《挑战中考数学压轴题精讲解读篇第11版》第一部分1718.docx
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《挑战中考数学压轴题精讲解读篇第11版》第一部分1718
§1.7 因动点产生的相切问题
一、圆与圆的位置关系问题,一般无法先画出比较准确的图形.
解这类问题,一般分三步走,第一步先罗列三要素:
R、r、d,第二步分类列方程,第三步解方程并验根.
第一步在罗列三要素R、r、d的过程中,确定的要素罗列出来以后,不确定的要素要用含有x的式子表示.第二步分类列方程,就是指外切与内切两种情况.
二、直线与圆的位置关系问题,一般也无法先画出比较准确的图形.
解这类问题,一般也分三步走,第一步先罗列两要素:
R和d,第二步列方程,第三步解方程并验根.
第一步在罗列两要素R和d的过程中,确定的要素罗列出来以后,不确定的要素要用含有x的式子表示.第二步列方程,就是根据直线与圆相切时d=R列方程.
如图,直线y=
x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,圆O的半径为1,点C在y轴的正半轴上,如果圆C既与直线AB相切,又与圆O相切,求点C的坐标.
“既……,又……”的双重条件问题,一般先确定一个,再计算另一个.
假设圆C与直线AB相切于点D,设CD=3m,BD=4m,BC=5m,那么点C的坐标为(0,4-5m).
罗列三要素:
对于圆O,r=1;对于圆C,R=3m;圆心距OC=4-5m.
分类列方程:
两圆外切时,4-5m=3m+1;两圆内切时,4-5m=3m-1.
把这个问题再拓展一下,如果点C在y轴上,那么还要考虑点C在y轴负半轴.
相同的是,对于圆O,r=1;对于圆C,R=3m;不同的是,圆心距OC=5m-4.
例34 2016年苏州市中考第27题
如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm.点P从点B出发,沿对角线BD向点D匀速运动,速度为4cm/s,过点P作PQ⊥BD交BC于点Q,以PQ为一边做正方形PQMN,使得点N落在射线PD上.点O从点D出发,沿DC向点C匀速运动,速度为3cm/s,以O为圆心,0.8cm为半径作☉O.点P与点O同时出发,设它们的运动时间为t(单位:
s)
.
(1)如图1,连结DQ,当DQ平分∠BDC时,t的值为 ;
(2)如图2,连结CM,若△CMQ是以CQ为底边的等腰三角形,求t的值;
(3)请你继续进行探究,并解答下列问题:
①证明:
在运动过程中,点O始终在QM所在直线的左侧;
②如图3,在运动过程中,当QM与☉O相切时,求t的值;并判断此时PM与☉O是否也相切?
说明理由.
图1图2图3
请打开几何画板文件名“16苏州27”,拖动点P在BD上运动,可以体验到,点Q与点C重合时运动停止,当☉Q经过C、P两点时,DQ平分∠BDC.当MC=MQ时,CQ=2QH.不能准确体验到,当☉O与QM相切时,PM与☉O是否真的相切.
1.图形中有多个3∶4∶5的直角三角形.
2.先确定☉O与QM相切时的时间t,就可以把此刻所有的线段长都罗列出来.
3.根据面积法分割△MPQ,可以计算点O到PM的距离不等于圆的半径.也可以通过计算证明点O不在∠PMQ的平分线上.
例35 2016年湘潭市中考第26题
如图1,抛物线y=-
x2+mx+n的图象经过点A(2,3),对称轴为直线x=1,一次函数y=kx+b的图象经过点A,交x轴于点P,交抛物线于另一点B,点A、B位于点P的同侧.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若PA∶PB=3∶1,求一次函数的解析式;
(3)在
(2)的条件下,当k>0时,抛物线的对称轴上是否存在点C,使得☉C同时与x轴和直线AP相切,如果存在,请求出点C的坐标,如果不存在,请说明理由.
图1备用图
请打开几何画板文件名“16湘潭26,拖动点P在x轴上运动,可以体验到,PA∶PB=3∶1对应的点B存在四种情况.拖动圆心C在对称轴上运动,可以体验到,☉C同时与x轴和直线AP相切时,圆心C到直线AP的距离等于它到x轴的距离.
1.第
(1)题的解析式中待定两个系数,已知两个条件,列方程(组)就好了.
2.第
(2)题:
把PA∶PB=3∶1转化为A、B两点到x轴的距离之比.
3.第(3)题:
根据半径等于圆心到直线的距离列方程,而半径是圆心到直线AP的距离.
例36 2017年上海市松江区中考模拟第25题
如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,cosB=
BC=3,P是射线AB上的一个动点,以P为圆心、PA为半径的☉P与射线AC的另一个交点为D,直线PD交直线BC于点E.
(1)当PA=1时,求CE的长;
(2)如果点P在边AB上,当☉P与以C为圆心、CE为半径的☉C内切时,求☉P的半径;
(3)设线段BE的中点为Q,射线PQ与☉P相交于点F,点P在运动过程中,当PE∥CF时,求AP的长.
图1备用图备用图
请打开几何画板文件名“17松江25”,拖动点P在射线AB上运动,可以体验到,☉P与☉C只有一次内切的机会,此时点D在AC的延长线上.还可以观察到,PE与CF有两次机会平行.
1.认识本题的情境图很关键,保持PA=PD,PB=PE,PQ垂直平分BE.
2.设AP=5m可以使得计算过程简便一些.
3.第
(2)题:
把☉P与☉C的三要素设法用m表示出来,再根据内切列关于m的方程.
4.第(3)题读懂图形很重要:
由于PF∥DC,当PE∥CF时,四边形PFCD的两组对边分别平行,而且邻边PF与PD是同圆的半径.
例37 2017年上海市长宁区青浦区金山区中考模拟第24题
已知△OAB在直角坐标系中的位置如图所示,点A在第一象限,点B在x轴正半轴上,OA=OB=6,∠AOB=30°.
(1)求点A、B的坐标;
(2)开口向上的抛物线经过点O和点B,设其顶点为E,当△OBE为等腰直角三角形时,求抛物线的解析式;
(3)设半径为2的☉P与直线OA交于M、N两点,已知MN=2
P(m,2)(m>0),求m的值.
请打开几何画板文件名“17长宁青浦金山24”,拖动点P在直线y=2上运动,可以体验到,如果MN=2
那么点P的位置存在两种情况,分居在直线OA两侧.
1.第
(2)题:
设顶点式求抛物线的解析式比较简便.
2.第(3)题的情境下,△PMN是底角为30°的等腰三角形.
§1.8 因动点产生的线段和差问题
线段和差的最值问题,常见的有两类:
第一类问题是“两点之间,线段最短”.
两条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“牛喝水”问题,关键是指出一条对称轴“河流”(如图1).
三条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题,关键是指出两条对称轴“反射镜面”(如图2).
两条线段差的最大值问题,一般根据三角形的两边之差小于第三边,当三点共线时,两条线段差的最大值就是第三边的长.如图3,PA与PB的差的最大值就是AB,此时点P在AB的延长线上,即P'.
解决线段和差的最值问题,有时候求函数的最值更方便,本讲不涉及函数最值问题.
图1图2图3
第二类问题是“两点之间,线段最短”结合“垂线段最短”.
如图4,正方形ABCD的边长为4,AE平分∠BAC交BC于E.点P在AE上,点Q在AB上,那么△BPQ周长的最小值是多少呢?
如果把这个问题看作“牛喝水”问题,AE是河流,但是点Q不确定.
第一步,应用“两点之间,线段最短”.如图5,设点B关于“河流AE”的对称点为F,那么此刻PF+PQ的最小值是线段FQ.
第二步,应用“垂线段最短”.如图6,在点Q运动过程中,FQ的最小值是垂线段FH.
这样,因为点B和河流是确定的,所以点F是确定的,于是垂线段FH也是确定的.
图4图5图6
例38 2016年福州市中考第26题
如图1,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,M是边CD上一点,将△ADM沿直线AM对折,得到△ANM.
(1)当AN平分∠MAB时,求DM的长;
(2)连结BN,当DM=1时,求△ABN的面积;
(3)当射线BN交线段CD于点F时,求DF的最大值.
图1备用图
请打开几何画板文件名“16福州26”,拖动点M在DC边上运动,可以体验到,△MGN∽△NHA.观察DF随DM变化的图象,可以体验到,当F与M重合时,DF取得最大值.
1.第
(1)题中,AM、AN三等分∠DAB.
2.第
(2)题:
过点N作AB的垂线构造两个直角三角形相似,斜边的比为1∶3.
3.第(3)题中的△ABF的面积为定值,如果BF为底边,那么它对应的高的最大值为AN.也就是说,当AN⊥BF时,BF取得最小值.
4.当BF取得最小值时,FC也最小,此时DF最大.
例39 2016年河北省中考第25题
如图,半圆O的直径AB=4,以长为2的弦PQ为直径,向点O方向作半圆M,其中点P在
上且不与点A重合,但点Q可与点B重合.
发现
(1)
的长与
的长之和为定值l,求l;
思考
(2)点M与AB的最大距离为 ,此时点P、A间的距离为 ;
点M与AB的最小距离为 ,此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形的面积为 ;
探究 (3)当半圆M与AB相切时,求
的长.
(注:
结果保留π,cos35°=
cos55°=
)
请打开几何画板文件名“16河北25”,拖动点Q运动,可以体验到,当PQ∥AB时,点M到AB的距离最大,当点Q与点B重合时,距离最小.还可以体验到,半圆M与AB有两次机会相切.
1.△OPQ是边长为2的等边三角形.
2.第
(2)题:
容易想象,但说理不易,好在填空,仔细做对.
3.第(3)题:
设切点N在AO上,解Rt△OPM和Rt△MON,就高兴地发现∠MON的余弦值为
这样备注的条件就用上了.
例40 2016年河南省中考第22题
发现
(1)如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.
填空:
当点A位于 时,线段AC的长取得最大值,且最大值为 (用含a、b的式子表示).
应用
(2)点A为线段BC外一动点,且BC=3,AB=1,如图2所示,分别以AB、AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连结CD、BE.
①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;
②直接写出线段BE长的最大值.
拓展 (3)如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),点P为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°.请直接写出线段AM的最大值及此时点P的坐标.
图1图2图3
请打开几何画板文件名“16河南22”,拖动第1个图中的点A在圆上运动,可以体验到,当点A落在CB的延长线上时,AC最大.拖动第2个图中的点A在圆上运动,可以体验到,当点D落在CB的延长线上时,DC最大,BE也最大.拖动第3个图中的点P在圆上运动,可以体验到,当点N落在BA的延长线上时,NB最大,AM也最大.
1.根据三角形的两边之和大于第三边,如果两边长是确定的,那么第三边总是小于这两边之和的.当三点共线时,第三条线段的长取得最大值或最小值,最大值为这两边之和,最小值为这两边之差.
2.第
(2)题△BCD中,两边BC和BD是确定的,线段DC的最大值就是BC与BD的和.
3.第(3)题模仿第
(2)题,先构造全等三角形.
例41 2016年苏州市中考第28题
如图1,直线l:
y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点,抛物线y=ax2-2ax+a+4(a<0)经过点B.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)已知点M是抛物线上的一个动点,并且点M在第一象限内,连结AM、BM.设点M的横坐标为m,△ABM的面积为S,求S与m的函数表达式,并求出S的最大值;
(3)在
(2)的条件下,当S取得最大值时,动点M相应的位置记为M'.
①写出点M'的坐标;
②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l',当直线l'与直线AM'重合时停止旋转.在旋转过程中,直线l'与线段BM'交于点C.设点B、M'到直线l'的距离分别为d1、d2,当d1+d2最大时,求直线l'旋转的角度(即∠BAC的度数).
图1备用图
请打开几何画板文件名“16苏州28”,拖动点M在抛物线上运动,可以体验到,S随点M变化的图象是开口向下的抛物线的一部分.拖动点C运动,可以体验到,当AC⊥BM'时,d1+d2最大.
1.连结OM“割补”△ABM最简便.
2.根据直角边小于斜边,d1+d2的最大值就是BM',此时AC⊥BM'.
3.当AC⊥BM'时,根据面积法求AC的长,再求∠BAC的余弦值.
例42 2016年宿迁市中考第26题
如图,在平面直角坐标系中,将二次函数y=x2-1的图象M沿x轴翻折,把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度,得到二次函数图象N.
(1)求N的函数表达式;
(2)设点P(m,n)是以点C(1,4)为圆心、1为半径的圆上一动点,二次函数的图象M与x轴相交于A、B两点,求PA2+PB2的最大值;
(3)若一个点的横坐标与纵坐标均为整数,则该点称为整点.求M与N所围成封闭图形内(包括边界)整点的个数.
请打开几何画板文件名“16宿迁26”,拖动点P在圆上运动,观察“平方和随P”变化的运动轨迹,可以体验到,当点P落在线段OC上时,PA2+PB2最小;当点P落在OC的延长线上时,PA2+PB2最大.点击屏幕左下方的按钮“第(3)题”,可以数一数,阴影部分的区域(包括边界)上的整点有25个.
1.抛物线在平移的过程中,二次项系数不变,把平移后的顶点坐标写出来,就可以写出抛物线的顶点式.
2.第(3)题:
分三步,先解方程组,得到交点坐标,确定横坐标的范围;再列表求值,统计每个x对应的整点个数;最后合计一下.
例43 2016年益阳市中考第21题
如图,顶点为A(
1)的抛物线经过坐标原点O,与x轴交于点B.
(1)求抛物线对应的二次函数的表达式;
(2)过B作OA的平行线交y轴于点C,交抛物线于点D,求证:
△OCD≌△OAB;
(3)在x轴上找一点P,使得△PCD的周长最小,求出点P的坐标.
请打开几何画板文件名“16益阳21”,拖动点P在x轴上运动,可以体验到,当点P落在线段DC'上时,PD+PC'最小.
1.由点A的坐标可以得到∠AOB=30°,然后把图形中的30°角都标记出来.
2.求点D的坐标是控制性的一步,由点D的坐标可得∠DOC=30°.
3.第(3)题是典型的“牛喝水”问题,作点C关于x轴的对称点C',那么点P落在DC'上时,PD+PC最小.
例44 2017年德州市中考第23题
如图1,在矩形纸片ABCD中,AB=3cm,AD=5cm,折叠纸片使点B落在AD上的点E处,折痕为PQ.过点E作EF∥AB交PQ于点F,连结BF.
(1)求证:
四边形BFEP为菱形;
(2)当点E在AD边上移动时,折痕的端点P、Q也随之移动.
①当点Q与点C重合时(如图2),求菱形BFEP的边长;
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动,求出点E在边AD上移动的最大距离.
图1图2
请打开几何画板文件名“17德州23”,拖动点E在AD上运动,可以体验到,当点Q与点C重合时,点E运动到最左端;当点P与点A重合时,点E运动到最右端.
1.证明菱形用到典型的“平分+平行”模型.
2.在Rt△APE中用勾股定理求菱形的边长.
例45 2017年广州市中考第24题
如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,△COD关于直线CD的对称图形为△CED.
(1)求证:
四边形OCED是菱形;
(2)连结AE,若AB=6cm,BC=
cm.
①求sin∠EAD的值;
②若点P为线段AE上一动点(不与点A重合),连结OP.一动点Q从点O出发,以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P,再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A,到达点A后停止运动.当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时,求AP的长和点Q走完全程所需要的时间.
请打开几何画板文件名“17广州24”,先拖动点Q'在PM上运动,可以体验到,当点Q'运动到点M时,点Q运动到点A.再拖动点P运动,可以体验到,当OM⊥AM时,OP+PM取得最小值.
1.第
(2)题的两个小问题之间有什么联系呢?
计算sin∠EAD的值等于2∶3之后就会发现,点Q在PA方向上的速度1.5cm/s如果转化为水平方向的速度,就是1cm/s,速度之比为2∶3.
2.第
(2)②求最值,同时用到了两个典型结论:
两点之间线段最短,垂线段最短.
例46 2017年徐州市中考第28题
如图,已知二次函数y=
x2-4的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,☉C的半径为
P为☉C上一动点.
(1)点B、C的坐标分别为 , ;
(2)是否存在点P,使得△PBC为直角三角形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连结PB,若E为PB的中点,连结OE,则OE的最大值= .
请打开几何画板文件名“17徐州28”,拖动点P在☉C上运动,可以体验到,在△OEF中,EF、OF是定值,当点E落在OF的延长线上时,OE取得最大值.
1.第
(2)题的直角三角形PBC通过画图找到目标,通过计算准确定位.
2.第(3)题:
求OE的最大值,设法把OE放置在某个三角形中,三角形的另外两边是定值.已知点E是中点,不由得让我们想到再找一个中点F.BC的中点F既是直角三角形BOC斜边的中点,同时EF又是△BPC的中位线,PC为圆的半径,为定值.
例47 2017年扬州市中考第28题
如图1,已知正方形ABCD的边长为4,点P是AB边上的一个动点,连结CP.过点P作PC的垂线交AD于点E,以PE为边作正方形PEFG,顶点G在线段PC上,对角线EG、PF相交于点O.
(1)若AP=1,则AE= ;
(2)①求证:
点O一定在△APE的外接圆上;
②当点P从点A运动到点B时,点O也随之运动,求点O经过的路径长;
(3)在点P从点A到点B的运动过程中,△APE的外接圆的圆心也随之运动,求该圆心到AB边的距离的最大值.
图1备用图
请打开几何画板文件名“17扬州28”,拖动点P在AB上运动,可以体验到,点O的运动轨迹是一条线段,在∠BAD的平分线上.PE的中点Q的运动轨迹是开口向下的抛物线的一部分.
1.第
(2)题中,PE是两个直角三角形的公共斜边.
2.第(3)题以A为坐标原点建立直角坐标系,设PE的中点Q的坐标为(x,y),先求y关于x的函数关系式,再求y的最大值.
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