现—归纳”的方法:
让学生尝试后发现,要求出答案必须用一些具体的数值代入,看方程是否成立,最后教师进行归纳.
可以用列表的方法进行尝试,也可以像下面的示意图那样按程序进行尝试.
②在此基础上给出概念:
能使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解,求方程解的过程,叫做解方程.
一般地,要检验某个值是不是方程的解,可以用这个值代替未知数代入方程,看方程左右两边是否相等.
四、练习与小结
练习:
教材练习第3题.
小结:
1.谈谈你对一元一次方程的认识.
2.谈谈你对列方程的认识.
3.如何进行估算?
五、布置作业
习题3.1第6,7,8题.
学生在小学已经对方程有初步认识,但这个过程没有给“一元一次方程”这样准确的理性的概念.本节课是基于学生在小学已经学习的基础上来进行的.继续对有关方程的一些初步知识,并能通过对多个熟悉的实际问题的分析,由学生结合已有知识,得出一元一次方程,并能给出一元一次方程的简单概念及一些相关概念.
3.1.2 等式的性质(2课时)
第1课时 等式的性质
1.了解等式的两条性质.
2.会用等式的性质解简单的(用等式的一条性质)一元一次方程.
3.培养观察、分析、概括及逻辑思维能力.
重点
理解和应用等式的性质.
难点
应用等式的性质把简单的一元一次方程化成“x=a”的形式.
活动1:
创设情境,导入新课
师:
哪位同学能谈谈上节课我们学习了哪些内容?
学生思考回答.
师:
通过估算的方法,我们可以求得方程的解,可是我们也看到,通过估算求解,需要通过多次尝试才能得到正确的答案,有没有相对简单的方法,使我们可以获得方程的解呢?
从今天开始我们就来学习解方程.
活动2:
探究等式的性质
分组进行实验(时间约10~15分钟);每小组准备天平一架,砝码、等质量小木块等若干.
教师引导学生进行以下操作.
操作
(1)
1.先在托盘中放入一块小木块,然后在另一个托盘中加入砝码,使天平平衡.
2.然后在两个托盘中放入等质量的木块各一块,观察此时天平是否平衡,可以重复此步骤.
操作
(2)
在两个托盘中放入等质量的木块各一块,观察此时天平是否平衡.
在两个托盘中放入等质量的木块各两块,观察此时天平是否平衡.
在两个托盘中放入等质量的木块各相等数量的块数,观察此时天平是否平衡,可以重复此步骤.
思考:
这其中包含的数学道理是什么?
学生讨论后交流.
然后师生共同归纳出等式的性质:
如果a=b,那么a±c=b±c.
等式性质1:
等式两边加(或减)同一个数或同一个式子,结果仍相等.
教师按类似的方法得出等式性质2:
如果a=b,那么ac=bc;
如果a=b,那么
=
(c≠0).
等式性质2:
等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.
活动3:
解决问题
师出示教材82页例2
(1)
(2).
师生共同分析如何运用等式的性质解决这两个问题,在分析过程中教师注意化归思想的渗透,应当告诉学生解方程就是使方程向“x=a”的形式进行化归,沿着这个思路进行引导,使学生感受化归思想,能自觉地运用等式的性质解决问题.
解:
略
练习:
教材第83页练习
(1)
(2).
学生独立完成,然后同学间交流.
根据时间情况和学生的掌握情况,教师可以随机再补充几个练习.
活动4:
小结与作业
小结:
谈谈你对等式性质的认识.
作业:
习题3.1第2,3题.
等式的性质(关于乘除的),是在学生掌握了等式的性质(关于加减的)的基础上教学的.学生已掌握了一定的学习方法,形成了一定的推理能力.因此,本节课教学中,充分利用原有的知识,探索、验证,从而获得新知,给每个学生提供思考、表现、创造的机会,使他成为知识的发现者、创造者,培养学生自我探究和实践能力.
第2课时 用等式的性质解方程
1.通过解一元一次方程进一步理解等式的性质;
2.会用等式的性质解简单的(两次运用等式的性质)一元一次方程.
重点
用等式的性质解方程.
难点
需要两次运用等式的性质,并且有一定的思维顺序.
一、创设情境,复习引入
解下列方程:
(1)x+7=5;
(2)2x=5.
要求学生能说出:
①每一步的依据分别是什么?
②求方程的解就是把方程化成什么形式?
师:
这节课继续学习用等式的性质解一元一次方程.
二、探究新知
对于简单的方程,我们通过观察就能选择用等式的哪一条性质来解,下列方程你也能马上做出选择吗?
例1:
利用等式的性质解方程:
(1)0.6-x=2.4
(2)-
x-5=4
先让学生对第
(1)题进行尝试,然后教师进行引导:
①要把方程0.6-x=2.4转化为x=a的形式,必须去掉方程左边的0.6,怎么去?
②要把方程-x=1.8转化为x=a的形式,必须去掉x前面的“-”,怎么去?
然后给出解答:
解:
两边减0.6,得0.6-x-0.6=2.4-0.6.
化简,得
-x=1.8,
两边同乘-1得
x=-1.8.
小结:
(1)这个方程的解答中两次运用了等式的性质;
(2)解方程的目标是把方程最终化为x=a的形式,在运用性质进行变形时,始终要朝着这个目标去转化.
你能用这种方法解第
(2)题吗?
在学生解答后点评.
解:
两边加5,得到
x-5+5=4+5,
化简,得-
x=9,
两边同乘-3,得x=-27.
解后反思:
①第
(2)题能否先在方程的两边同乘“-3”?
②比较这两种方法,你认为哪一种方法更好?
为什么?
允许学生在讨论后再回答.
例2:
(补充)服装厂用355米布做成人服装和儿童服装,成人服装每套平均用布3.5米,儿童服装每套平均用布1.5米.现已做了80套成人服装,用余下的布还可以做几套儿童服装?
在学生弄清题意后,教师再作分析:
如果设余下的布可以做x套儿童服装,那么这x套服装就需要布1.5x米,根据题意,你能列出方程吗?
解:
设余下的布可以做x套儿童服装,那么这x套服装就需要布1.5x米,根据题意,得
80×3.5+1.5x=355.
化简,得
280+1.5x=355,
两边减280,得
280+1.5x-280=355-280,
化简,得
1.5x=75,
两边同除以1.5,得x=50.
答:
用余下的布还可以做50套儿童服装.
解后反思:
对于许多实际问题,我们可以通过设未知数,列方程,解方程,以求出问题的解.也就是把实际问题转化为数学问题.
问题:
我们如何才能判别求出的答案50是否正确?
在学生代入验算后,教师引导学生归纳出方法:
检验一个数值是不是某个方程的解,可以把这个数值代入方程,看方程左右两边是否相等,例如:
把x=50代入方程80×3.5+1.5x=355的左边,得80×3.5+1.5×50=280+75=355.
方程的左右两边相等,所以x=50是方程的解.
你能检验一下x=-27是不是方程
x-5=4的解吗?
三、课堂练习
练习:
1.课本83页练习(3),(4).
2.补充练习:
小刚带了18元钱到文具店买学习用品,他买了5支单价为1.2元的圆珠笔,剩下的钱刚好可以买8本笔记本,问笔记本的单价是多少?
(用列方程的方法求解)
解:
设笔记本的单价为x元.
根据圆珠笔和笔记本的钱的总和为18元,得方程
5×1.2+8x=18.
化简,得6+8x=18.
两边减6,得6+8x-6=18-6,
化简,得8x=12.
两边同除以8,得x=1.5.
答:
笔记本的单价是每本1.5元.
四、小结
(1)这节课学习的内容.
(2)我有哪些收获?
(3)我应该注意什么问题?
五、作业
习题3.1第4,10题.
解方程是学生刚接触的新知识,学生原有的知识储备与生活经验不足,因此教学中老师要时刻关注学生的学习的情况,引导学生经历将现实生活问题加以数学化,引导学生通过操作、观察、分析和比较,由具体的知识渗透到抽象的去理解等式的性质,并应用等式的性质来解方程.
3.2 解一元一次方程
(一)
——合并同类项与移项(4课时)
第1课时 合并同类项
1.经历运用方程解决实际问题的过程,体会方程是刻画现实世界的有效数学模型.
2.学会合并(同类项),会解“ax+bx=c”类型的一元一次方程.
重点
建立方程解决实际问题,会解“ax+bx=c”类型的一元一次方程.
难点
分析实际问题中的已知量和未知量,找出相等关系,列出方程.
一、创设情境,导入新课
师:
背景资料投影展示:
约公元820年,中亚细亚数学家阿尔-花拉子米写了一本代数书,重点论述怎样解方程.这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》.“对消”与“还原”是什么意思呢?
通过下面几节课的学习讨论,相信同学们一定能回答这个问题.
二、探究分析,解决问题
师:
出示教材问题1.
某校三年共购买计算机140台,去年购买数量是前年的2倍,今年购买的数量又是去年的2倍,前年这个学校购买了多少台计算机?
分析:
引导学生回忆:
问题:
如何列方程?
分哪些步骤?
师生共同讨论分析:
①设未知数:
前年购买计算机x台.
②找相等关系:
前年购买量+去年购买量+今年购买量=140台.
然后教师引导学生列出方程.
③x+2x+4x=140.
进一步提出问题:
怎样解这个方程?
如何将方程向x=a的形式进行转化?
学生观察,讨论交流,教师引导学生说出将方程左边合并同类项,向x=a的形式转化.
教师板演过程或用教材的框图表示过程.(过程略)
思考:
本问题的解决过程中,合并同类项起到了什么作用?
学生讨论后回答.(让学生感受化归的思想)
问题:
对于本问题,你还有其他的方法解决吗?
三、尝试运用,巩固加深
教师出示教材例1.
解下列方程:
(1)2x-
x=6-8;
(2)7x-2.5x+3x-1.5x=-15×4-6×3.
师生共同解决,教师板书过程.
四、练习与小结
练习:
课本第88页练习1.
小结:
谈谈你对这节课的收获.
五、作业
习题3.2第1,4,5题.
本节课研究的内容是“合并同类项”,“合并同类项”是化简解方程的重要方法.通过合并同类项可以使方程向x=a的形式转化.这节课与前面所学的知识有千丝万缕的联系.合并同类项的法则是建立在数的运算的基础上,在合并同类项的过程中,要不断运用数的运算,可以说合并同类项是有理数加减运算的延伸和拓广.
第2课时 合并同类项的应用
学会探索数列中的规律,建立等量关系.
能正确地求解一元一次方程.
重点
建立一元一次方程解决实际问题.
难点
探索并发现实际问题中的等量关系,并列出方程.
活动1:
创设情境,导入新课
师:
练习解方程:
(1)-4x+0.5x=6;
(2)7x-4.5x=7.5-5;
(3)-
x+
x=-3.
学生独立完成,然后同学交流.
活动2:
探究新知
教师出示教材例2.
有一列数,按一定规律排列成1,-3,9,-27,81,-243,…,其中某三个相邻数的和是-1701,这三个数各是多少?
引导学生探究规律:
第一个数
1
第二个数
-3
第三个数
9
第四个数
-27
第五个数
81
第六个数
-243
教师可利用表格上下对比,便于学生观察、发现规律,可引导学生从符号和绝对值两方面进行观察.
师生共同完成解答过程,教师注意要规范地书写过程.
在这一过程中,老师要关注学生能否准确地发现规律,能否列出方程,本问题的难点在于它有多个未知数,要引导学生找到相邻的数的关系,然后设出未知数,再用含未知数的式子表示相邻的数.
解:
设这三个相邻数中的第1个数为x,则第2个数为-3x,第3个数为-3×(-3x)=9x.
根据这三个数的和是-1701.得
x-3x-9x=-1701,
合并,得x=-243,
所以-3x=729,
9x=-2187.
答:
这三个数是-243,729,-2187.
思考:
有一列数,按一定规律排列成1,-3,9,-27,81,-243,…,你能说出它的第n个数是多少吗?
(用含n的式子表示)
可作为课下思考题,本问题与本课时的关系不大,但作为对本例题的一个拓展,却有让学生重新思考的价值.
活动3:
综合运用
教师出示例题.(或投影展示)
补例:
一批商界人士在露天茶座聚会,他们先是两人一桌,服务员给每桌送上一瓶果汁,后来他们又改为三人一桌,服务员又给每桌送上一瓶葡萄酒,不久他们改坐成四人一桌,服务员再给每桌一瓶矿泉水.此外他们每人都要了一瓶可口可乐.聚会结束时服务员共收拾了50个空瓶.如果没人带走瓶子,那么聚会有几人参加?
分析:
要求聚会有几人参加,就要先设出未知数,再根据题意列出等量关系,设共有x人参加,由题意得,一共要了
瓶果汁,
瓶葡萄酒,
瓶矿泉水,x瓶可口可乐,即:
空瓶子数为各类饮料瓶子数之和,由这个等量关系,列出方程求解.
解:
设这次聚会共有x人参加,
由题意得:
x+
+
+
=50,
解得:
x=24.
答:
这次聚会共有24人参加.
学生讨论交流,师生共同解决.
活动4:
小结
小结:
谈谈你这节课的收获.
活动5:
作业
习题3.2第5,12,13题.
实施开放式教学,倡导自主探索、合作交流的学习方式.让学生从熟悉的生活实例出发,探索获得同类项概念,体验知识的形成过程,体会观察、分析、归纳等解决问题的技能与方法.教师只是整个教学活动的组织者和指导者,体现了以人为本的现代教学理念.
第3课时 移项
1.通过分析实际问题中的数量关系,建立方程解决问题,进一步认识方程模型的重要性.
2.掌握移项方法,学会解“ax+b=cx+d”类型的一元一次方程,理解解方程的目标,体会解法中蕴涵的化归思想.
重点
建立方程解决实际问题,会解“ax+b=cx+d”类型的一元一次方程.
难点
分析实际问题中的相等关系,列出方程.
一、创设情境,导入新课
出示教材问题2:
把一些图书分给某班学生阅读,如果每人分3本,则剩余20本;如果每人分4本,则还缺25本,这个班有多少学生?
二、探究新知
引导学生回顾列方程解决实际问题的基本思路.
学生讨论、分析:
1.设未知数:
设这个班有x名学生.
2.找相等关系:
这批书的总数是一个定值,表示它的两个等式相等.
3.列方程:
3x+20=4x-25.
问题1:
怎样解这个方程?
它与上节课遇到的方程有何不同?
学生讨论后发现:
方程的两边都有含x的项(3x与4x)和不含字母的常数项(20与-25).
问题2:
怎样才能使它向x=a的形式转化呢?
学生思考、探索:
为使方程的右边没有含x的项,等号两边同减去4x,为使方程的左边没有常数项,等号两边同减去20.
3x-4x=-25-20.
问题3:
以上变形依据是什么?
等式的性质1.
归纳:
像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项.
师生共同完成解答过程,或用框图表示.
问题4:
以上解方程中“移项”起了什么作用?
学生讨论、回答,师生共同整理:
通过移项,含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边,使方程更接近于x=a的形式.
师:
解方程时,要合并同类项和移项.前面提到的古老的代数书中的“对消”与“还原”,指的就是“合并同类项”和“移项”.
三、尝试运用,加深巩固
师出示教材例3.
解下列方程:
(1)3x+7=32-2x;
(2)x-3=
x+1.
教师引导学生按照框图所展示的过程,共同完成本例.
练习:
课本第90页练习1.
四、小结
谈谈本节课你的收获.
五、作业
习题3.2第2,3题.
这节课要学习的方程类型是两边都有x和常数项,通过移项的方法化到合并同类项的方程类型.教学重点是用移项解一元一次方程,难点是移项法则的探究.在教学过程中一定要强调学生,移项的时候要注意变号.
第4课时 方程的应用
1.进一步培养学生列方程解应用题的能力.
2.通过探究实际问题与一元一次方程的关系,感受数学的应用价值,提高分析问题、解决问题的能力.
重点
建立一元一次方程解决实际问题.
难点
探究实际问题与一元一次方程的关系.
活动1:
创设情境,引入新课
师:
展示投影:
练习解方程:
(1)
x+4x=9
(2)-4x=-2x+6
(3)5x+4=4x-3(4)0.6x=50+0.4x
学生独立完成,然后师生交流答案,看谁做得又对又快.
活动2:
探究新知
教师展示教材例4.
某制药厂制造一批药品,如用旧工艺,则废水排量要比环保限制的最大量还多200t;如用新工艺,则废水排量比环保限制的最大量少100t.新旧工艺的废水排量之比为2:
5,两种工艺的废水排量各是多少?
学生讨论交流.
教师可提示学生分析:
1.本题可否用小学学习的算术法来求解?
2.题目中两种工艺的废水排量都是与环保最大值相关的,根据小学学过的比例式,如果设环保设计的最大量为xt,你能否列出一个关于x的比例式?
3.根据新旧工艺的废水排量之比为2:
5,如果设新、旧工艺的废水排量分别为2xt和5xt,你能列出方程吗?
解:
设新、旧工艺的废水排量分别为2xt和5xt.
根据废水排量与环保限制最大量之间的关系,得
5x-200=2x+100.
移项,得
5x-2x=100+200.
合并同类项,得
3x=300,
系数化为1,得
x=100,
所以2x=200,
5x=500.
答:
新、旧工艺产生的废水排量分别为200t和500t.
师:
通过解答过程,你能说一下这种设法的好
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- 人教版 初一 数学 下册 一元一次方程
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