45《利用三角形全等测距离》习题含详细答案.docx
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45《利用三角形全等测距离》习题含详细答案
《利用三角形全等测距离》习题
一、选择题
1.要测量河两岸相对的两点A、B的距离,先在AB的垂线BF上取两点C、D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使A、C、E在同一条直线上,如图,可以得到△EDC≌△ABC,所以ED=AB,因此测得ED的长就是AB的长,判定△EDC≌△ABC的理由是( )
A.SASB.ASAC.SSSD.HL
2.如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC.将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是∠PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是:
根据仪器结构,可得△ABC≌△ADC,这样就有∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是( )
A.SASB.ASAC.AASD.SSS
3.如图:
要测河岸相对两点A、B间距离,先从B出发与AB成90°角方向,向前走50米到C立一根标杆,然后方向不变继续朝前走50米到D处,在D处转90°沿DE方向走17米,到达E处,使A、C与E在同一直线上,那么测得A、B的距离为17米.这一作法的理论依据是( )
A.SSSB.SASC.ASAD.AAS
4.如图,两条笔直的公路l1、l2相交于点O,公路的旁边建三个加工厂A、B、D,已知AB=AD=5.2km,CB=CD=5km,村庄C到公路l1的距离为4km,则C村到公路l2的距离是( )
A.3kmB.4kmC.5kmD.5.2km
5.如图,小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离,如果△PQO≌△NMO,则只需测出其长度的线段是( )
A.POB.PQC.MOD.MQ
C.∠B=∠C,∠BAD=∠CADD.∠B=∠C,BD=DC
6.如图,将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起,使AA′、BB′能绕着点O自由转动,就做成了一个测量工具,由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB,那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是( )
A.SASB.ASAC.SSSD.AAS
二、填空题
7.如图,A、B两点分别位于一个池塘的两端,点C是AD的中点,也是BE的中点,若DE=20米,则AB= .
8.如图,在东西走向的铁路上有A、B两站(视为直线上的两点)相距36千米,在A、B的正北分别有C、D两个蔬菜基地,其中C到A站的距离为24千米,D到B站的距离为12千米,现要在铁路AB上建一个蔬菜加工厂E,使蔬菜基地C、D到E的距离相等,则E站应建在距A站 千米的地方.
9.“三月三,放风筝”,如图是小明制作的风筝,他根据DE=DF,EH=FH,不用度量,就知道∠DEH=∠DFH,小明是通过全等三角形的识别得到的结论,请问小明用的识别方法是 (用字母表示).
10.如图1所示的折叠凳.图2是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计),其中凳腿AB和CD的长相等,O是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm,则由以上信息可推得CB的长度也为30cm,依据是 .
三、解答题
11.如图,A、B两点分别位于一个假山两边,请你利用全等三角形的知识设计一种测量A、B间距离的方案,并说明其中的道理.
(1)测量方案:
(2)理由:
12.小强为了测量一幢高楼高AB,在旗杆CD与楼之间选定一点P.测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°,测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°,量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等,等于10米,量得旗杆与楼之间距离为DB=36米,小强计算出了楼高,楼高AB是多少米?
13.如图所示,在铁路线CD同侧有两个村庄A,B,它们到铁路线的距离分别是15km和10km,作AC⊥CD,BD⊥CD,垂足分别为C,D,且CD=25,现在要在铁路旁建一个农副产品收购站E,使A,B两村庄到收购站的距离相等,用你学过的知识,通过计算,确定点E的位置.
14.某段河流的两岸是平行的,数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度,他们是这样做的:
①在河流的一条岸边B点,选对岸正对的一棵树A;
②沿河岸直走20m有一树C,继续前行20m到达D处;
③从D处沿河岸垂直的方向行走,当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走;
④测得DE的长为5米.
求:
(1)河的宽度是多少米?
(2)请你证明他们做法的正确性.
15.如图,点D为码头,A,B两个灯塔与码头的距离相等,DA,DB为海岸线.一轮船离开码头,计划沿∠ADB的角平分线航行,在航行途中C点处,测得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等.试问:
轮船航行是否偏离指定航线?
请说明理由.
参考答案
一、选择题
1.答案:
B
解析:
【解答】∵AB⊥BF,DE⊥BF,
∴∠ABC=∠EDC=90°,
在△EDC和△ABC中,
,
∴△EDC≌△ABC(ASA).
故选B.
【分析】结合图形根据三角形全等的判定方法解答.
2.答案:
D
解析:
【解答】在△ADC和△ABC中,
,
∴△ADC≌△ABC(SSS),
∴∠DAC=∠BAC,
即∠QAE=∠PAE.
故选:
D.
【分析】在△ADC和△ABC中,由于AC为公共边,AB=AD,BC=DC,利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC,进而得到∠DAC=∠BAC,即∠QAE=∠PAE.
3.答案:
C
解析:
【解答】∵先从B处出发与AB成90°角方向,
∴∠ABC=90°,
在△ABC和△EDC中,
∴△ABC≌△EDC(ASA),
∴AB=DE,
∵沿DE方向再走17米,到达E处,即DE=17
∴AB=17.
故选:
C.
【分析】根据已知条件求证△ABC≌△EDC,利用其对应边相等的性质即可求得AB.
4.答案:
B
解析:
【解答】连接AC,
在△ADC和△ABC中
,
∴△ADC≌△ABC(SSS),
∴∠DAC=∠BAC,
∴C到l1与C到l2的距离相等,都为4km.
故选:
B.
【分析】利用已知得出△ADC≌△ABC(SSS),进而利用角平分线的性质得出答案.
5.答案:
B
解析:
【解答】要想利用△PQO≌△NMO求得MN的长,只需求得线段PQ的长,
故选:
B.
【分析】利用全等三角形对应边相等可知要想求得MN的长,只需求得其对应边PQ的长,据此可以得到答案.
6.答案:
A
解析:
【解答】∵O是AA′、BB′的中点,
∴AO=A′O,BO=B′O,
在△OAB和△OA′B′中
,
∴△OAB≌△OA′B′(SAS),
故选:
A.
【分析】由O是AA′、BB′的中点,可得AO=A′O,BO=B′O,再有∠AOA′=∠BOB′,可以根据全等三角形的判定方法SAS,判定△OAB≌△OA′B′.
二、填空题
7.答案:
20米
解析:
【解答】∵点C是AD的中点,也是BE的中点,
∴AC=DC,BC=EC,
∵在△ACB和△DCE中,
,
∴△ACB≌△DCE(SAS),
∴DE=AB=20米
【分析】根据题目中的条件可证明△ACB≌△DCE,再根据全等三角形的性质可得AB=DE,进而得到答案.
8.答案:
12
解析:
【解答】设AE=x千米,则BE=(36﹣x)千米,
在Rt△AEC中,CE2=AE2+AC2=x2+242,
在Rt△BED中,DE2=BE2+BD2=(36﹣x)2+122,
∵CE=ED,
∴x2+242=(36﹣x)2+122,解得x=12,
所以E站应建在距A站12千米的地方,能使蔬菜基地C、D到E的距离相等.
【分析】设AE=x千米,则BE=(36﹣x)千米,分别在Rt△AEC和Rt△BED中,利用勾股定理表示出CE和ED,然后通过CE=ED建立方程,解方程即可.
9.答案:
SSS.
解析:
【解答】证明:
∵在△DEH和△DFH中
,
∴△DEH≌△DFH(SSS),
∴∠DEH=∠DFH
【分析】根据题目中的条件DE=DF,EH=FH,再加上公共边DH=DH,可利用SSS证明△DEH≌△DFH,再根据全等三角形的性质可得∠DEH=∠DFH.
10.答案:
全等三角形对应边相等.
解析:
【解答】∵O是AB、CD的中点,
∴OA=OB,OC=OD,
在△AOD和△BOC中,
,
∴△AOD≌△BOC(SAS),
∴CB=AD,
∵AD=30cm,
∴CB=30cm.
所以,依据是全等三角形对应边相等.
【分析】根据中点定义求出OA=OB,OC=OD,然后利用“边角边”证明△AOD和△BOC全等,根据全等三角形对应边相等即可证明.
三、解答题
11.答案:
见解答过程.
解析:
【解答】
(1)测量方案:
先在平地上取一个可直接到达A、B的点C,连接AC、BC,并分别延长AC至E,BC至D,使EC=AC,DC=BC,最后测出DE的距离即为AB的长;
(2)理由:
在△EDC和△ABC中,
,
∴△EDC≌△ABC(SAS),
∴ED=AB(全等三角形对应边相等),
即DE的距离即为AB的长.
【分析】
(1)先在平地上取一个可直接到达A、B的点C,连接AC、BC,并分别延长AC至E,BC至D,使EC=AC,DC=BC,最后测出DE的距离即为AB的长;
(2)利用SAS证明△EDC≌△ABC,根据全等三角形的对应边相等得到ED=AB.
12.答案:
楼高AB是26米.
解析:
【解答】∵∠CPD=36°,∠APB=54°,∠CDP=∠ABP=90°,
∴∠DCP=∠APB=54°,
在△CPD和△PAB中
∵
,
∴△CPD≌△PAB(ASA),
∴DP=AB,
∵DB=36,PB=10,
∴AB=36﹣10=26(m),
答:
楼高AB是26米.
【分析】根据题意可得△CPD≌△PAB(ASA),进而利用AB=DP=DB﹣PB求出即可.
13.答案:
E点在距离C点10km处.
解析:
【解答】设CE=xkm,则DE=(25﹣x)km,
∵AC⊥CD,BD⊥CD,
∴△ACE和△BDE都是直角三角形,
在Rt△ACE中,AE2=152+x2,
在Rt△BDE中,BE2=102+(25﹣x)2,
∵AE=BE,
∴152+x2=102+(25﹣x)2,
解得:
x=10,
∴E点在距离C点10km处
【分析】产品收购站E,使得A、B两村到E站的距离相等,在Rt△DBE和Rt△CAE中,设出CE的长,可将AE和BE的长表示出来,列出等式进行求解.
14.答案:
见解答过程.
解析:
【解答】
(1)解:
河的宽度是5m;
(2)证明:
由作法知,BC=DC,∠ABC=∠EDC=90°,
在Rt△ABC和Rt△EDC中,
,
∴Rt△ABC≌Rt△EDC(ASA),
∴AB=ED,
即他们的做法是正确的.
【分析】
(1)根据全等三角形对应角相等可得AB=DE;
(2)利用“角边角”证明Rt△ABC和Rt△EDC全等,再根据全等三角形对应边相等解答.
15.答案:
此时轮船没有偏离航线.
解析:
【解答】此时轮船没有偏离航线.
理由:
由题意知:
DA=DB,AC=BC,
在△ADC和△BDC中,
,
∴△ADC≌△BDC(SSS),
∴∠ADC=∠BDC,
即DC为∠ADB的角平分线,
∴此时轮船没有偏离航线.
【分析】只要证明轮船与D点的连线平分∠ADB就说明轮船没有偏离航线,也就是证明∠ADC=∠BDC,证角相等,常常通过把角放到两个三角形中,利用题目条件证明这两个三角形全等,从而得出对应角相等.
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