三年高考文真题分类专题09三角恒等变换与求值.docx

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三年高考文真题分类专题09三角恒等变换与求值

考纲解读明方向

考点

内容解读

要求

高考示例

常考题型

预测热度

1、两角和与差

三角函数公式

（1）两角和与差三角函数公式

①会用向量数量积推导出两角差余弦公式;

②能利用两角差余弦公式导出两角差正弦、正切公式;

③能利用两角差余弦公式导出两角和正弦、余弦、正切公式,导出二倍角正弦、余弦、正切公式,了解它们内在联系、

（2）简单三角恒等变换

能运用上述公式进行简单恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆）

掌握

2017江苏,5;

2016江苏,15;

2015课标Ⅰ,2;

2014课标Ⅱ,14

选择题

填空题

解答题

★★★

2、二倍角公式

掌握

2016浙江,10;

2016课标全国Ⅱ,9;

2016四川,11

选择题

填空题

解答题

★★★

分析解读：

1、掌握两角和与差正弦、余弦、正切公式及二倍角正弦、余弦、正切公式,了解它们内在联系、

2、备考时,应做到灵活掌握各公式正用、逆用、变形用等、

3、三角恒等变换是三角变换工具,主要考查利用两角和与差三角公式、二倍角公式进行三角函数化简与求值,可单独考查,也可与三角函数知识综合考查,分值为5分或12分,为中低档题、

考点

内容解读

要求

高考示例

常考题型

预测热度

三角函数概念、同角三角函数基本关系式和诱导公式

①了解任意角概念和弧度制概念;

②能进行弧度与角度互化;

③理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）定义;

④理解同角三角函数基本关系式:

sin2x+cos2x=1,=tanx;

⑤能利用单位圆中三角函数线推导出±α,π±α正弦、余弦、正切诱导公式

理解

2017北京,12;

2016课标全国Ⅲ,5;

2015广东,16;

2014四川,13;

2014大纲全国,3

选择题

填空题

★★★

分析解读

1、了解任意角、弧度制概念,能正确进行弧度与角度互化、

2、会判断三角函数值符号;理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）定义、

3、能利用单位圆中三角函数线推导出±α,π±α正弦、余弦、正切诱导公式,会用三角函数线解决相关问题、

4、理解同角三角函数基本关系式:

sin2x+cos2x=1,=tanx,全面系统地掌握知识来龙去脉,熟悉各知识点之间联系、

5、本节内容在高考中一般融入三角函数求值、化简中,不能单独考查、

2018年高考全景展示

1、【2018年文北京卷】在平面坐标系中，

是圆

上四段弧（如图），点P在其中一段上，角

以O为始边，OP为终边，若

，则P所在圆弧是

A、

B、

C、

D、

【答案】C

A选项：

当点

在

上时，

，

，故A选项错误；B选项：

当点

在

上时，

，

，

，故B选项错误；C选项：

当点

在

上时，

，

，

，故C选项正确；D选项：

点

在

上且

在第三象限，

，故D选项错误、综上，故选C、

点睛：

此题考查三角函数定义，解题关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到

所对应三角函数线进行比较、

2．【2018年全国卷Ⅲ文】函数

最小正周期为

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】分析:

将函数

进行化简即可

点睛：

本题主要考查三角函数化简和最小正周期公式，属于中档题

3、【2018年新课标I卷文】已知角

顶点为坐标原点，始边与

轴非负半轴重合，终边上有两点

，

，且

，则

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】分析：

首先根据两点都在角终边上，得到

，利用

，利用倍角公式以及余弦函数定义式，求得

，从而得到

，再结合

，从而得到

，从而确定选项、

详解：

根据题条件，可知

三点共线，从而得到

，因为

，解得

，即

，所以

，故选B、

点睛：

该题考查是有关角终边上点纵坐标差值问题，涉及到知识点有共线点坐标关系，余弦倍角公式，余弦函数定义式，根据题中条件，得到相应等量关系式，从而求得结果、

4．【2018年全国卷II文】已知

，则

__________．

【答案】

【解析】分析：

利用两角差正切公式展开，解方程可得

、

详解：

，解方程得

、

点睛：

本题主要考查学生对于两角和差公式掌握情况，属于简单题型，解决此类问题核心是要公式记忆准确，特殊角三角函数值运算准确、

5．【2018年浙江卷】已知角α顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，它终边过点P（

）．

（Ⅰ）求sin（α+π）值；

（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=

，求cosβ值．

【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）

或

【解析】分析：

（Ⅰ）先根据三角函数定义得

，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得

，再根据同角三角函数关系得

，最后根据

，利用两角差余弦公式求结果、

点睛：

三角函数求值两种类型：

（1）给角求值：

关键是正确选用公式，以便把非特殊角三角函数转化为特殊角三角函数、

（2）给值求值：

关键是找出已知式与待求式之间联系及函数差异、

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式值，以备应用；

②变换待求式，便于将已知式求得函数值代入，从而达到解题目、

6．【2018年文北京卷】已知函数

、

（Ⅰ）求

最小正周期；

（Ⅱ）若

在区间

上最大值为

，求

最小值、

【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】分析：

（1）将

化简整理成

形式，利用公式

可求最小正周期；

（2）根据

，可求

范围，结合函数图像性质，可得参数

取值范围、

点睛：

本题主要考查三角函数有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆准确性，及公式中符号正负、

7．【2018年江苏卷】已知

为锐角，

，

．

（1）求

值；

（2）求

值．

【答案】

（1）

（2）

【解析】分析：

先根据同角三角函数关系得

，再根据二倍角余弦公式得结果；

（2）先根据二倍角正切公式得

，再利用两角差正切公式得结果、

详解：

解：

（1）因为

，

，所以

．因为

，所以

，因此，

．

（2）因为

为锐角，所以

．又因为

，所以

，因此

．因为

，所以

，因此，

．

点睛：

应用三角公式解决问题三个变换角度

（1）变角：

目是沟通题设条件与结论中所涉及角，其手法通常是“配凑”、

（2）变名：

通过变换函数名称达到减少函数种类目，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等、

（3）变式：

根据式子结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待目标，其手法通常有：

“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等、

2017年高考全景展示

1、【2017课标3，文6】函数

最大值为（）

A．

B．1C．

D．

【答案】A

【考点】三角函数性质

【名师点睛】三角恒等变换综合应用主要是将三角变换与三角函数性质相结合，通过变换把函数化为

形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．

2、【2017课标3，文4】已知

，则

=（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】

、

所以选A、

【考点】二倍角正弦公式

【名师点睛】应用三角公式解决问题三个变换角度

（1）变角：

目是沟通题设条件与结论中所涉及角，其手法通常是“配凑”、

（2）变名：

通过变换函数名称达到减少函数种类目，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等、

（3）变式：

根据式子结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待目标，其手法通常有：

“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等、

3、【2017山东，文4】已知

则

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】

试题分析：

由

得

故选D、

【考点】二倍角公式

【名师点睛】

（1）三角函数式化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．

（2）三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间联系（和、差、倍、互余、互补等）,寻找式子和三角函数公式之间共同点．

4、【2017江苏，5】若

则

、

【答案】

【考点】两角和正切公式

【名师点睛】三角函数求值三种类型

（1）给角求值：

关键是正确选用公式，以便把非特殊角三角函数转化为特殊角三角函数、

（2）给值求值：

关键是找出已知式与待求式之间联系及函数差异、

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式值，以备应用；

②变换待求式，便于将已知式求得函数值代入，从而达到解题目、

（3）给值求角：

实质是转化为“给值求值”，先求角某一函数值，再求角范围，确定角、

5、【2017课标1，文15】已知

，tanα=2，则

=__________．

【答案】

【解析】

试题分析：

由

得

又

所以

因为

所以

因为

所以

【考点】三角函数求值

【名师点睛】三角函数求值三种类型

（1）给角求值：

关键是正确选用公式，以便把非特殊角三角函数转化为特殊角三角函数．

（2）给值求值：

关键是找出已知式与待求式之间联系及函数差异．

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式值，以备应用；

②变换待求式，便于将已知式求得函数值代入，从而达到解题目．

（3）给值求角：

实质是转化为“给值求值”，先求角某一函数值，再求角范围，确定角．

6、【2017北京，文16】已知函数

、

（I）f（x）最小正周期；

（II）求证：

当

时，

．

【答案】（Ⅰ）

；（Ⅱ）详见解析、

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）首先根据两角差余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为

，根据公式

求周期；（Ⅱ）当

时，先求

范围再求函数最小值、

（Ⅱ）因为

，

所以

、

所以

、

所以当

时，

、

【考点】1、三角函数性质；2、三角恒等变换、

【名师点睛】本题考查三角函数式恒等变形及三角函数图象与性质，本题属于基础题，要求准确应用降幂公式和辅助角公式进行变形，化为标准

形式，借助正弦函数性质去求函数周期、最值等，但要注意函数定义域，求最值要给出自变量取值、

2016年高考全景展示

1、【2016高考新课标2文数】函数

最大值为（）

（A）4（B）5（C）6（D）7

【答案】B

【解析】

考点：

正弦函数性质、二次函数性质、

【名师点睛】求解本题易出现错误是认为当

时，函数

取得最大值、

2、[2016高考新课标Ⅲ文数]若

，则

（）

（A）

（B）

（C）

（D）

【答案】D

【解析】

试题分析：

．

考点：

1、同角三角函数间基本关系；2、二倍角．

【方法点拨】三角函数求值：

①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间联系．

3、【2016高考新课标1文数】已知θ是第四象限角,且sin（θ+

）=

则tan（θ–

）=、

【答案】

【解析】

试题分析：

由题意

因为

所以

从而

因此

．故填

．

考点：

三角变换

4、【2016高考浙江文数】已知

，则

______，

______．

【答案】

；1．

【解析】

考点：

三角恒等变换、

【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简

，再用辅助角公式化简

，进而对照

可得

和

．

5、【2016高考四川文科】

=、

【答案】

【解析】

试题分析：

由三角函数诱导公式

、

考点：

三角函数诱导公式

【名师点睛】本题也可以看作是一个来自于课本题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数求值问题一般都是通过三角函数公式把函数化为特殊角三角函数值而求解．

6、【2016高考北京文数】（本小题13分）

已知函数

最小正周期为

、

（1）求

值；

（2）求

单调递增区间、

【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）

（

）．

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）运用两角和正弦公式对

化简整理，由周期公式求

值；

（Ⅱ）根据函数

单调递增区间对应求解即可、

考点：

两角和正弦公式、周期公式、三角函数单调性、

【名师点睛】三角函数单调性：

1、三角函数单调区间确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．关于复合函数单调性求法；2利用三角函数单调性比较两个同名三角函数值大小，必须先看两角是否同属于这一函数同一单调区间内，不属于，可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法（例如与0比较，与1比较等）求解．