学年新课标最新湘教版八年级数学下册《四边形》同步测试题及答案解析.docx
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学年新课标最新湘教版八年级数学下册《四边形》同步测试题及答案解析
湘教版2017—2018学年八年级数学下学期
《四边形》(2.1~2.3)同步测试与解析
一.选择题(共10小题)
1.若凸n边形的内角和为1260°,则从一个顶点出发引的对角线条数是( )
A.6B.8C.18D.27
2.如图,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD,则∠P的度数是( )
A.60°B.65°C.55°D.50°
3.如图,在▱ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF=6,AB=5,则AE的长为( )
A.4B.6C.8D.10
4.平行四边形的一条边长是12cm,那么它的两条对角线的长可能是( )
A.8cm和16cmB.10cm和16cmC.8cm和14cmD.8cm和12cm
5.如图,在▱ABCD中,∠ODA=90°,AC=10cm,BD=6cm,则AD的长为( )
A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm
6.已知在四边形ABCD中,AB∥CD,添加下列一个条件后,一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AD=BCB.AC=BDC.∠A=∠CD.∠A=∠B
7.点P、Q、R是平面内不在同一条直线上的三个定点,点M是平面内任意一点,若P、Q、R、M四点恰能构成一个平行四边形,则在平面内符合这样条件的点M有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
8.下列说法不正确的是( )
A.平行四边形对边平行
B.两组对边平行的四边形是平行四边形
C.平行四边形对角相等
D.一组对角相等的四边形是平行四边形
9.下列图形中,是中心对称图形的为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图,四边形ABCD是中心对称图形,对称中心为点O,过点O的直线与AD,BC分别交于E,F,则图中相等的线段有( )
A.3对B.4对C.5对D.6对
二.填空题(共8小题)
11.已知一个多边形的边数恰好是从一个顶点出发的对角线条数的2倍,则这个多边形的边数是 ,内角和是 .
12.一个n边形的内角和为1080°,则n= .
13.如图,在▱ABCD中,BE平分∠ABC,BC=6,DE=2,则▱ABCD的周长等于 .
14.若平行四边形中两个内角的度数比为1:
2,则其中较大的内角是 度.
15.在四边形ABCD中,若AB=CD,请你补充一个条件,使四边形ABCD是平行四边形.则你补充的条件是 .(只需填一个你认为正确的条件即可).
16.如图,▱ABCD中,AB、BC长分别为12和24,边AD与BC之间的距离为5,则AB与CD间的距离为 .
17.如图,是一个中心对称图形,A为对称中心,若∠C=90°,∠B=30°,AC=1,则BB′的长为 .
18.用长为4cm的n根火柴可以拼成如图1所示的x个边长都为4cm的平行四边形,还可以拼成如图2所示的2y个边长都为4cm的平行四边形,那么用含x的代数式表示y,得到 .
三.解答题(共6小题)
19.在▱ABCD中,∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E,BH⊥EC于点H,求证:
CH=EH.
20.嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的,她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD,并写出了如下不完整的已知和求证.
已知:
如图1,在四边形ABCD中,BC=AD,AB=
求证:
四边形ABCD是 四边形.
(1)在方框中填空,以补全已知和求证;
(2)按嘉淇的想法写出证明;
(3)用文字叙述所证命题的逆命题为 .
21.如图,将▱ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,折痕l交CD边于点E,连接BE.
(1)求证:
四边形BCED′是平行四边形;
(2)若BE平分∠ABC,求证:
AB2=AE2+BE2.
22.如图,四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,AD=1,BC=3,E是边CD的中点,连接BE并延长与AD的延长线相交于点F.
(1)求证:
四边形BDFC是平行四边形;
(2)若△BCD是等腰三角形,求四边形BDFC的面积.
23.如图,在▱ABCD中,点E,F分别在AB,DC上,且ED⊥DB,FB⊥BD.
(1)求证:
△AED≌△CFB;
(2)若∠A=30°,∠DEB=45°,求证:
DA=DF.
24.已知在四边形ABCD中,∠A=x,∠C=y,(0°<x<180°,0°<y<180°).
(1)∠ABC+∠ADC= (用含x、y的代数式表示);
(2)如图1,若x=y=90°,DE平分∠ADC,BF平分与∠ABC相邻的外角,请写出DE与BF的位置关系,并说明理由.
(3)如图2,∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角,
①当x<y时,若x+y=140°,∠DFB=30°试求x、y.
②小明在作图时,发现∠DFB不一定存在,请直接指出x、y满足什么条件时,∠DFB不存在.
试题解析参考:
一.选择题(共10小题)
1.若凸n边形的内角和为1260°,则从一个顶点出发引的对角线条数是( )
A.6B.8C.18D.27
解:
∵凸n边形的内角和为1260°,
∴(n﹣2)×180°=1260°,
解得n=9,
∴9﹣3=6.
故选:
A.
2.如图,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD,则∠P的度数是( )
A.60°B.65°C.55°D.50°
解:
∵五边形的内角和等于540°,∠A+∠B+∠E=300°,
∴∠BCD+∠CDE=540°﹣300°=240°,
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O,
∴∠PDC+∠PCD=
(∠BCD+∠CDE)=120°,
∴∠P=180°﹣120°=60°.
故选:
A.
3.如图,在▱ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF=6,AB=5,则AE的长为( )
A.4B.6C.8D.10
解:
连结EF,AE与BF交于点O,如图,
∵AB=AF,AO平分∠BAD,
∴AO⊥BF,BO=FO=
BF=3,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AF∥BE,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴AB=EB,
而BO⊥AE,
∴AO=OE,
在Rt△AOB中,AO=
=
=4,
∴AE=2AO=8.
故选C.
4.平行四边形的一条边长是12cm,那么它的两条对角线的长可能是( )
A.8cm和16cmB.10cm和16cmC.8cm和14cmD.8cm和12cm
解:
A、4+8=12,不能构成三角形,不满足条件,故A选项错误;
B、5+8>12,能构成三角形,满足条件,故B选项正确.
C、4+7<12,不能构成三角形,不满足条件,故C选项错误;
D、4+6<12,不能构成三角形,不满足条件,故D选项错误.
故选:
B.
5.如图,在▱ABCD中,∠ODA=90°,AC=10cm,BD=6cm,则AD的长为( )
A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm
解:
∵四边形ABCD是平行四边形,AC=10cm,BD=6cm
∴OA=OC=
AC=5cm,OB=OD=BD=3cm,
∵∠ODA=90°,
∴AD=
=4cm.
故选A.
6.已知在四边形ABCD中,AB∥CD,添加下列一个条件后,一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AD=BCB.AC=BDC.∠A=∠CD.∠A=∠B
解:
如图所示:
∵AB∥CD,
∴∠B+∠C=180°,
当∠A=∠C时,则∠A+∠B=180°,
故AD∥BC,
则四边形ABCD是平行四边形.
故选:
C.
7.点P、Q、R是平面内不在同一条直线上的三个定点,点M是平面内任意一点,若P、Q、R、M四点恰能构成一个平行四边形,则在平面内符合这样条件的点M有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
解:
如图,连接PQ、QR、PR,分别过P、Q、R三点作直线l∥QR、m∥PR、n∥PQ,分别交于点D、E、F,
∵DP∥QR,DQ∥PR,
∴四边形PDQR为平行四边形,
同理可知四边形PQRF、四边形PQER也为平行四边形,
故D、E、F三点为满足条件的M点,
故选C.
8.下列说法不正确的是( )
A.平行四边形对边平行
B.两组对边平行的四边形是平行四边形
C.平行四边形对角相等
D.一组对角相等的四边形是平行四边形
解:
A、正确;
B、正确;
C、正确;
D、一组对角相等而另一组对角不相等的四边形不是平行四边形,故命题错误.
故选D.
9.下列图形中,是中心对称图形的为( )
A.
B.
C.
D.
解:
A、是轴对称图形,不是中心对称图形.故A错误;
B、不是轴对称图形,是中心对称图形.故B正确;
C、是轴对称图形,不是中心对称图形.故C错误;
D、是轴对称图形,不是中心对称图形.故D错误.
故选:
B.
10.如图,四边形ABCD是中心对称图形,对称中心为点O,过点O的直线与AD,BC分别交于E,F,则图中相等的线段有( )
A.3对B.4对C.5对D.6对
解:
如图,连接OA、OB、OC、OD,
∵四边形ABCD是中心对称图形,对称中心为点O,
∴OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,BC=AD,OE=OF,AE=CF,BF=DE,
相等的线段共有5对.
故选C.
二.填空题(共8小题)
11.已知一个多边形的边数恰好是从一个顶点出发的对角线条数的2倍,则这个多边形的边数是 6 ,内角和是 720° .
解:
设此多边形有n条边,由题意,得
n=2(n﹣3),
解得n=6,
(6﹣2)×180°=720°,
故答案为:
6,720°.
12.一个n边形的内角和为1080°,则n= 8 .
解:
(n﹣2)•180°=1080°,
解得n=8.
13.如图,在▱ABCD中,BE平分∠ABC,BC=6,DE=2,则▱ABCD的周长等于 20 .
解:
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AE∥BC,AD=BC,AD=BC,
∴∠AEB=∠EBC,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC,
∴∠ABE=∠AEB,
∴AB=AE,
∴AE+DE=AD=BC=6,
∴AE+2=6,
∴AE=4,
∴AB=CD=4,
∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20,
故答案为:
20.
14.若平行四边形中两个内角的度数比为1:
2,则其中较大的内角是 120 度.
解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠B+∠C=180°,
∵∠B:
∠C=1:
2,
∴∠C=
×180°=120°,
故答案为:
120.
15.在四边形ABCD中,若AB=CD,请你补充一个条件,使四边形ABCD是平行四边形.则你补充的条件是 AB∥CD .(只需填一个你认为正确的条件即可).
解:
补充条件:
AB∥CD;理由如下:
∵AB=CD,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形);
故答案为:
AB∥CD.
16.如图,▱ABCD中,AB、BC长分别为12和24,边AD与BC之间的距离为5,则AB与CD间的距离为 10 .
解:
如图,过点A作AE⊥BC于点E、AF⊥CD于点F.
由题意得,S四边形ABCD=AE×BC=CD×AF,
∴24×5=12×AF,
∴AF=10,即AB与CD间的距离为10.
故答案是:
10.
17.如图,是一个中心对称图形,A为对称中心,若∠C=90°,∠B=30°,AC=1,则BB′的长为 4 .
解:
∵在Rt△ABC中,∠B=30°,AC=1,
∴AB=2AC=2,
根据中心对称的性质得到BB′=2AB=4.
故答案为:
4.
18.用长为4cm的n根火柴可以拼成如图1所示的x个边长都为4cm的平行四边形,还可以拼成如图2所示的2y个边长都为4cm的平行四边形,那么用含x的代数式表示y,得到
.
解:
依题意,由图1可知:
一个平行四边形有4条边,两个平行四边形有4+3条边,
∴m=1+3x,
由图2可知:
一组图形有7条边,两组图形有7+5条边,
∴m=2+5y,
得1+3x=3y+2(y+1),
整理,得y=
x﹣
,
故答案为:
y=
x﹣
.
三.解答题(共6小题)
19.在▱ABCD中,∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E,BH⊥EC于点H,求证:
CH=EH.
证明:
∵在□ABCD中,BE∥CD,
∴∠E=∠2,
∵CE平分∠BCD,
∴∠1=∠2,
∴∠1=∠E,
∴BE=BC,
又∵BH⊥BC,
∴CH=EH(三线合一).
20.嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的,她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD,并写出了如下不完整的已知和求证.
已知:
如图1,在四边形ABCD中,BC=AD,AB= CD
求证:
四边形ABCD是 平行 四边形.
(1)在方框中填空,以补全已知和求证;
(2)按嘉淇的想法写出证明;
(3)用文字叙述所证命题的逆命题为 平行四边形两组对边分别相等 .
解:
(1)已知:
如图1,在四边形ABCD中,BC=AD,AB=CD
求证:
四边形ABCD是平行四边形.
(2)证明:
连接BD,
在△ABD和△CDB中,
,
∴△ABD≌△CDB(SSS),
∴∠ADB=∠DBC,∠ABD=∠CDB,
∴AB∥CD,AD∥CB,
∴四边形ABCD是平行四边形;
(2)用文字叙述所证命题的逆命题为:
平行四边形两组对边分别相等.
21.如图,将▱ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,折痕l交CD边于点E,连接BE.
(1)求证:
四边形BCED′是平行四边形;
(2)若BE平分∠ABC,求证:
AB2=AE2+BE2.
证明:
(1)∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,
∴∠DAE=∠D′AE,∠DEA=∠D′EA,∠D=∠AD′E,
∵DE∥AD′,
∴∠DEA=∠EAD′,
∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA,
∴∠DAD′=∠DED′,
∴四边形DAD′E是平行四边形,
∴DE=AD′,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB
DC,
∴CE
D′B,
∴四边形BCED′是平行四边形;
(2)∵BE平分∠ABC,
∴∠CBE=∠EBA,
∵AD∥BC,
∴∠DAB+∠CBA=180°,
∵∠DAE=∠BAE,
∴∠EAB+∠EBA=90°,
∴∠AEB=90°,
∴AB2=AE2+BE2.
22.如图,四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,AD=1,BC=3,E是边CD的中点,连接BE并延长与AD的延长线相交于点F.
(1)求证:
四边形BDFC是平行四边形;
(2)若△BCD是等腰三角形,求四边形BDFC的面积.
(1)证明:
∵∠A=∠ABC=90°,
∴BC∥AD,
∴∠CBE=∠DFE,
在△BEC与△FED中,
,
∴△BEC≌△FED,
∴BE=FE,
又∵E是边CD的中点,
∴CE=DE,
∴四边形BDFC是平行四边形;
(2)①BC=BD=3时,由勾股定理得,AB=
=
=2
,
所以,四边形BDFC的面积=3×2
=6
;
②BC=CD=3时,过点C作CG⊥AF于G,则四边形AGCB是矩形,
所以,AG=BC=3,
所以,DG=AG﹣AD=3﹣1=2,
由勾股定理得,CG=
=
=
,
所以,四边形BDFC的面积=3×
=3
;
③BD=CD时,BC边上的中线应该与BC垂直,从而得到BC=2AD=2,矛盾,此时不成立;
综上所述,四边形BDFC的面积是6
或3
.
23.如图,在▱ABCD中,点E,F分别在AB,DC上,且ED⊥DB,FB⊥BD.
(1)求证:
△AED≌△CFB;
(2)若∠A=30°,∠DEB=45°,求证:
DA=DF.
证明:
(1)∵平行四边形ABCD,
∴AD=CB,∠A=∠C,AD∥CB,
∴∠ADB=∠CBD,
∵ED⊥DB,FB⊥BD,
∴∠EDB=∠FBD=90°,
∴∠ADE=∠CBF,
在△AED和△CFB中,
,
∴△AED≌△CFB(ASA);
(2)作DH⊥AB,垂足为H,
在Rt△ADH中,∠A=30°,
∴AD=2DH,
在Rt△DEB中,∠DEB=45°,
∴EB=2DH,
∴四边形EBFD为平行四边形,
∴FD=EB,
∴DA=DF.
24.已知在四边形ABCD中,∠A=x,∠C=y,(0°<x<180°,0°<y<180°).
(1)∠ABC+∠ADC= 360°﹣x﹣y (用含x、y的代数式表示);
(2)如图1,若x=y=90°,DE平分∠ADC,BF平分与∠ABC相邻的外角,请写出DE与BF的位置关系,并说明理由.
(3)如图2,∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角,
①当x<y时,若x+y=140°,∠DFB=30°试求x、y.
②小明在作图时,发现∠DFB不一定存在,请直接指出x、y满足什么条件时,∠DFB不存在.
解:
(1)∠ABC+∠ADC=360°﹣x﹣y;
故答案为:
360°﹣x﹣y;
(2)如图1,延长DE交BF于G
∵DE平分∠ADC,BF平分∠MBC,
∴∠CDE=
∠ADC,∠CBF=
∠CBM,
又∵∠CBM=180°﹣∠ABC=180°﹣(180°﹣∠ADC)=∠ADC,
∴∠CDE=∠CBF,
又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE,
∴∠BGE=∠C=90°,
∴DG⊥BF(即DE⊥BF);
(3)①由
(1)得:
∠CDN+∠CBM=x+y,
∵BF、DF分别平分∠CBM、∠CDN,
∴∠CDF+∠CBF=
(x+y),
如图2,连接DB,则∠CBD+∠CDB=180°﹣y,
得∠FBD+∠FDB=180°﹣y+
(x+y)=180°﹣
y+
x,
∴∠DFB=
y﹣
x=30°,
解方程组:
,
解得:
;
②当x=y时,DC∥BF,此时∠DFB=0,故x、y满足x=y时,∠DFB不存在.
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