正余弦函数的图像和性质说课教案.docx
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正余弦函数的图像和性质说课教案
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说课教案:
正弦函数、余弦函数的图像和性质
张剑
本节课“正弦函数、余弦函数的图像和性质”选自实验教材第四章第八节第一课时。
下面我将从四个方面说明本节课的教学设计。
1教材分析
2学情分析
3教学目标
4教学流程
一、教材分析
(1)地位与作用:
本节课是在学生掌握了单位圆中的正弦函数线和诱导公式的基础上进行的,不仅是对前面所学知识应用的考察,也是后续学习正、余弦函数性质的基础。
对函数图像清晰而准确的掌握也为学生在解题实践中提供了有力的工具。
(2)重、难点分析:
重点:
正弦函数、余弦函数的图像形状
难点:
在
时的函数图像
关键:
对五点作图发中五点本质的认识
二、学情分析
(1)知识与技能:
学生已掌握了一些基础函数的图像和性质,并了解一些函数图像的画法。
(2)心理与生理:
高一下学期的学生已经对高中数学体系有了初步认识,且具有了较强的分析、判断、理解能力和一定层次上的交流沟通能力。
三、教学目标
(1)知识与技能目标:
通过研究掌握正弦函数图像及其画法;掌握余弦函数图像;深刻理解五点作图法中五点的本质。
(2)过程与方法:
通过主动思考,主动发现,亲历知识的形成过程,使对正弦函数图像的认知更为深刻
(3)情感态度与价值观:
用联系的观点看待问题,善于类比联想,直观想象,对数形结合有进一步认识,激发学习数学的兴趣,养成良好的数学品质。
四、教学流程
教学环节
教学程序
师生活动
设计意图
知识铺垫
问题引入
问题1:
初中时,我们如何得到一个函数的图像?
问题2:
那么我们用同样的方法能得到
的函数图像吗?
如果能,这样得到的函数图像是准确的吗?
问题3:
我们可以发现取三角函数值的近似值是做图不准确的主要原因,那么通过我们学习过的哪些知识能准确的找到函数值所对应的位置呢?
问题4:
是比值的关
系,我们在哪里还学过这样的比例关系呢?
问答结合
多媒体辅助
从原有知识出发,类比联想,引入问题情景,学生主动参与,积极思考
推导描画图象
1建立直角坐标系,画单位圆
2取角作正弦线
3平移得点
4描画图象
创设探究氛围
诱导启发
探索尝试
自主思考
发现总结
组织交流
多媒体辅助教学
通过对问题的探究,解决问题的尝试亲历知识的形成过程,使该过程得到重视,促进交流、合作
寻找快速作图法
1用这种方法作图准确,但真正画图确较难实现,那么有没有什么办法让我们能快速得到正弦函数的大致图像呢?
大家可以联想一下初中我们是如何画一次函数、二次函数的图像。
2找关键点
3五点作图法
4两种画法的区别
推导正弦函数图象、余弦函数图象
1利用诱导公式和函数周期性推出时的函数图像
2利用诱导公式和正弦函数图像得到余弦函数图像
跟踪练习
提高能力
1观察正弦、余弦函数图像,写出满足下列条件的x区间
(1)
(2)
(3)
(4)
2画出下列函数的简图
(1)
(2)
(3)
(4)
学生自主完成教师指导点拨
多媒体辅助
熟练图象
灵活应用
加深对五点本质的认识
小结
知识层面:
正弦函数图像、余弦函数图像
能力层面:
会画简图、会应用图像
学生小结
教师补充
对本节课所学知识有一个清晰的认识,能抓住重点进行课后复习
布置作业
书后练习
学生课下完成
巩固课上所学知识
培养自主学习能力
板书设计
正弦函数、余弦函数的图象和性质
1正弦函数图像练习:
1
2余弦函数图像2
《双曲线的定义及其标准方程》说课教案
姜萍
各位专家,各位老师:
大家好!
我叫姜萍,来自于牡丹江市第一高级中学。
很高兴能在这里和大家进行交流。
我说课的题目是《双曲线的定义及其标准方程》,内容选自于北师大版《高中数学实验教材》高二下册第九章第二单元第一小节,课时安排为两课时,本课为第一课时。
下面我将从教材分析与处理、教学方法与手段、教学过程与设计、教学设计想法说明四大方面来阐述我的教学设想。
一、教材分析与处理
(一)教材的地位与作用
学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的,双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。
如果双曲线研究的透彻、清楚,那么抛物线的学习就会顺理成章。
所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究,横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。
(二)学生状况分析
学生在学习本节课之前,已掌握了椭圆的定义和标准方程,也曾经尝试过探究式的学习方式,所以说从知识和学习方式上来说学生已具备了自行探索和推导方程的基础。
另外,高二学生思维活跃,敢于表现自己,不喜欢被动地接受别人现成的观点,但同时也缺乏发现问题和提出问题的意识。
根据以上对教材和学生的分析,考虑到学生已有的认知规律,我希望学生能达到以下三个教学目标。
(三)教学目标
1、知识与技能:
理解双曲线的定义并能独立推导标准方程;
2、过程与方法:
通过定义及标准方程的挖掘与探究,使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用,提高学生的观察与探究能力;
3、情感态度与价值观:
通过教师指导下的学生交流探索活动,激发学生的学习兴趣,培养学生用联系的观点认识问题。
(四)教学重点、难点
依据教学目标,根据学生的认知规律,确定本节课的重点为理解和掌握双曲线的定义及其标准方程。
难点为双曲线标准方程的推导。
(五)教材处理
我对教学内容作了一点调整:
教材中是借用细绳画出的双曲线图形,而我改用几何画板画出双
曲线图形。
因为相比之下,几何画板更为形象直观。
通过几何画板,学生不仅可看到双曲线形成的
过程,而且较易看出椭圆与双曲线的联系和区别。
二、教学方法与教学手段
(一)教学方法
著名数学家波利亚认为:
“学习任何东西最好的途径是自己去发现。
”双曲线的定义和标准方程
与椭圆很类似,学生已经有了一些学习椭圆的经验,所以本节课我采用了“启发探究”式的教学方
式,重点突出以下两点:
1、以类比思维作为教学的主线
2、以自主探究作为学生的学习方式
(二)教学手段
采用多媒体辅助教学,体现在用几何画板画双曲线。
但不是单纯用动画给学生看,而是通过动画启发引导学生进行思考,调动学生学习的积极性。
三、教学过程与设计
为达到本节课的教学目标,更好地突出重点,分散难点,我将教学过程分为四个阶段。
(一)知识引入----知识回顾、观察动画、概括定义
在课的开始我设置了这样几个问题,以帮助学生进行知识回顾:
1、椭圆的第一定义是什么?
定义中哪些字非常关键?
2、椭圆的标准方程是什么?
3、如何判断焦点位置?
a、b、c是何种关系?
通过回顾,既检测了学生对前面知识的掌握情况,同时又为下面双曲线的学习做好铺垫。
之后,
告诉学生:
今天要学习一种新的曲线。
打开几何画板,首先通过动画让学生再一次回顾椭圆的生成过
程,然后改变图中的条件,将
距离变大,动画生成一种新的曲线,学生易看出该曲线为双曲线。
双曲线的定义其实就是动点所满足的关系,那么双曲线的定义是什么?
也就是动点所满足的关系是什
么?
这个问题可让学生进行探究。
解决这个问题有两个难点:
一是距离的运算关系的得出;二是运算关系的简化。
在探究中,学生
类比椭圆会想到动点到两定点的距离差为定值,会认为这个定值必是正值,而会忽视距离差为负值的
情况,其实这只能得到双曲线的一支。
对于这种情况,我会采取启发引导,把P从一支移到另一支,
然后让学生再次思考自己得到的关系是否正确。
在引导下,学生会想到动点到两定点的距离差为正值
或正值的相反数。
但这个关系能不能加以简化?
学生这个时候会联想到可利用绝对值进行简化。
这样
就得到了动点所满足的较为精炼的关系,也就是得到了双曲线的定义。
这一设计让学生先形象直观地看到椭圆与双曲线的形成过程,在此基础上,再通过教师的引导,
学生就可在观察思考中一步一步地由感性认识上升到理性认识,最终得到双曲线定义,从而培养了学
生的观察能力及概括能力。
另外,这一设计也在形的方面实现了椭圆与双曲线的比较,也为下面双曲
线定义的挖掘及两种曲线的对比打下基础。
随着双曲线定义的得出,教学进入第二阶段---知识探索
(二)知识探索----定义的挖掘、标准方程的推导、方程的对比
1、定义的挖掘
在这一环节中,我们要认识到定义中的绝对值和两点间距离与常数的大小关系二者对曲线的影响。
首先,我设置了这样两个问题:
(1)类比椭圆寻找双曲线定义中的关键字;
(2)若分别去掉这几个关键字曲线会发生怎样变化?
然后让学生带着问题进行合作探究,教师可适当引导,对于学生难以理解的地方适时给予帮助指导。
虽然学生学习椭圆定义时也接触过类似问题,但双曲线较为复杂,比如:
增加了“绝对值”等等。
学生要独立完成会较为困难,所以采取合作探究。
这个过程既可以加深学生对定义的理解,又让可学生在相互交流中互相启发、激励、共同进步提高,从而培养学生的表达能力和协作能力。
在得出结论后,我又为学生提供了以下题目:
请说出下列方程对应曲线的名称
(3)|
(4)
(5)
(6)
这些题目由浅入深,前面两题学生可由双曲线定义直接认识到动点的几何含义,后四题需根据两点间距离公式及椭圆双曲线定义间接认识到动点的几何含义。
这样设置有了过渡,学生不会觉得跨度很大,处理起来比较顺手。
通过这些题的练习可以加深学生对定义的理解,更重要的这些题目就是学生对自己研究结果的应用。
让学生体验到应用自己探究果实的喜悦,对学生来说是一种激励,一举两得。
2、标准方程的推导
这一环节是本节课的难点,为了突破它,我设置了这样几个问题让其贯穿推导过程以将难点分
解:
(1)回顾椭圆标准方程的推导步骤及方法;
(2)类比椭圆试着推导双曲线的标准方程;
(3)换元处理与椭圆有没有区别?
(4)猜证双曲线焦点在y轴上的标准方程。
然后让学生独立完成推导过程。
这样设置的目的是考虑到由定义求方程,其实就是求轨迹方程的问题,并且双曲线的标准方程推导过程与椭圆十分类似,学生有能力独立完成。
但在化简根式时由于运算量较大,学生可能会出现一些运算错误。
另外,变形时绝大多数学生会想到先移项再平方,少部分学生会直接平方。
若直接平方,就会出现4次方,较为复杂。
如果在实际教学中,有学生提出这种做法,我会让让大家参与分析讨论,看看哪种做法更为简便。
以让学生认识到今后在变形时要考虑清楚不要盲目去做。
整个这个推导过程,不仅提高了学生的变形能力、运算能力,而且也提高学生的分析问题和解决问题的能力。
3、方程的对比
此时,学生接触的方程已比较多,很容易混淆,有必要加以对比。
我引导学生进行以下两组对比:
(1)双曲线方程的两种形式的对比;
(2)椭圆方程与双曲线方程的对比。
对比时会让学生注意方程结构的区别和联系,比如说:
到底是平方差还是平方和。
另外,还要注意椭圆方程和双曲线方程都涉及到的三个量a、b、c它们的区别和联系。
对比后,学生可初步的分清四个标准方程及知道如何判断a、b、c。
之后,我又准备了这样一组题,以检测学生对四个方程的掌握程度。
请说出下列方程所表示曲线的焦点位置及a、b、c的值:
(三)知识应用----例题与巩固练习
1、例题:
首先,我为学生准备了两道例题,例题可由学生讲解,教师指导补充。
例1、已知双曲线焦点的坐标为
,双曲线上一点P到
的距离的差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程。
这道题学生可直接利用定义求标准方程,也可以按求轨迹方程的方法求标准方程,学生不会出现太大问题。
但是要向学生指明,如果某种轨迹适合某种曲线的定义,就不必再用列方程求解,只要利用定义求出常规待定函数即可。
例2、已知双曲线的焦点在y轴上,并且双曲线上两点
的坐标为(3,-4
,(
,求双曲线的标准方程。
这道题可采用待定系数法求标准方程。
本题中双曲线焦点在y轴上,学生在求解过程中很可能会忽视这个条件,易将方程设成焦点在x轴的。
教师可及时加以强调,让学生注意审题,以培养学生紧密的思维和严谨的学习态度。
设置两道题是考虑到他们都来源于教材,而且紧紧围绕双曲线的定义和标准方程,题目典型也有梯度,可使学生初步掌握定义及标准方程的应用。
2、巩固练习
练习是学习活动中不可缺少的环节,通过练习可巩固对知识的理解,在这一环节我为学生准备了三道练习题。
(1)已知双曲线的实轴长为6,焦距为10,则该双曲线的标准方程为()
A、
B、
C、
或
D、
或
第
(1)题是求焦点不确定的双曲线标准方程,学生易忽视焦点在y轴的情况,通过此题的练习可以提醒学生考虑问题要全面。
(2)已知方程
表示双曲线,求m取值范围。
第
(2)题限制条件为m+2和m+1同号,即二者乘积大于0,学生易认为二者均大于0,而忽视了均小于0的情况,因此会丢解,所以通过这道题的练习会提醒学生考虑问题要认真、全面,同时又可加深学生对定义及标准方程的理解。
(3)相距2km的两个哨所A,B都听到远处传来的炮弹爆炸声,已知当时的声速为330m\s,在A哨所听到爆炸声的时间比在B处迟4s。
试判断爆炸点在什么上,并求出曲线的方程。
第(3)题是从生活中提炼出的数学问题,可以加强学生的应用能力及应用意识,以让学生感悟到数学是源于生活,服务于生活的辨证唯物主义观点。
(四)知识小结----知识总结与布置作业
1、知识总结:
(1)双曲线的定义(与椭圆的区别)
(2)标准方程(两种形式)
(3)焦点位置的判断(与椭圆的区别)
(4)a、b、c的关系(与椭圆的区别)(片)
在课的尾声,我让学生对本节课进行了总结。
目的是帮助他们认清这节课的知识结构,培养他们的归纳总结能力。
2、作业:
(1)用表格形式整理双曲线与椭圆的区别和联系
(2)142页第1、2题
(3)(选做)M是双曲线
上一点,
是双曲线的焦点,
,求
的面积。
若使双曲线的方程和角度任意变化,你能得出一般性的结论?
教学内涵是不局限于课堂的,为了帮助学生课下能够继续探索和研究,我设置了几组不同层次的作业,以帮助学生巩固对定义和标准方程的理解,同时可全面照顾到不同层次的学生,激发他们的能动性。
双曲线的定义及其标准方程
一、双曲线的定义三例1:
定义的挖掘
二、双曲线的标准方程例2
1、推导:
2、对比:
板书设计
这样的板书设计目的是为了突出这节课的主要内容和重点,帮助学生理清思绪,起到提纲挈领的作用。
四、教学设计的想法说明:
我在教学过程设计方面注重了三点:
(一)教学过程的着力点放在了如何激发学生的学习动机,培养学生的学习兴趣上,这是唤醒学生主体认识的关键。
(二)教学过程的重点放在了培养学生的创新精神和实践能力上,而把握重点的关键是如何选择好创新精神、实践能力与课堂教学的结合点,这个结合点从学科来说,就是以科学知识为载体,培养学生的创新思维方法;从教师来说就是“思路、教路、学路”三者有机结合的教学过程设计,及其在课堂中的艺术展现;从学生来说,就是亲历、体验、探究、思考和创造性的解决问题的过程,从而在过程中获得逐步发展。
(三)教学过程的基本点放在了夯实基础知识和训练基本技能上,基础知识的教学注重了层次性、针对性。
我在教学理念方面注重了四点:
第一是能动性:
师生互动、生生互动,学生主动参与研究过程。
第二是开放性:
教学过程中关注每个学生的个性发展,尊重每个学生发展的特殊需要,学生的思维开放。
第三是生成性:
在教学过程中,学生的认识和体验不断加深,创造性的火花不断进发,学生的思维资源被开发出来,充分利用。
第四是注重了学生学习方式的转变:
既注重了研究性学习,又注重了接受性学习,教师不把结论告诉学生,而是学生自己在教师指导下自主地发现问题、探究问题获得结论,从而解决问题。
以上就是我对这节课的全部认识,我的说课到此结束,谢谢!
<<数列>>的说课稿
王玉刚
各位专家、评委、老师们:
大家好!
我是牡丹江一中数学教师王玉刚,很高兴参加这次说课活动,这对我来说是一次难得的学习机会,深切的盼望专家和评委对我的说课内容提出宝贵意见。
我说课的内容是<<数列>>的教学,用的教材是人教版高级中学教科书(必修)《数学》第一册(上),教学内容为第106页至第108页,第三章第一节第一课时,适用于高中一年级上学期的学习。
下面我从教材分析、教学目标的确定、教学方法的选择、教学过程的设计及板书设计五个方面来汇报我对这节课的教学设想。
一、教材分析
1、地位和作用
作为<<数列>>的起始课,这节课的成功与否对于全章的学习,乃至整个高中数学的学习都有着重要的意义。
如何遵循教育规律,依照新课程标准的要求,体现新的数学教育理念,是设计本节课的根本原则。
本节课是在学生掌握了函数的性质和图象的基础上进行的,因此,在数列这一章中要让学生认识到数列可看作是定义域为正整数集(或它的有限子集)上的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,不断渗透用函数观点来研究数列,如:
递增、递减、最大项、最小项等。
在这一节课中,要让学生对数列的概念有比较充分的认识,起着承上启下的作用。
2、重、难点分析
《数列》的起始课,是数列这一章的基础,是概念课,总领数列的本质。
根据教材的要求、特点以及学生的实际确定重、难点分别如下:
(1)重点:
数列的概念及其通项公式。
(2)难点:
根据数列的前几项归纳出数列的通项公式。
二、教学目标的确定
根据新课程标准对知识技能传授、过程与方法、情感教育三者统一的要求和教材的特点,结合学生的认知规律和实际情况,确定本节课的教学目标为:
1、知识与技能:
形成并理解数列的概念,尝试探究数列的通项公式,并通过体验数列与函数的比较,加深对数列的认识。
2、过程与方法:
通过学生对数列概念的理解,探究数列的本质。
3、情感态度与价值观:
培养学生认真观察的习惯,培养学生从特殊到一般的归纳能力,提高观察、归纳总结的能力。
三、教学方法的选择
1、教学方法
本节课我采用观察发现、启发引导相结合的教学方法,根据本课教材的特点和学生的实际情况在教学中重点突出如下:
(1)由教材的特点确定以教师引导为辅的教学方法。
数学教学就是数学活动的教学,在整个活动中要展现数学思想方法,根据学生的实际特点,树立以学生发展为本的思想,坚持协同创新原则,本节课采用的教法是在教师的引导下,充分调动学生的学习积极性,发挥学生的主体作用,有效地渗透数学思想方法,发展学生个性品质。
(2)由学生特点确定自主探究式的学习方法。
根据学生自主性和差异性原则,让学生在“观察-思考-概括-应用”的学习过程中,自主参与知识的发生、发展、形成的过程,使学生掌握知识。
在教学中我通过创设问题情境,启发引导学生运用科学的思维方法进行自主探索。
将学生的独立思考、自主探究、交流讨论等探究活动贯穿于课堂活动的全过程,突出学生的主体地位。
2、教学手段
本节课中,除使用常规的教学手段外,我将使用多媒体投影和计算机来辅助教学。
多媒体投影为师生的交流和讨论提供了平台;计算机演示数列图象有助于提高学生的归纳能力和对教材难点的化解。
四、教学过程的设计
为达到本节课的教学目标,我把教学过程分为四个阶段,在知识引入阶段通过游戏引入所要学习的课题;在知识探究阶段,一方面形成相关概念,另一方面探究数列的实质;在知识应用阶段通过对例题的分析探究数列图象的特点,并使学生初步体会数列的通项公式的求解;在学习小结阶段则带领学生对所学的知识和方法进行梳理。
1、知识引入阶段——提出学习课题,明确学习目标
本节课由游戏引入:
给班上5名学生发奖品,第一位同学得一件,往后每一位同学得到的数量均为前一位同学的2倍,问这5位同学分别得了多少件奖品?
让学生写出一组数后,提问如果全班50名学生,那么第50名同学应得多少件奖品?
(让学生思考一会儿,使学生头脑里有一点项与项数的印象,并为后面写数列的通项公式打下伏笔。
)
然后将课本中的例子分别列举,写出一系列数,
(1)
;
(2)1,2,3,4,
,50;
(3)15,5,16,16,28;(4)
(5)12,12,12,
,12;(6)0,-10,-20,30,
并让学生观察这六组例子,思考归纳出它们的共同特点,引出新课。
2、知识探究阶段——形成概念,探究数列的本质
(1)形成概念
首先由上述引入给出有关定义,①数列、项、首项、第n项;②数列的一般形式、第n项表示。
(概念讲解后,我提示学生思考数列与数集的区别:
(ⅰ)有序与无序的区别,(ⅱ)互异性的区别)
数列的定义讲解后,简单指出数列的分类:
①按数列项的个数:
分为有穷数列、无穷数列;②类比函数单调性:
分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数列,并让学生对六组数进行分类练习。
接着,提出引入中第50名学生应得多少件奖品,让学生讨论出项与项数的对应关系,给出数列通项公式定义(如果数列{an}第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式)。
引导学生发现通项公式是数列每一项都符合的式子,这种形式和函数解析式相象,让学生自主探究数列的本质。
(2)探究实质
首先让学生回顾游戏中第几位同学几个奖品,让学生建立起项与项数的关系,再类比函数中x和y之间的关系,启发学生发掘数列的实质,并深入研究数列作为函数的定义域、值域及解析式。
使学生体会到数列的实质:
定义域为正整数集(或它的有限子集)上的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
使学生充分认识到数列中项与项数和函数中函数值与自变量的关系。
3、知识应用阶段
在本阶段的教学中,选用例题的目的是让学生通过实践对数列实质加深理解及初步体会通过有限项猜想通项公式的新思想,以使学生对归纳猜想证明这一数学思想有一个初步的了解。
例1.根据数列
的通项公式,写出前5项,并作出数列图象:
(1)
(2)
对于例一,在讲清数列通项公式与函数解析式关系后,学生不难写出前5项,这里完全由学生解决,学生解完后,我要求学生作出数列的图象,让学生发现数列图象的特点:
数列的图象是由一些孤立的点构成。
例2.写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
(1)1,3,5,7;
(2)
,
,
,
;
(3)
;
对于例2,写数列的通项公式,我先适当给出一些提示,让学生先自己解决,然后再重点讲解。
重点强调以下两点:
①常用的思考方法,如:
分数形式,常将分子、分母分开考虑;符号问题的解决等。
②对于一组数列的通项公式,问题的解答常常不是唯一的。
只要能得出一个使所给的各项都能满足的,最简捷的公式就可以了。
课堂练习:
课本P108 1,2,3,4,由学生板演,学生评讲。
目的是通过层层递进、步步升高的练习题,既循序渐进,又条理清晰地将所有内容巧妙的融合成一个整体,使所有学生均有收获,人人都能掌握最基本的内容,基础扎实、能力较强的学生也有了充分发展和进行创新思维的空间。
4、学习小结阶段——归纳知识方法,布置课后作业
(1)知识、方法小结
在知识层面上我首先引导学生回顾数列及相关概念,并归纳数列的实质及其图象所具有的特点,在此基础上实现通过数列通项公式求其任意一项,并能根据数列的一些相邻项求数列的通项公式。
在方法层面上我将带领学生回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法,对重要的思维方法如:
观察、归纳、类比、猜想等进行强调。
(2)布置课后作业:
课本P110习题3.1中的1(3)(4)(6),2
五、板书设计
数列
一、数列及其概念三、通项公式例题
二、数列的分类
四、数
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- 余弦 函数 图像 性质 教案
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