高中数学11算法的含义教案.docx
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高中数学11算法的含义教案
第一课时算法的含义
教学目标:
1.通过实例体会算法思想,了解算法的含义与主要特点;
2.能按步骤用自然语言写出简单问题的算法过程学;
3.培养学生逻辑思维能力与表达能力.
教学重点:
将问题的解决过程用自然语言表示为算法过程.
教学难点:
用自然语言描述算法.
教学过程:
一.问题情境
算法是数学及其应用的重要组成部分,是计算科学的重要基础.随着现代信息技术的飞速发展,算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用,并日益融入社会生活的许多方面,算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养.
算法是高中数学课程中的新增内容,其思想是非常重要的,但并不神秘.在以前的学习中,虽然没有出现算法这个名词,但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想,如四则运算的过程、求解方程的步骤等等,完成这些工作都需要一系列程序化的步骤,这就是算法的思想.
二、讲授新课
例1:
给出求1+2+3+4+5+6+7的一个算法.
解析:
本例主要是培养学生理解概念的程度,了解解决数学问题都需要算法.
算法一:
按照逐一相加的程序进行.
第一步 计算1+2,得到3;
第二步 将第一步中的运算结果3与3相加,得到6;
第三步 将第二步中的运算结果6与4相加,得到10;
第四步 将第三步中的运算结果10与5相加,得到15;
第五步 将第四步中的运算结果15与6相加,得到21;
第六步 将第五步中的运算结果21与7相加,得到28.
算法二:
可以运用公式
直接计算.
第一步 取n=7;
第二步 计算
;
第三步 输出运算结果.
点评:
本题主要考查学生对算法的灵活准确应用和自然语言表达一个问题的算法的方法.算法不同,解决问题的繁简程度也不同,我们研究算法,就是要找出解决问题的最好的算法.
例2.给出求解方程组
的一个算法.
分析:
解线性方程组的常用方法是加减消元法和代入消元法,
解:
用消元法解这个方程组,步骤是:
第一步:
方程①不动,将方程②中
的系数除以方程①中
的系数,得到乘数
;
第二步:
方程②减去
乘以方程①,消去方程②中的
项,得到
;
第三步:
将上面的方程组自下而上回代求解,得到
,
.
所以原方程组的解为
.
说明:
(1).算法具有两个主要特点:
①有限性:
一个算法在执行有限个步骤后必须结束.
“有限性”往往指在合理的范围之内,如果让计算机执行一个历时1000年才结束的算法,这虽然是有限的,但超过了合理的限度,人们也不把它视作有效算法.“合理限度”一般由人们的常识和需要以及计算机的性能而定.
②确定性:
算法的每一个步骤和次序应当是确定的.
(2).一般来说,算法应有一个或多个输出,算法的目的是为了求解,没有输出的算法是没有意义的.
例3:
一个人带三只狼和三只羚羊过河.只有一条船,同船可以容一个人和两只动物.没有人在的时候,如果狼的数量不少于羚羊的数量,狼就会吃掉羚羊.
(1)设计安全渡河的算法;
(2)思考每一步算法所遵循的相同原则是什么.
解析:
(1)S1 人带两只狼过河.
S2 人自己返回.
S3 人带两只羚羊过河.
S4 人带一只狼返回.
S5 人带一只羚羊过河.
S6 人自己返回.
S7 人带两只狼过河.
.在人运送动物过河的过程中,人离开岸边时必须保证每个岸边的羚羊数目要大于狼的数目.
点评:
这是一个实际问题,生活中解决任何问题都需要算法,我们要在处理实际问题的过程中理解算法的含义,体会算法设计的思想方法.
三、课堂练习
1、课本P61,2,3.
练习1答案:
第一步移项得
;
第二步两边同除以2得
.
练习2答案:
第一步:
使
,;
第二步:
使
;
第三步:
使
;
第四步:
使
;
第五步:
如果
,则返回第三步,否则输出
.
练习3答案:
第一步计算斜率
;
第二步用点斜式写出直线方程
.
2、:
两个大人和两个小孩一起渡河,渡口只有一条小船,每次只能渡1个大人或两个小孩,他们四人都会划船,但都不会游泳.同学们现在想一想,他们怎样渡过河去?
请写一写你的渡河方案.
思路:
因为一次只能渡过一个大人,而船还要回来渡其他人,所以只能让两个小孩先过河,渡河的方法与步骤为
第一步 两个小孩同船渡过河去;
第二步 一个小孩划船回来;
第三步 一个大人独自划船渡过河去;
第四步 对岸的小孩划船回来;
第五步 两个小孩再同船渡过河去;
第六步 一个小孩划船回来;
第七步 余下的一个大人独自划船渡过河去;
第八步 对岸的小孩划船回来;
第九步 两个小孩再同船渡过河去.
四、课时小结
1.算法的概念:
对一类问题的机械的、统一的求解方法.算法是由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤,或者是按照要求设计好的有限的计算序列,并且这样的步骤或序列能解决一类问题.
2.算法的重要特征:
(1)有限性:
一个算法在执行有限步后必须结束;
(2)确切性:
算法的每一个步骤和次序必须是确定的;
(3)输入:
一个算法有0个或多个输入,以刻划运算对象的初始条件.所谓0个输入是指算法本身定出了初始条件.
(4)输出:
一个算法有1个或多个输出,以反映对输入数据加工后的结果.没有输出的
算法是毫无意义的.
五、课后作业
1.下面的结论正确的是答案:
D( )
A.一个程序的算法步骤是可逆的B.一个算法可以无止境地运算下去
C.完成一件事情的算法有且只有一种D.设计算法要本着简单方便的原则
2.早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水(8min)、泡面(3min)、吃饭(10min)、听广播(8min)几个步骤.从下列选项中选最好的一种算法(答案:
C)
A.S1洗脸刷牙、S2刷水壶、S3烧水、S4泡面、S5吃饭、S6听广播
B.S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5听广播
C.S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭同时听广播
D.S1吃饭同时听广播、S2泡面、S3烧水同时洗脸刷牙、S4刷水壶
3.著名数学家华罗庚“烧水泡茶”的两个算法.
算法一:
第一步 烧水;
第二步 水烧开后,洗刷茶具;
第三步 沏茶.
算法二:
第一步 烧水;
第二步 烧水过程中,洗刷茶具;
第三步 水烧开后沏茶.
这两个算法的区别在哪里?
哪个算法更高效?
为什么?
答案:
第二个算法更高效.因为节约时间.
4.写出求1+2+3+…+100的一个算法.可以运用公式1+2+3+…+n=
直接计算.
第一步 ① ;
第二步 ② ;
第三步 输出运算结果.
答案:
①取n=100 ②计算
5.已知一个学生的语文成绩为89,数学成绩为96,外语成绩为99,求他的总分和平均成绩的一个算法为:
第一步 取A=89,B=96,C=99;
第二步 ① ;
第三步 ② ;
第四步 输出D,E.
答案:
①计算总分D=A+B+C ②计算平均成绩E=
6.“鸡兔同笼”是我国隋朝时期的数学著作《孙子算经》中的一个有趣而具有深远影响的题目:
“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问雉兔各几何.”
用方程组的思想不难解决这一问题,请你设计一个这类问题的通用算法.
答案:
解析:
鸡兔同笼,设鸡兔总头数为H,总脚数为F,求鸡兔各有多少只.算法如下:
第一步 输入总头数H,总脚数F;
第二步 计算鸡的个数x=(4
H-F)/2;
第三步 计算兔的个数y=(F-2
H)/2;
第四步 输出x,y.
7.已知直角坐标系中的两点A(-1,0),B(3,2),写出求直线AB的方程的一个算法.
答案:
解析:
可以运用公式
=
直接求解.
第一步 取x1=-1,y1=0,x2=3,y2=2;
第二步 代入公式
=
,得直线AB的方程;
第三步 输出直线AB的方程.
8.写出交换两个大小相同的杯子中的液体(A水、B酒)的两个算法.
答案:
解析:
算法1:
1.再找一个大小与A相同的空杯子C;
2.将A中的水倒入C中;
3.将B中的酒倒入A中;
4.将C中的水倒入B中,结束.
算法2:
1.再找两个空杯子C和D;
2.将A中的水倒入C中,将B中的酒倒入D中;
3.将C中的水倒入B中,将D中的酒倒入A中,结束.
注意:
一个算法往往具有代表性,能解决一类问题,如,例一可以引申为:
交换两个变量的值.
9.写出1×2×3×4×5×6的一个算法.
答案:
解析:
按照逐一相乘的程序进行.
第一步 计算1×2,得到2;
第二步 将第一步中的运算结果2与3相乘,得到6;
第三步 将第二步中的运算结果6与4相乘,得到24;
第四步 将第三步中的运算结果24与5相乘,得到120;
第五步 将第四步中的运算结果120与6相乘,得到720;
第六步 输出结果.
10.已知一个三角形的三边边长分别为2、3、4,设计一个算法,求出它的面积.
答案:
解析:
可利用公式
S=
求解.
第一步 取a=2,b=3,c=4;
第二步 计算p=
;
第三步 计算三角形的面积S=
;
第四步 输出S的值.
11.两个大人和两个小孩一起渡河,渡口只有一条小船,每次只能渡1个大人或两个小孩,他们四人都会划船,但都不会游泳.试问他们怎样渡过河去?
请写出一个渡河方案.
(通过学生讨论得出渡河方案与步骤如下)
S1两个小孩同船过河去;
S2一个小孩划船回来;
S3一个大人划船过河去;
S4对岸的小孩划船回来;
S5两个小孩同船渡过河去;
S6一个小孩划船回来;
S7余下的一个大人独自划船渡过河去;对岸的小孩划船回来;
S8两个小孩再同时划船渡过河去.
S03-0101-01教案算法的含义
教学目标:
通过对解决具体问题过程与步骤的分析,理解并掌握算法的概念与意义,会用“算法”的思想编制数学问题的算法.
教学重点:
通过实例体会算法思想,初步理解算法的含义.
教学难点:
算法概念以及用自然语言描述算法.
课型:
新授课
教学手段:
多媒体
教学过程:
一.问题情境
请大家研究解决下面的一个问题
问题1.写出你在家里烧开水的过程.
一般地,第一步:
把水注入电锅;
第二步:
打开电源把水烧开;
第三步:
把烧开的水注入热水瓶.
问题2.如何收发电子邮件?
第一步:
登陆邮箱;
第二步:
写信;
第三步:
添加附件;
第四步:
发送邮件.
二.学生活动
广义地说为了解决某一问题而采取的方法和步骤,就称之为算法.做任何事情都有一定的步骤.例如:
描述太极拳动作的图解,就是“太极拳的算法”;一首歌的乐谱,可以称之为该歌曲的算法.从小学到高中遇到的算法绝大多数都与“计算”有关的问题.
三.意义建构
例1:
给出求1+2+3+4+5的一个算法.
解:
算法1按照逐一相加的程序进行
第一步:
计算1+2,得到3;
第二步:
将第一步中的运算结果3与3相加,得到6;
第三步:
将第二步中的运算结果6与4相加,得到10;
第四步:
将第三步中的运算结果10与5相加,得到15.
算法2可以运用公式1+2+3+…+
=
直接计算
第一步:
取
=5;
第二步:
计算
;
第三步:
输出运算结果.
算法3按照累积相加的程序进行
第一步:
让S=0,I=1
第二步:
将S+I的值赋给S,I的值增加1
第三步:
如果I比5大,则输出S,否则转第二步.
(说明算法不唯一)
例2:
(课本第2页,解二元一次方程组的步骤)
(可推广到解一般的二元一次方程组,说明算法的普遍性)
四、数学理论
通过对以上几个问题的分析,我们对算法有了一个初步的了解.在解决某些问题时,需要设计出一系列可操作或可计算的步骤,通过实施这些步骤来解决问题,通常把这些步骤称为解决这些问题的算法.
在数学中,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成.
问题:
我们要解决解决一类问题,我们可以抽象出其解题步骤或计算序列,他们有什么样的要求?
(1)算法与一般意义上具体问题的解法既有联系,又有区别,它们之间是一般和特殊的关系,也是抽象与具体的关系.算法的获得要借助一般意义上具体问题的求解方法,而任何一个具体问题都可以利用这类问题的一般算法来解决.
(2)算法的五个特征
①有穷性:
一个算法的步骤序列是有限的,它应在有限步操作之后停止,而不能是无限地执行下去.
②确定性:
算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当是模棱两可的.
③逻辑性:
算法从初始步骤开始,分为若干个明确的步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无误,才能完成问题.
④不唯一性:
求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个,可以有不同的算法.
⑤普遍性:
很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要经过有限的、事先设计好的步骤加以解决.
五、巩固运用
例3:
写出求1×2×3×4×5的算法.
步骤1:
先求1×2,得到结果2;
步骤2:
将步骤1得到的结果2再乘以3,得到6;
步骤3:
将步骤2得到的结果6再乘以4,得到结果24;
步骤4:
将步骤3得到的结果24再乘以5,得到120.
例4:
写出一个求整数a、b、c最大值的算法
解:
S1先假定序列中的第一个数为"最大值".
S2将序列中的下一个整数值与"最大值"比较,如果大于"最大值",这时就假定这个数为"最大值".
S3如果序列中还有其它整数,重复S2.
S4直到序列中没有可比的数为止,这时假定的"最大值"就是序列的最大值.
即S1max=a.
S2如果b>max,则max=b.
S3如果c>max,则max=c.
S4max就是a、b、c的最大值.
六、回顾反思
1、算法的定义:
算法可以理解为有基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤.或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列,并且这样的步骤和序列可以解决一类问题.
2、算法的五大特征:
⑴逻辑性:
算法应具有正确性和顺序性.算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,前一步是后一步的基础,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都有确切的含义,组成了具有很强的逻辑性的序列.
⑵概括性:
算法必须能解决一类问题,并且能重复使用.
⑶有限性:
一个算法必须保证执行有限步后结束
⑷非唯一性:
求解某个问题的算法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法.
⑸普遍性:
许多的问题可以设计合理的算法去解决.如:
如用二分法求方程的近似零点,求几何体的体积等等.
3、算法的表述形式:
⑴用日常语言和数学语言或借助于形式语言(算法语言)各处精确的说明.
⑵程序框图(简称框图).
⑶程序语言.
七、课后练习
1.下列关于算法的说法中,正确的有()
①求解某一类问题的算法是唯一的;②算法必须在有限步操作之后停止;③算法的每一步操作必须是明确的,不能有歧义或模糊;④算法执行后一定产生确定的结果.
A、1个B、2个C、3个D、4个
2.在数学中,现代意义上的算法是指()
A.用阿拉伯数字进行运算的过程
B.解决某一类问题的程序或步骤
C.计算机在有限步骤之内完成,用来解决某一类问题的明确有效的程序或步骤
D.用计算机进行数学运算的方法
3.你要乘火车去外地办一件急事,请你写出从自己房间出发到坐在车厢内的三步主要算法S1,S2,S3.
4.任意给定一个正实数,设计一个算法求以这个数为半径的圆的面积.
5.有蓝和黑两个墨水瓶,但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中,黑墨水错装在了蓝墨水瓶中,要求将其互换,请你设计算法解决这一问题.
分析:
由于两个墨水瓶中的墨水不能直接交换,故可以考虑通过引入第三个空墨水瓶的办法进行交换.
6.写出求过两点M(-3,-1)、N(2,5)的直线与坐标轴围成面积的一个算法.
参考答案
1.C2.C
3.乘车去火车站、买车票、凭票上车对号入座.
4.第一步:
输入任意正实数
;第二步:
计算
;第三步:
输出圆的面积
.
5.解:
算法步骤如下:
第一步:
取一只空的墨水瓶,设其为白色;
第二步:
将黑墨水瓶中的蓝墨水装入白瓶中;
第三步:
将蓝墨水瓶中的黑墨水装入黑瓶中;
第四步:
将白瓶中的蓝墨水装入蓝瓶中;
第五步:
交换结束.
6.解:
算法:
第一步:
取x1=-3,y1=-1,x2=2,y2=5;
第二步:
计算
;
第三步:
在第二步结果中令x=0得到y的值m,得直线与y轴交点(0,m);
第四步:
在第二步结果中令y=0得到x的值n,得直线与x轴交点(n,0);
第五步:
计算S=
;
第六步:
输出运算结果.
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