届高三二轮微专题讲义导数之端点效应洛必达法则.docx
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届高三二轮微专题讲义导数之端点效应洛必达法则
端点效应洛必达法则
洛必达法制:
若函数/(X)和函数g(x)满足:
二当兀TQ时,函数/⑴和g(x)趋于0:
二在点d的去心临域内,f(X)与g(x)存在且g(X)H0;
二lim=
例如:
当x>0时,求二二的值.
X
X_1X
解:
由洛必达法制可知Um=lim—=1
YT()XA-M)1
典例1.若对于任意的x>0,都有ex-\>ax恒成立,求。
的取值范围.
典例2、若对于任意的x>0,都有ex>\+x+ax2恒成立,求d的取值范耐
典例3、已知函数f{x)=a]nx+-,aeR.若对于任意的%>1,都有/(对>1恒成立,求。
的取值范围.x
典例4.已知函数f(x)=x2\nx-x+\9若对于任意的x>\.都有/(x)>/n(x-l)2恒成立,求川的取值范围.
好题精选
1、(全国新课标理)已知函数=+当x>0,且XH1时,/«>—+-,求比的取值范
x+\Xx-1X
2、(个人原创)已知函数f{x)=x3+ax2+bx+a2,当a1时,若Vxe(—8,0),都有f(x) 立,求方的取值范围. 3、若不等式sinx>x-av'对于xe(O,—)恒成立,求"的取值范用.2 r 4、设函数/(x)=l-严.设当xno时,/(x)<^—,求d的取值范围.ax+\ 5、(2010年全国新课标理)设函数/(x)=/—1—x—q2,若当jvno时/(x)>0>求"的取值范围. If 6、设函数f(x)= w・如果对任何x^O,都有f(x)<,求〃的取值范围 2+cosx 好题精选参考答案 1.(全国新课标理)已知函数=+当x>0,且xHl时,/«>—+-,求比的取值范 x+lXx-1X 围. 思路: 根据已知条件,易分离出参数k,然后对分离出的函数g(x)求导,研究其单性,并求出g(x)的最值,但解答中发现g(x)在处无意义,无法求出g(x)的最值,此时便可以借助洛必达法则出其极限值 解答;(由题设可得,当X>O,XH1时,kvM{+l恒成立。 易知F(x)=21nx+1—A在(o,g)上为增函数,且T(l)=0: 故当xe(0,1)时,〃"(x)v0,当xeX (b+s)时,力 //(X)在(0,1)上为减函数,在(l,+oo)上为增函数;故^(%)>^ (1)=0 力(兀)在(0,炖)上为增函数 •••力⑴=0 .••当xe(0J)时,/? (%)<0,当xw(1,+8)时,/? (%)>0 ••当xe(OJ)时,g'(x)vO,当xw(1,+s)时,丈(x)>0 ・・・g(x)在(0,1)上为减函数,在(l.+co)上为增函数 ・・•由洛必达法则知 1+Inx —2x +l=2x|--|+l=0 I2) XInY 出g(x)=2悝匚尹+1=2忸 ••&S0.即k的取值范围为(・s,0] 2(个人原创〉已知函数/(x)=x3+ax2+bx+a2,当“=一1时,若Vxw(y>,0),都有f(x) 思路: 根据已知条件,易分离出参数b,然后对分离出的函数g(x)求导,研究其单性,并求出g(x)的最 值,但解答中发现gW在x=0处无意义,无法求出g(x)的最值,此时便可以借助洛必达法则出其极限值 Z? r—r? +r*—1 解答: 当xvO时,x3-x2+bx+\ X 人/\w'_.1,+人・-_1..、(牙_l)(e'_2f_牙_1) 令g(x)=则g\x)=; XJT 再令h(x)=ex-2x2一x-1 由hW=小_4x_[得hM(x)=疋_4 •・・当xvO时,/F(x)=/—4vo, /.h\x)=ex-4x-l在(y>,0)单调递减 •・・Vxu(Y),O),h•(%)>h*(0)即,(x)>0 .・•h(x)=/一2/-x-1在(yo,0)单调递增 .•・Vxe(y\0),h(x)? (0)即h(x)<0 ••gyo),gw”*—)>o e'—r3+%2—1 /.g(x)=: 在(yo,0)单调递增 X : .由洛必达法则可得lim丫—'「匚一I=lim(匚一‘一匚一"亠]im"1一“=1 X-M)牙.V—>0%'x->0 /.Vxe(-qc,O),g(x)<1 ex—v34-r2—1 .・•要使bn—-一-一恒成立,只需b>\ X .■-b的取值范用是[1,十切 3、若不等式sinx>A-av'对于xe(O,—)恒成立,求a的取值范用. 2 ■ 【分析】把问题转化为/(x)=X~S;nY<6/在xe(O,兰)恒成立。 需求/•(%)的最大值或最大极限值。 但直.X2 接求很麻烦,故考虑洛必达法则。 ■ 【解析】当xe(O.-)时,原不等式等价于 2x x-sinx3sinx-xcosx-2x 记f(x)=——一>则j(x)= XX id^(x)=3sinx-xcosx-2xt贝ijg\x)=2cosx+xsinx-2 因为g”(x)=vcosx一sinx=cosx(x一tanx), g«)=—xsinxvO,所以g\x)在(0,兰)上单调递减,且g"(x)<0, 2 rrjr 所以g©・)在(0,_)上单调递减•HgG)<0.因此g(JC)在(0,_)上单调递减, 22 且g(x)v0,故广(x)=$£2<0,因此/3=工_严在(0,◎上单调递减. xx2 由洛必达法则有 v一、vx-sinxv1-cosxvsinxvcosx1 limf(x)=lim: ——=lim;—=lim=lim=— .VT0丿.VT<)x3D32D6xD66 即比xt0时,g(x)->1,即有f(x)<- 66 故aX—时,不等式sinx>x—ar3对于xe(0,—): 【成立. 62 【评注】通过以上例题的分析,我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足: 二可以分离变戢: ③用导数可以确立分离变呈后一端新函数的单调性: 0oO 二出现丁型叱型式子. Y 4、设函数/(x)=l-严.设当xno时,/(x)<^—,求d的取值范围.ax+\ 解: 由题设x>0,此时f(x)>0 ]xX ①当GV0时,若x>--.则—<0,/(x)<^—不成立; aax+1ax+\ xx ®'puz>0时,当x>0时,/(%)<—一,BP1-^X<—一: ax+\ov+1 若x=0•则awR: xU1xex一R+1 若x>0・贝ijl-^x<——价于Us」一,即t/<-一. or+1xax+\xex一x .xex—ex+\e^x—x2ex—2ex+1exx步“、 记g(x)=——;,则g(a)=———__-——二__(e一广一2+e). xe-a(xe_x)・(xe-xy 记hM=ex-x2-2+e^\则h\x)=ex-2x-e^x,h\x)=ex+e^x-2>0. 因此,h\x)=ex-2x-e~x在(0,+s)上单调递增,且/? '(0)=0,所以h\x)>0, 即加x)在(0,+s)上单调递增,且/? (0)=0,所以h(x)>0. 因此gXx)=一匚一h(x)>0•所以g(x)在(0,+O0)上单调递增• 由洛必达法则有 limg(x)=lim严—5=lim一—一=lim+"=-,即当开—0时, •35xex-xex+xex-12ex+xex2 即有g(x)>丄,所以a<-.综上所述,a的取值范|1;1是(Y0丄]. 2222 5、(2010年全国新课标理)设函数f(x)=ex-l-x-ax2t若当沦0时/(a)>0,求a的取值范围. 解: 当兀=0时,/(X)=0・对任意实数氐均在/(x)>0; 当x>0时,/(x)>0等价于a 令g(x)=「: J(x>0),则gV)=A<,-2r? -+2,令h(x)=xex-2ex+x+2(x>0),贝UXX h'(x)=xex—ex+i,/? "(%)=xex>0, 知/r(x)在(o,e)上为增函数,/r(x)>/r(o)=o: 知心)在(0,砂)上为增函数,/i(x)>a(o)=o: g'(x)>0,g(x)在(0,乜)I.为増函数. 由洛必达法则知, ⑴T 1X 2X 1-2 Q2X 综上,知a的取值范围为( 【评注】1.不等式恒成立或能成立题口。 能分离参数成a>h(x)或0劲(刃」乩为求方(x)的某个最值(或其极限值)问题。 常规方法不易求得最值或苴极限值(往往多次求导后仍为超越结构)。 可考虑在某个端点或断点处应用洛必达法则求最值(或极限值)。 2•使用洛必达法则时,是对分子、分母分别求导,而不是对它们的商求导,求导之后再求极限得最值。 6、设函数f(x)=Sin'V・如果对任何都有求"的取值范围・ 2+cosx 解: /(%)=‘山八— 2+cosx 若x=0,则awR; cnilsinx‘、sinxrln,、sinx /ix>0,. 2+cosxx(2+cosx)x(2+cosx) 2xcosx—2sinx—sinxcosx+xx2(2+cosx)2 id/? (x)=2xcosx-2sinx-sinxcosx+x, h=2cosx-2xsinx-2cosx-cos2x+\ =-2xsinx一cos2x+1=2sin2x一2xsinx=2sinx(sinx一x) 因此•当xe(0,龙)时,h\x)<0,h(x)在(0,龙)上单调递减,且A(0)=0•故g\x)v0,所以g(x)在(0,n) 上单调递减, 而恤g(x)=limsi"=lim—cos^_=1 NT()dx(2+cosx)d2+cosx-xsinx3 [[[1 另一方而>'Pixw[龙,+°o)时•g(x)=——<—<—<—,[丿、]: 二a>—. x(2+cosx)x兀33
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