第七章机械能守恒定律重难点解析汇编.docx

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第七章机械能守恒定律重难点解析汇编

人教版物理必修二

第七章<机械能守恒定律>重难点解析

第七章课文目录　

1.追寻守恒量

2.功

3.功率

4.重力势能

5.探究弹性势能的表达式

6.实验：

探究功与速度变化的关系

7.动能和动能定理

8.机械能守恒定律

9.实验：

验证机械能守恒定律

10.能量守恒定律与能源

【重点】

1、理解动能、势能的含义。

2、理解功的概念及正负功的意义。

3、理解功率的概念及物理意义；功率的两个计算式；

4、正确计算物体或物体系的重力势能，用重力势能的变化求重力的功。

5、探究弹性势能公式的过程和所用方法。

6、学习探究功与速度变化关系的物理方法，并会利用图象法处理数据。

7、动能定理及其应用。

8、从能的转化和功能关系出发理解机械能守恒的条件，判断研究对象在所经历的过程中机械能是否守恒。

9、能量守恒定律的内容，应用能量守恒定律解决问题。

【难点】

1、在动能和势能转化的过程中体会能量守恒。

2、利用功的定义式解决有关问题。

3、理解功率与力、速度的关系，瞬时功率和平均功率的计算。

4、灵活运用动能定理解决实际问题。

5、推导拉伸弹簧时，用微分思想和积分思想求解拉力所做功的表达式。

6、图像法寻求功与速度变化的关系。

7、对动能定理的理解和应用。

8、机械能守恒定律的应用。

9、理解能量守恒定律的确切含义，能量转化的方向性。

一、追寻守恒量

1.重力势能的大小与哪些因素有关？

根据势能的概念可知：

相互作用的物体凭借其位置而具有的能量叫势能.故重力势能的大小与物体的位置的高低有关.物体的位置越高，重力势能越大，位置越低，重力势能越小.不同的物体，其重力势能的大小还与物体质量（或重力）有关.

2.动能的大小与哪些因素有关？

根据动能的概念可知：

物体由于运动而具有的能量叫动能.故动能的大小与描述物体运动状态的量——速度大小有关.其关系是：

对质量一定的物体，其速度越大，其动能越大，速度越小，其动能越小.物体的动能还与物体的质量有关：

运动快慢相同的物体，质量越大，动能越大.

3.伽利略理想斜面实验体现的不变的量是什么？

在伽利略理想斜面实验中，小球从斜面滑下时，高度越来越小，势能越来越小，但速度越来越大，故动能越来越大，即减小的势能转化为动能，但总的能量保持不变.

【典型例题】

【例1】如图7-1-1所示，电动小车沿斜面从A匀速运动到B，则在运动过程中（）

图7-1-1

A.动能减少，势能增加

B.动能不变，势能增加

C.动能减少，势能不变

D.动能不变，势能减少

解析：

小车沿斜面从A运动到B，位置升高势能增加；小车沿斜面匀速运动，速度大小不变，故物体的动能不变.答案为B.

思维总结：

不要认为物体沿斜面向上，动能一定减小，要根据物体的速度进行判断.

【例2】如图7-1-2所示，一根不可伸长的细绳拴着一个小球在竖直平面内摆动，图中a、b、c三点分别表示小球摆动过程中的三个不同位置，其中a、c等高.在小球摆动的整个过程中，动能最大时是在点，在点势能最大；如果没有空气阻力的影响，小球在a点的动能（填“大于”、“等于”或“小于”）在c点的动能.

图7-1-2

解析：

在小球来回摆动时，动能与势能不停地相互转化但总量不变.在a、c两点时位置最高，势能最大，速度为零，动能为零.在b点时位置最低，势能最小，速度最大，动能最大.

答案：

ba，c等于

思维总结：

在某一过程中，若仅涉及动能和势能的转化，若能判断出其中一种能量正在减小或增大，则另一种能量一定正做相反变化，且一种能量为零时，另一种能量达到最大值.

【例3】如图7-1-3所示，河道中的水在稳恒地流淌（各处的水流速度不随时间改变），设截面A1B1的面积为S1，流速与截面垂直，速度为v1；截面A2B2的面积为S2，速度为v2，通过观察和分析，本题中位于A1B1A2B2区域中的水的体积是否为一个守恒量？

若是的话，你可以推断出S1、S2、v1、v2满足什么规律？

图7-1-3

解析：

由于水不可压缩，单位时间内流入A1B1面的水的体积应等于流出A2B2面的体积，因此位于A1B1A2B2区域中的水的体积是一个守恒量.

考察很短的时间Δt，流入A1B1面的水的体积为ΔV1=S1v1Δt，流出A2B2面的水的体积ΔV2=S2v2Δt，所以S1v1=S2v2，截面积越小的地方，水的流速越大.

思维总结：

截面积和流速的乘积称为流量（单位时间内流过截面的液体的体积，单位为m3/s），通常用Q表示，即Q=Sv.如果各处的流量不等，则水位就升高或降低，为非稳恒流动.

二、功

1.对功的公式W=Flcosθ的理解

（1）各字母符号的意义，F作用在物体上的力，恒力，单位N，l是力的作用点的对地位移，矢量，单位m，cosθ是力与位移l正方向之间夹角θ的余弦.

（2）对整式的剖析理解：

①W=Fl·cosθ，lcosθ是位移l在力F方向的分量，思想方法：

分解位移.

②W=Fcosθ·l，Fcosθ是力F在l方向上的分量，思想方法：

分解力.

特别提醒：

（1）这两种思想方法是等效的，在应用时可根据具体的问题情景灵活选用恰当的方法.

（2）W=Flcosθ是恒力对物体做功的公式（适用条件）对变力做功不能直接使用.

2.对正功、负功的认识

如图7-2-1所示，物体沿光滑水平面向右由位置1运动到位置2的过程中，力F1做的功W1=F1lcosθ1＞0，即F1对物体做正功，同时我们看到F1促进了物体的运动；力F2做的功W2=F2lcosθ2＜0，即F2对物体做负功，同时力F2阻碍了物体的运动.所以，功的正负只表示力是促进物体运动还是阻碍物体运动，即功的正负表示力的作用效果，而不表示方向，功是标量.

图7-2-1

3.对摩擦力做功的讨论

在相当多的问题里，摩擦力都阻碍物体运动，对物体做负功，这就很容易给人一种感觉——摩擦力一定做负功，实际上，因摩擦力的方向与物体的运动方向之间没有必然的联系所以摩擦力可以做负功，也可以做正功.也可以不做功，下面按静摩擦力的功和滑动摩擦力的功分述如下：

（1）静摩擦力的功

例如，光滑水平面上放着一辆平板车，车上放一物体A，用力F拉动车上的物体A，B与A一起以相同的速度前进，且A与B间无相对滑动，则静摩擦力F0对A做负功，F0′对B做正功，如图7-2-2所示.

图7-2-2

因为，A受到的静摩擦力F0与A的位移l反向，即F0对A做的功WA=F0lcos180°=-F0l＜0；B受到的静摩擦力F0′与B的位移l同向，F0′对B做的功WB=F0′lcos0°=F0′l＞0.

例如，放在匀速转动圆盘上随同盘M一起转动的物体C，它受的向心力是静摩擦力Ff，Ff对物体C不做功.

因为，静摩擦力Ff在任一时刻都与速度方向垂直，即在Ff的方向没有发生位移，所以Ff不做功，如图7-2-3所示.

图7-2-3

（2）滑动摩擦力的功

【例释】设光滑水平面上放一质量为M的平板车，一质量为m的物体以速度v沿平板车表面飞入，当m在车表面滑行距离为L时，平板车前进了l远，这时m与M相对静止，如图7-2-4所示，求此过程中滑动摩擦力对m与M做什么功.

图7-2-4

解析：

以m为研究对象，它受的滑动摩擦力为F，F对m做的功W=F（l+L）cos180°=-F（l+L）＜0，即滑动摩擦力F对m做负功.

以M为研究对象，它受的滑动摩擦力为F′（F′为F的反作用力），F′对M做的功W′=F′lcos0°=F′l＞0，即滑动摩擦力F′对M做正功.

点评：

无论静摩擦力还是滑动摩擦力，均可以做正功，也可以做负功，甚至不做功.

【典型例题】

【例4】止在光滑水平面上的物体质量为2.5kg，在与水平方向成60°角斜向上的力F作用下运动了10s，已知F=10N，求10s内力F所做的功.（g=10m/s2）

思路分析：

由功的计算公式W=Flcosα进行求解.

解析：

物体受力如图7-2-5.

图7-2-5

根据牛顿第二定律得：

Fcos60°=ma①

10s内物体位移l=

at2，②

10s内力F做的功

W=Flcos60°③

解①②③得

W=

=500J.

答案：

500J

误区警示：

功的计算公式W=Flcosα中的力F必须是恒力时才能用该公式求功.另外，α为力F与位移l方向的夹角.

【例5】如图7-2-6所示，质量为m的物体沿倾角为α的粗糙斜面下滑了一段距离s，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，试求物体所受各力在下滑过程中对物体所做的功及这些力所做的总功.

图7-2-6

思路分析：

先由W=Flcosα求各力的功，然后求这些功的代数和即为这些力所做的总功.

解析：

物体受力分析如图7-2-7

图7-2-7

支持力FN=mgcosα

由滑动摩擦力Ff=μFN

故Ff=μmgcosα

根据功的定义可得，重力对物体所做的功WG

WG=mgssinα

斜面支持力对物体做的功WN

WN=mgscosα·cos90°=0

滑动摩擦力对物体所做的功Wf

Wf=μmgscosα·cos180°=-μmgscosα

所以这些力所做的总功为W

W=WG+WN+Wf=mgs（sinα-μcosα）.

思维总结：

解决总功问题，首先应注意功是标量.所以，我们求解几个力对物体所做的总功，可先求每个力做的功，再求其代数和，即为总功；当然也可先求几个力的合力，再求合力所做的功.

【例6】如图7-2-9质量为M的长木板B被固定在水平面上，一个质量为m的滑块A以某一速度沿木板表面由C点滑至D点，在木板上前进了L，若滑块与木板间动摩擦因数为μ，求摩擦力对滑块、对木板做功各为多少？

图7-2-9

思路分析：

我们应先确定木板和滑块的位移后，再根据功的定义式求摩擦力做的功.

解析：

由于木板被固定，所以木板的位移s1=0

根据功的定义可得，摩擦力对木板做功WB=0

滑块A受到的摩擦力Ff方向水平向左，与运动方向相反，Ff应做负功

Wf=-FfL

又Ff=μFN=μmg

故Wf=-μmgL.

误区警示：

摩擦力可以做正功，也可以做负功，甚至不做功.不要错误的认为摩擦力一定做负功，所以遇到摩擦力做功问题一定注意分析.

【例7】一个人用50N的恒力F作用在绳子的一端，通过绳子和定滑轮将一个静止的物体由位置A拉到位置B，如图7-2-11所示，求此过程中绳子拉力对物体所做的功（不计滑轮的摩擦力）.

图7-2-11

思路分析：

若以物体为研究对象，显然作用在物体上的力是一个变力，不能直接应用公式求解，但人拉绳子的力所做的功最终用于增加物体的机械能，所以，绳子拉力对物体所做的功等于人拉绳子的力所做的功，而绳子的受力点P受力为恒力，拉下绳子的长度即为恒力位移的大小，所以可以应用公式求解.

解析：

由W=Flcosα得W=Fl=F（

）

=50（

）=127J.

答案：

127J

思维总结：

公式W=Flcosα只适用于恒力做功，对于变力做功，目前我们只能用转换研究对象，分段计算等方法把变力做功转变为恒力做功来求解.

【例8】如图7-2-13，物体由静止将沿F1，F2的合力F方向运动，发生的位移l=10m.F1与l方向的夹角θ1=53°，F2与l方向的夹角θ2=37°，F与l同向，然后由功的公式W=Flcosα进行计算.

图7-2-13

解析：

（1）力F1做的功

W1=F1lcosθ1=3×10×cos53°J=18J

力F2做的功

W2=F2lcosθ2=4×10×cos37°J=32J

W1与W2的代数和

W=W1+W2=18J+32J=50J.

（2）F1与F2的合力

F=

=

N=5N

合力F做的功W′=Fl=5×10J=50J.

答案：

（1）50J

（2）50J

思维总结：

由该题的解答结果可以证明：

几个力对一个物体做功的代数和，等于这几个力的合力对这个物体所做的功.

三、功率

1.对功率定义的理解

功率是用功W跟完成这些功所用时间t的比值来定义的，即P=W/t，功率表示物体做功的快慢，功率的大小与功W的大小和时间t的长短无关.

【例释】小王把一个10kg的物体在2min内提到4楼做功960J；小李把一个20kg的物体在5min内提到4楼做功2000J.两人比较谁的功率较大？

解析：

根据功率的定义可得小王的功率P1=

W=8W，小李的功率P2=

W=6.67W.虽然小李做的功多，但小王的功率较小李的大，原因就是功率是用功W与所用时间t的比值来定义的.

答案：

见解析

2.公式P=Fv的适用条件

当物体沿位移方向受的力为F时，从计时开始到时刻t这段时间内，发生的位移为l，则力F在该时间内所做的功W=Fl，再有P=

得P=

，而

=v，即最后得到P=Fv，式中v为平均速度，与位移l同向，即F、v同向.综上分析在F、v同向时可用该公式计算功率.当F、v之间有一夹角θ时，P=Fvcosθ，同学们有兴趣可自己推导.

3.公式P=

和P=Fv的比较

功率的定义式计算的是在一段时间内的平均功率；在公式P=Fv中，若v为平均速度则计算出的功率为该段时间内的平均功率，若v为某一时刻的瞬时速度，则计算出的结果为该时刻的瞬时功率.

4.汽车启动时两种典型情况

（1）汽车在平直路面上保持发动机功率（即牵引力的功率）不变，即以恒定功率启动，其加速过程如表所示：

设牵引力为F，所受阻力为F1

由表可分析知：

①只有当汽车的牵引力与所受阻力大小相等时，才达到最大速度.

②在加速过程中，加速度是变化的，如果知道某时刻的速度，可求得此时刻的加速度.

③该方式启动过程中速度随时间的变化图象如图7-3-1所示.

图7-3-1

（2）汽车匀加速启动，其过程分析如表所示：

由表可分析知：

①汽车匀加速启动，当达到额定功率时，并没有达到最大速度，此后将保持功率不变做变加速运动，当牵引力与阻力大小相等时，才达到最大速度而匀速行驶.

图7-3-2

②该过程的v-t图象如图7-3-2所示.

综上，汽车无论以哪种方式启动，最终都以额定功率行驶.遇到上坡或泥泞路时，为了增大牵引力F，由公式P=Fv，可增大P或减小v，而实际功率大于额定功率时，对发动机有害，则只能换低挡来解决问题.

【典型例题】

【例9】质量为2kg的物体，受到24N竖直向上的拉力，由静止开始运动，经过5s，求5s内拉力对物体所做的功是多少？

5s内拉力的平均功率及5s末拉力的瞬时功率各是多少？

（g取10m/s2）

解析：

物体受力情况如图7-3-3所示

图7-3-3

由牛顿第二定律a=

=2m/s2

5s内物体的位移s=

=25m

方向竖直向上

5s末物体的速度v=at=10m/s

方向竖直向上

故5s内拉力F做的功为

W=Fs=24×25J=600J

5s内拉力F的平均功率为

P=

W=120W

5s末拉力的瞬时功率为

P=F·v=24×10W=240W.

答案：

600J120W240W

思维总结：

公式P=W/t一般用来计算平均功率，而P=Fv若v为瞬时速度则可用来计算瞬时功率.应用时，注意公式的选择.

【例10】质量为m=4.0×103kg的汽车，发动机的额定功率为P=40kW，汽车从静止以a=0.5m/s2的加速度行驶，所受阻力Ff=2.0×103N，则汽车匀加速行驶的最长时间为多少？

汽车可能达到的最大速度为多少？

解析：

汽车匀加速行驶时，汽车发动机牵引力为F，则根据牛顿第二定律F-Ff=ma

F=ma+Ff=4.0×103×0.5+2.0×103N=4.0×103N

汽车匀加速运动过程的末速度v，则

P=Fv，v=P/F=

m/s=10m/s

根据运动学公式v=at得

t=v/a=

s=20s

当汽车加速度a=0时，汽车有最大速度vmax，

则vmax=

m/s=20m/s

答案：

20s20m/s

误区警示：

汽车匀加速启动时，匀加速运动过程中的末速度不是汽车运动过程中的最大速度.

四、重力势能

1.重力做功的特点

重力对于一个物体来说是恒力，根据恒力做功的公式W=Fl可知重力对物体所做的功等于重力的大小与物体在重力的方向上（竖直方向上）移动位移的乘积.如图7-4-1把物体从B点移到A点，物体的竖直方向上的位移为h1-h2故重力做功为W=mg（h1-h2）=mgh1-mgh2与物体沿什么路径从B点到A点无关.

图7-4-1

综上所述：

重力做功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关.

2.对重力势能的理解

（1）重力势能具有相对性.重力势能的表达式Ep=mgh是与参考平面的选择有关的，式中的h是物体重心到参考平面的高度.当物体在参考平面之上时，重力势能Ep为正值；当物体在参考平面之下时，重力势能Ep为负值.注意物体重力势能的正、负的物理意义是表示比零势能大还是比零势能小，这与功的正、负的物理意义是不同的.

（2）重力势能的参考平面的选取是任意的.视处理物体的方便而定，一般可选择地面或物体运动时所达到的最低点为零势能参考点.

（3）重力势能的变化是绝对的.物体从一个位置到另一个位置的过程中，重力势能的变化与参考平面的选取无关，它的变化是绝对的.我们关注的是重力势能的变化，这意味着能的转化问题.

（4）势能是物体与地球共有的，没有地球的存在物体谈不上受重力也就不可能具有势能，“物体具有重力势能”是通常的一种不严格的说法.但在理解其含义时必须知道势能是系统共有的.

3.重力做功与重力势能变化的关系

物体的高度变化时，重力要做功，重力势能的改变与重力做功有关.重力势能的改变只由重力做功引起.如图7-4-2，质量为m的物体，由A点下落到B点，A点高度为h1，B点高度为h2.在这个过程中，重力做功WG=mgh1-mgh2=mgΔh.

图7-4-2

在这个过程中重力势能的改变量ΔEp=EpB-EpA，所以重力做功和重力势能改变量的关系为WG=-ΔEp.

这也正好说明了重力做正功，重力势能减小，而重力做负功，重力势能增加.

【典型例题】

【例11】如图7-4-3所示，求质量为m的小球在从位置A运动到位置B的过程中重力所做的功.

图7-4-3XC

解析：

由于重力做功与通过的路径无关，只决定于物体的重力mg和物体初末位置的高度差，所以物体由A位置运动到B位置，虽然先运动到地面再回到B高度，但初末位置的高度差是H-h，那么重力做功为W=mg（H-h）.

答案：

mg（H-h）

思维总结：

重力做功仅由重力和初末位置的高度差决定.

误区警示：

重力做功与物体受到几个力的作用以及物体做什么性质的运动等因素无关.

【例12】如图7-4-5所示，桌面距地面0.8m，一物体质量为2kg，放在距桌面0.4m的支架上.

（1）以地面为参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到桌面的过程中，重力势能减少了多少？

（2）以桌面为参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到桌面的过程中，重力势能减少了多少？

图7-4-5

思路分析：

计算重力势能时，应找到参考平面，然后找到物体相对参考平面的高度，由Ep=mgh计算.

解析：

（1）以地面为参考平面，物体的高度h1=1.2m，因而物体的重力势能为

Ep1=mgh1=2×9.8×1.2J=23.52J

物体落至桌面时重力势能为

Ep2=mgh2=2×9.8×0.8J=15.68J

物体重力势能的减少量ΔEP=Ep1-Ep2=7.84J

（2）同理以桌面为参考平面时：

Ep1′=7.84J，Ep2′=0，故物体落至桌面时重力势能的减少量ΔEp′=7.84J.

答案：

（1）23.52J重力势能减少量为7.84J

（2）7.84J重力势能减少7.84J

思维总结：

重力势能的大小具有相对性，与参考平面的选取有关，而重力势能的变化是末状态的重力势能与初状态的重力势能之差.与参考平面的选取无关，是绝对的.

【例13】如图7-4-7所示，在水平地面上平铺n块砖，每块砖的质量为m，厚度为h，如将砖一块一块地叠放起来，至少需要做多少功？

图7-4-7

思路分析：

把砖由平放地面上到把它们一块块地叠放起来做的功至少等于砖增加的重力势能，可用整体法和归纳法两种方法求解.

解析：

法一：

整体法

取n块砖的整体为研究对象，如图7-4-7所示叠放起来后整体重心距地面

nh，原来距地面

，故有：

W=ΔEp=nmg·（

nh）-nmg·（

h）

=

n（n-1）mgh.

法二：

归纳法

第1块砖增加的重力势能为0

第2块砖增加的重力势能为mgh

第3块砖增加的重力势能为2mgh

第n块砖增加的重力势能为（n-1）mgh

则n块砖共增加的重力势能为

ΔEp=mgh［1+2+3+…+（n-1）］=

mgh

即至少需要做的功为

mgh.

答案：

mgh

误区警示：

（1）用整体法解题时，初末状态的重心位置距地面高度为

和

nh，而不是h和nh.

（2）用归纳法解题时，第n块砖增加的重力势能是（n-1）mgh，而不是nmgh.

五、探究弹性势能的表达式

1.类比方法的应用

重力势能与弹性势能都是物体凭借其位置而具有的能.研究重力势能时是从分析重力做功入手，所以，研究弹性势能也可以从分析弹力做功入手.重力做功与重力和物体的位置的变化有关，即重力势能与物体被举高的高度h有关，所以很容易想到弹性势能很可能与弹簧被拉伸的长度l有关.当然弹性势能还应该与劲度系数k有关.

2.极限思想的应用

在地球表面附近，同一物体的重力是恒力，而在拉伸弹簧的过程中，弹力是随弹簧的伸长量的变化而变化的，弹力还因弹簧的不同而不同.因此弹力做功不能直接用功的公式W=Fscosθ来计算.与研究匀变速直线运动的位移方法类似，将弹簧被拉伸的过程分成很多小段，每一小段中近似认为拉力是不变的，可得到整个拉伸过程中克服弹力做的总功W总=F1Δl1+F2Δl2+….这里又一次利用了极限的思想，与匀变速直线运动中利用v-t图象求位移s相似，这里可以利用F-l图象求弹力做的功.

如图7-5-1所示，F-l图象中由F和l围成的三角形的面积即为所求克服弹力做的功：

图7-5-1

W总=F×

l=kl×

l=

kl2

3.探究结果

弹性势能Ep=

kl2，公式中l为形变量.注意该表达式，我们是规定弹簧处于自然状态下，也就是既不伸长也不缩短时的势能为零势能.

【典型例题】

【例14】关于弹性势能，下列说法正确的是（）

A.发生弹性形变的物体都具有弹性势能

B.只有弹簧在发生弹性形变时才具有弹性势能

C.当弹力做功时弹性势能一定增加

D.当物体的弹性势能减小时，弹力一定做了正功

解析：

发生弹性形变的任何物体各部分之间存在着相互作用的弹力，从而也有了弹性势能，故A对B错.根据弹力做功与弹性势能的关系可知，只有弹力做负功时弹性势能才能增加，如果弹力做正功则弹性势能就会减小，故C错D对.答案为AD.

思维总结：

弹性势能是一切物体发生弹性形变时具有的能，不要形成只有弹簧才具有弹性势能的思维定势，研究弹性势能的方法同研究重力势能一样.通过研究弹力的功入手来研究弹性势能，这是物理学的一种思想方法.

【例15】弹弓是一种兵器，也是一种儿童玩具，它是由两根橡皮条和一