高中数学 第一章 123函数的极值与导数练习 新人教B版选修22.docx

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高中数学第一章123函数的极值与导数练习新人教B版选修22

2019-2020年高中数学第一章1.2.3函数的极值与导数练习新人教B版选修2-2

1．下列函数存在极值的是（　　）．

A．y＝

B．y＝x－exC．y＝x3＋x2＋2x－3D．y＝x3

2．函数y＝1＋3x－x3有（　　）．

A．极小值－1，极大值1B．极小值－2，极大值3

C．极小值－2，极大值2D．极小值－1，极大值3

3．函数f（x）的定义域为R，导函数f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）（　　）．

A．无极大值点，有四个极小值点

B．有三个极大值点，两个极小值点

C．有两个极大值点，两个极小值点

D．有四个极大值点，无极小值点

4．函数f（x）＝2x3－6x2－18x＋7（　　）．

A．在x＝－1处取得极大值17，在x＝3处取得极小值－47

B．在x＝－1处取得极小值17，在x＝3处取得极大值－47

C．在x＝－1处取得极小值－17，在x＝3处取得极大值47

D．以上都不对

5．三次函数当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是（　　）．

A．y＝x3＋6x2＋9xB．y＝x3－6x2＋9x

C．y＝x3－6x2－9xD．y＝x3＋6x2－9x

6．设方程x3－3x＝k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是________．

7．已知函数y＝

，当x＝________时取得极大值________；当x＝________时取得极小值________．

8．函数f（x）＝x3＋3ax2＋3（a＋2）x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．

9．函数y＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．

10．求函数f（x）＝x2e－x的极值．

11．已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时函数有极大值3，

（1）求a，b的值；

（2）求函数y的极小值．

12．设函数f（x）＝

x3＋bx2＋cx＋d（a>0），且方程f′（x）－9x＝0的两个根分别为1,4.

（1）当a＝3且曲线y＝f（x）过原点时，求f（x）的解析式；

（2）若f（x）在（－∞，＋∞）内无极值点，求a的取值范围．

1．下列函数存在极值的是（　　）．

A．y＝

B．y＝x－ex

C．y＝x3＋x2＋2x－3D．y＝x3

解析　A中f′（x）＝－

，令f′（x）＝0无解，且f（x）为双曲函数，∴A中函数无极值．B中f′（x）＝1－ex，令f′（x）＝0可得x＝0.当x<0时，f′（x）>0；当x>0时，f′（x）<0.∴y＝f（x）在x＝0处取极大值，f（0）＝－1.C中f′（x）＝3x2＋2x＋2，Δ＝4－24＝－20<0.∴y＝f（x）无极值，D也无极值．故选B.

答案　B

2．函数y＝1＋3x－x3有（　　）．

A．极小值－1，极大值1B．极小值－2，极大值3

C．极小值－2，极大值2D．极小值－1，极大值3

解析　f′（x）＝－3x2＋3，由f′（x）＝0可得x1＝1，x2＝－1.

由极值的判定方法知f（x）的极大值为f

（1）＝3，极小值为f（－1）＝1－3＋1＝－1，故选D.

答案　D

3．函数f（x）的定义域为R，导函数f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）（　　）．

A．无极大值点，有四个极小值点

B．有三个极大值点，两个极小值点

C．有两个极大值点，两个极小值点

D．有四个极大值点，无极小值点

解析　f′（x）的符号由正变负，则f（x0）是极大值，f′（x）的符号由负变正，则f（x0）是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．

答案　C

4．设方程x3－3x＝k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是________．

解析　设f（x）＝x3－3x－k，则f′（x）＝3x2－3.令f′（x）＝0得x＝±1，且f

（1）＝－2－k，f（－1）＝2－k，又f（x）的图象与x轴有3个交点，故

∴－2

答案　（－2,2）

5．已知函数y＝

，当x＝________时取得极大值________；当x＝________时取得极小值________．

解析　y′＝（

）′＝

＝

.y′＞0⇒x＞2，或x＜0;y′＜0⇒0＜x＜2，且x≠1，∴y＝

在x＝0处取得极大值0，在x＝2处取得极小值4.

答案　0　0　2　4

6．求函数f（x）＝x2e－x的极值．

解　函数的定义域为R，f′（x）＝2xe－x＋x2·e－x·（－x）′＝2xe－x－x2·e－x＝x（2－x）e－x.令f′（x）＝0，即x（2－x）·e－x＝0；得x＝0或x＝2.当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

（－∞，0）

0

（0,2）

2

（2，＋∞）

f′（x）

－

0

＋

0

－

f（x）

极小值0

极大值4e－2

因此，当x＝0时，f（x）有极小值，并且极小值为f（0）＝0;当x＝2时，f（x）有极大值，并且极大值为f

（2）＝4e－2＝

.

7．函数f（x）＝2x3－6x2－18x＋7（　　）．

A．在x＝－1处取得极大值17，在x＝3处取得极小值－47

B．在x＝－1处取得极小值17，在x＝3处取得极大值－47

C．在x＝－1处取得极小值－17，在x＝3处取得极大值47

D．以上都不对

解析　f′（x）＝6x2－12x－18，令f′（x）＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

（－∞，－1）

－1

（－1,3）

3

（3，＋∞）

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

极大值

极小值

∴当x＝－1时，f（x）取得极大值，f（－1）＝17；当x＝3时，f（x）取得极小值，f（3）＝－47.

答案　A

8．三次函数当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是（　　）．

A．y＝x3＋6x2＋9xB．y＝x3－6x2＋9x

C．y＝x3－6x2－9xD．y＝x3＋6x2－9x

解析　三次函数过原点，可设f（x）＝x3＋bx2＋cx，则f′（x）＝3x2＋2bx＋c.由题设有

解得b＝－6，c＝9.∴f（x）＝x3－6x2＋9x，f′（x）＝3x2－12x＋9＝3（x－1）（x－3）．当x＝1时，函数f（x）取得极大值4，当x＝3时，函数取得极小值0，满足条件．

答案　B

9．函数f（x）＝x3＋3ax2＋3（a＋2）x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．

解析　∵f′（x）＝3x2＋6ax＋3（a＋2），令3x2＋6ax＋3（a＋2）＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0，∵函数f（x）有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.

答案　（－∞，－1）∪（2，＋∞）

10．函数y＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．

解析　∵y′＝3x2－6，令y′＝0，得x＝±

，当x＜－

或x＞

时，y′＞0；当－

＜x＜

时，y′＜0，∴函数在x＝－

时取得极大值a＋4

，在x＝

时取得极小值a－4

.

答案　a＋4

　a－4

11．已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时函数有极大值3，

（1）求a，b的值；

（2）求函数y的极小值．

解　

（1）y′＝3ax2＋2bx，当x＝1时，y′＝3a＋2b＝0，又y＝a＋b＝3，即

解得

经检验，x＝1是极大值点，符合题意，故a，b的值分别为－6,9.

（2）y＝－6x3＋9x2，y′＝－18x2＋18x，

令y′＝0，得x＝0或x＝1.

∴当x＝0时，函数y取得极小值0.

12．（创新拓展）设函数f（x）＝

x3＋bx2＋cx＋d（a>0），且方程f′（x）－9x＝0的两个根分别为1,4.

（1）当a＝3且曲线y＝f（x）过原点时，求f（x）的解析式；

（2）若f（x）在（－∞，＋∞）内无极值点，求a的取值范围．

解　由f（x）＝

x3＋bx2＋cx＋d，

得f′（x）＝ax2＋2bx＋c.

∵f′（x）－9x＝ax2＋（2b－9）x＋c＝0的两个根

分别为1,4，∴

（*）

（1）当a＝3时，由（*）式得

解得b＝－3，c＝12，又因为曲线y＝f（x）过原点，

所以d＝0，故f（x）＝x3－3x2＋12x.

（2）由于a>0，∵f（x）＝

x3＋bx2＋cx＋d在（－∞，＋∞）内无极值点，

∴f′（x）＝ax2＋2bx＋c≥0在（－∞，＋∞）内恒成立．

由（*）式得2b＝9－5a，c＝4a，

又Δ＝（2b）2－4ac＝9（a－1）（a－9）．解

得a∈[1,9]，即a的取值范围为[1,9]．

2019-2020年高中数学第一章1.2.3空间中的垂直关系

（一）基础过关训练新人教B版必修2

一、基础过关

1．下列命题中正确的个数是（　　）

①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；

②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；

③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；

④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．

A．0B．1C．2D．3

2．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是（　　）

A．垂直且相交B．相交但不一定垂直

C．垂直但不相交D．不垂直也不相交

3．若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为（　　）

①

⇒n⊥α；②

⇒m∥n；

③

⇒m⊥n;④

⇒n⊥α.

A．1B．2C．3D．4

4．如图，

PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B

的任一点，则下列关系不正确的是（　　）

A．PA⊥BC

B．BC⊥平面PAC

C．AC⊥PB

D．PC⊥BC

5．

如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边BC、CD的中点，H是

EF的中点．现沿AE、AF、EF把这个正方形折成一个几何体，使B、

C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是________．（填序号）

①AG⊥平面EFG；②AH⊥平面EFG；

③GF⊥平面AEF；④GH⊥平面AEF.

6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝______.

7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥

平面A1DC.

求证：

（1）MN∥AD1；

（2）M是AB的中点．

8．

如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA

垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PA＝AD.

求证：

（1）CD⊥PD；

（2）EF⊥平面PCD.

二、能力提升

9．

如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的

个数为（　　）

A．4B．3

C．2D．1

10．从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为A，B，C，如果这些斜线与平面成等角，有如下命题：

①△ABC是正三角形；

②垂足是△ABC的内心；

③垂足是△ABC的外心；

④垂足是△ABC的垂心．

其中正确命题的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

11．如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为

AB中点，则图中直角三角形的个数为________．

12．

如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC

和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：

（1）AQ⊥平面SBC；

（2）PQ⊥SC.

三、探究与拓展

13．

如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，

M，N分别是A1B，B1C1的中点．

求证：

MN⊥平面A1BC.

答案

1．B　2.C　3.C　4.C

5．①　

6．90°

7．证明　

（1）∵ADD1A1为正方形，

∴AD1⊥A1D.

又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.

∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.

又∵MN⊥平面A1DC，

∴MN∥AD1.

（2）连接ON，在△A1DC中，

A1O＝OD，A1N＝NC.

∴ON綊

CD綊

AB，

∴ON∥AM.又∵MN∥OA，

∴四边形AMNO为平行四边形，

∴ON＝AM.

∵ON＝

AB，∴AM＝

AB，

∴M是AB的中点．

8．证明　

（1）∵PA⊥底面ABCD，

∴CD⊥PA.

又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，

∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.

（2）取PD的中点G，连接AG，FG.

又∵G、F分别是PD，PC的中点，

∴GF綊

CD，

∴GF綊AE，

∴四边形AEFG是平行四边形，

∴AG∥EF.

∵PA＝AD，G是PD的中点，

∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，

∵CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD.

∴CD⊥AG.∴EF⊥CD.

∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD.

9．A　

10．A　

11．6

12．证明　

（1）∵SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC.

又∵BC⊥AB，SA∩AB＝A，

∴BC⊥平面SAB.又∵AQ⊂平面SAB，

∴BC⊥AQ.

又∵AQ⊥SB，BC∩SB＝B，

∴AQ⊥平面SBC.

（2）∵AQ⊥平面SBC，SC⊂平面SBC，∴AQ⊥SC.

又∵AP⊥SC，AQ∩AP＝A，

∴SC⊥平面APQ.∵PQ⊂平面APQ，∴PQ⊥SC.

13．证明　如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，得BC⊥平面ACC1A1.

连接AC1，则BC⊥AC1.

由已知，可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1.

又BC∩A1C＝C，

所以AC1⊥平面A1BC.

因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，

则点M是AB1的中点．

又点N是B1C1的中点，

则MN是△AB1C1的中位线，

所以MN∥AC1.

故MN⊥平面A1BC.