探讨中国古代数学的发展1.docx
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探讨中国古代数学的发展1
探讨中国古代数学的发展
课程:
数学思想史
院系:
数学科学学院
学号:
姓名:
探讨中国古代数学的发展
摘要:
中国是一个有着悠久历史和灿烂文化的文明古国.中国古代的四大发明曾经极大地推动了世界文明的进步.同样,作为中国文化的一个重要组成部分,中国古代数学,由于其自身的历史渊源和独特的发展过程,形成了与西方迥然不同的风格,成为世界数学发展的历史长河中的一支不容忽视的源头。
中国数学的开始发展在先秦时期,到了汉唐时期中国传统数学体系初步形成,宋元时期中国传统数学兴盛,得到全面发展,明清时期中国传统数学显示衰落,后来开始受到西方数学思想的冲击,又开始复苏。
关键词:
中国传统数学,算数,九章算术,算经,中国剩余定理。
目录
目录
探讨中国古代数学的发展1
1.中国古代传统数学的萌芽3
1.1结绳记事……………………………………………………………………………………………………………………….3
1.2规矩的使用……………………………………………………………………………………………………………………3
1.3十进位制计数法,分数的应用及筹算…………………………………………………………………………4
2.中国传统数学体系的形成5
2.1《周髀算经》和勾股定理……………………………………………………………………………………………..5
2.2《九章算术》…………………………………………………………………………………………………………………6
2.3刘徽和祖氏父子…………………………………………………………………………………………………………….8
2.4《算经十书》………………………………………………………………………………………………………………….13
3.中国传统数学的兴盛14
3.1高次方程的数值解法………………………………………………………………………………………………….14
3.2中国剩余定理………………………………………………………………………………………………………………15
3.3“天元术”和“四元术”…………………………………………………………………………………………….15
4.中国传统数学的衰落与复苏16
1.中国古代传统数学的萌芽
中国是一个有着悠久历史和灿烂文化的文明古国.中国古代的四大发明曾经极大地推动了世界文明的进步.同样,作为中国文化的一个重要组成部分,中国古代数学,由于其自身的历史渊源和独特的发展过程,形成了与西方迥然不同的风格,成为世界数学发展的历史长河中的一支不容忽视的源头。
秦始皇统一中国,在华夏大地上建立了第一个封建王朝。
为了加强中央集权统治,统一了法令,度量衡和文字,这些措施在客观上有利于经济文化的发展,从而在先秦时期以前积累的数学知识在秦朝建立之后得到了发展的机会。
中国传统数学开始萌芽。
此时期出现了结绳记事,规矩的使用和十进位制计数法,分数的应用及筹算。
其中十进位制计数法和分数的应用及筹算对现代数学的发展起到了重要的作用。
1.1结绳记事
中国古代记数方法的起源是很早的.据《易•系辞传》称:
“上古结绳而治.”
《易•九家义》明确地解释了这种方法:
“事大,大结其绳;事小,小结其绳.结之多少,随物众寡.”
这种结绳记事的方法是很古老的.据《史记》记载:
“伏羲始画八卦,造书契,以代结绳之治.”
这表明在伏羲这一位中国神话中的人类始祖之前,结绳记事这种方法就十分流行,并且在他的时代已开始用“八卦”和“书契”等方法来代替“结绳记事”了.
1.2规矩的使用
规矩是中国传统的几何工具.至于它们的用途,《周礼》、《荀子》、《淮南子》、《庄子》等古籍都有明确的记载.
“圆者中规,方者中矩.”
说明它们分别用于圆与方的问题.它们的起源也是很早的.据《史记》记载,夏禹在治水时就“左准绳,右规矩,载四时,以开九州,通九道”.甚至在汉武梁祠中还有“伏羲手直矩,女娲手执规”的浮雕像,将这两种工具的最早使用归功于传说中的伏羲与女娲.规与矩的使用,对于后来几何学的产生和发展有着重要的意义,中国传统几何学大部分内容都是围绕圆与勾股形展开的,这与这个人擅长使用规与矩的关系是十分密切的.
1.3十进位制记数法、分数的应用及筹算
在中国第二个奴隶制王朝商代,甲骨文已发展成熟.据对河南安阳发掘的殷墟甲骨文及周代金文的考古证明,中国当时已采用了“十进位置制记数法”,并有十、百、千、万等专用的大数名称.这是对世界数学最伟大的贡献,正如李约瑟博士所指出的那样:
“如果没有这种十进位制,就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了.”怕真正有才能的人不来为君主效力吗?
”齐桓公是否厚待此人不得而知,但这至少从一个侧面说明了在当时九九歌已被人们广泛地应用了。
算筹是中国古代的计算工具.筹即小竹棍或小木棍(也有用骨、金属材料或象牙制成的).从出土的汉代算筹可以知道,这种算筹比我们日常使用的筷子稍短稍细一点,古人就用它来进行计算,相应的一套算法也就称为筹算.从春秋战国时期一直到元代末年,算筹在我国沿用了两千多年.用算筹表示数有纵横两种摆法:
2.中国传统数学体系的形成
从汉代开始,中国的经济文化有了进一步的发展,经济的繁荣给科学的进步提供了物质基础,特别是从秦代开始实施的文字与度量衡的统一、铁器的使用以及大量兴修水利工程和水陆交通的工程,为人们探索大自然的奥秘增强了动力,数学也有了长足的发展.其主要标志是以《九章算术》为代表的中国传统数学体系的形成.
2.1《周髀算经》和勾股定理
比《九章算术》稍早且流传下来的一部重要的著作是《周牌算经》,该书原名《周髀》,大约成书于公元前2世纪的西汉时期,其许多内容甚至可以追溯到西周(公元前11世纪一公元前8世纪).唐代李淳风在为国子监明算科选定教科书时将其列入《算经十书》,并改名为《周碑算经》.严格地讲,它并不是一本数学专著,而是一部介绍“盖天说”宇宙模型的天文学著作,但它包含了相当深刻的数学内容,其主要成就包括分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用.
该书卷首记述了一段精彩的对话:
“昔者周公问予商高曰:
…·古者包牺立周天历度,夫天不可阶而升,地不可得足寸而度,请问数安从出?
商高曰:
数之法,出于圆方.圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一.故折矩以为勾广三,股修四,径隅五.……故禹之所以治天下者,此数之所生也.”
这就是我国有关勾股定理的最早记录.这里叙述了勾股定理的一个特待例.接着,在陈子与荣方的“师生对话”中,借陈子之口又给出了一般的勾股定理:
“求邪至日者,以日下为勾,日高为股.勾股各自乘,并而开方除之,得邪至日.”
如图,即给出公式:
邪至日(弦)=
中国关于勾股定理的证明最早是由三国时期的数学家赵爽给出的,赵爽是中国历史上首次对《周髀》进行认真研究和注释的学者.他的工作主要包括三个方面:
一为文字解释;二为较详细地数学理论推演,三是补图.其中最为精彩的是“勾股圆方图注”.
“按弦图又可以勾、股相乘为朱实二,倍之为朱实四.以勾股之差自相乘,为中黄实.加差实一,亦成弦实.”
2.2《九章算术》
标志着中国传统数学理论体系形成的是《九章算术》的成书.该书的作者和成书年代难以确切地考证,多数学者认为,它成书于西汉末东汉初,即公元1世纪初.中国的数学,经过长期的积累,到西汉时已有很丰富的内容,但这些内容之间缺乏内在的联系,以前人们曾寻求以确定的方式建立某种联系,例如墨家学派曾尝试过用逻辑方法研究数学概念,但没有成功.也许正是这种原因,决定了《九章算术》所特有的处理方式,并形成了中国传统的数学体系。
“方田”是《九章算术》的开卷章,主要论述了各种平面图形的地亩面积算法及分数的运算法则.其中,平面图形有方田(长方形田地)、圭田(三角形田地)、邪(斜)田(直角梯形田地)、箕田(等腰梯形田地)、圆田(圆形田地)、宛田(说法不一,未有定论)、弧田(弓形田地)、环田(圆环或环缺形田地)的面积算法,除宛田、弧田是近似计算方法外,其他各种图形的面积算法都是正确无误的.分数运算法则包括约分术(约分与通分)、合分术(分数加法)、减分术(分数减法)、课分术(两个分数的大小比较)、平分术(求几个分数的算术平均值)、乘分术(分数乘法)、经分术(分数除法)和大广田术(带分数除法),这些算法也都是正确的,且与现今的计算方法在理论上是一致的。
《九章算术》里已经有方程的研究了,“方程”主要研究线性方程组的解法,其基本思想是消元.在解方程组时,将方程组的系数(包括常数)分离出来排成一个数表,相当于现在线性代数中的增广矩阵,然后通过类似于炬阵初等变换的方法消元,这一思想方法在数学发展史上是非常重要的,在西方被称为“高斯消去法”。
如:
上等禾谷三捆,中等禾谷二捆,下等禾谷一捆,共出粮三十九斗;上等禾谷二捆,中等禾谷三捆,下等禾谷一捆,共出粮三十四斗;上等禾谷一捆,中等禾谷二捆,下等禾谷三捆,共出粮二十六斗.问上中下等禾谷每捆出粮各多少?
设上、中、下等禾谷每捆出粮分别为
斗,则有
《九章算术》给出的表示方法相等于下列矩阵
其解法相当于下列图示方法
即上等禾谷每捆出粮
斗,中等禾谷每捆出粮
斗,下等禾谷每捆出粮
斗。
“方程”章的另一个重点就是对负数的概念、运算进行了研究.在解方程的过程中,由于无法回避被减数小于减数的情况出现,故《九章算术》提出了“以正负术入之”,即引入负数及其运算法则:
“正负术曰:
同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之;其异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之.”
即两数相减时,同号则绝对值相减,异号则绝对值相加,正数减零为负数,负数减零为正数;两数相加时,同号则绝对值相加,异号则绝对值相减,正数加零为正数,负数加零为负数.在该书的实际问题中已涉及正负数的乘除运算,但《九章算术》和刘徽注中都没有明确给出其运算法则.关于正负数的定义和表示法,刘徽在“正负术”的注文中给出:
“今两算得失相反,要令正负以名之;正算赤,负算黑,否则以邪正为异.”
即正负是“得失相反”两种情况在数学中的反映;可用红、黑两种颜色的算筹或正、斜排列的两种筹式表示正、负数.这是世界上最早关于正负数应用的记载。
2.3刘徽和祖氏父子
数学史界的一个普遍的观点是,如果离开了刘徽的《九章算术注》去研究《九章算术》,则很难深入理解《九章算术》的精髓.事实上,刘徽的《九章算术注》对于阐发《九章算术》的思想方法,发展《九章算术》的理论,完善《九章算术》的体系,作出了杰出的贡献.在几何方面,刘微的贡献尤为突出,他是具有中国特色的传统几何理论的奠基者.他以别具一格的证明方法对中国古代提出的几何命题予以科学的证明,这些方法包括“图形割补法”、“代数法”、“极限法”以及“无穷小分割法”等等,其中最常用的是图形割补法,这与他提出的“解体以图”的目标是一致的.刘徽对用图很考究,不仅对插图施以颜色,用黄、朱、青三种颜色标出各种不同的图形,而且强调要“按图为位”,使图形与文字互相对照.特别是他为证明立体的体积公式所采用的立体图形割补法尤为出色.
(1)割圆术
《九章算术》“圆田术”给出了圆面积的计算公式:
“半周半径相乘得积步”.
即圆田积步=
(其中C为圆周长,R为圆的半径).可见,在《九章算术》的作者看来,圆与一个长为圆周的一半、高为半径长方形,或以圆周为底边、半径为高的三角形面积相等.为了证明这一公式,刘徽创造了著名的“割圆术”.
刘徽“割圆术”的基本思想是“化圆为方”,并借助于极限的方法.
首先,刘徽以“割圆为六瓠图”来指出古率“径一周三”实际上是六瓠的周长()与直径之比.然后从圆内接正六边形出发,将边数逐次加倍,并逐次计算得到正多边形的周长和面积.
“以六觚(gū)之一面乘半径,因而三之,得十二觚之幂”.
即有
“若又割之,次以十二觚之一面乘半径,因而六之,则得二十四觚之幂”.
即有
若令
如
即是圆除去其内接“十二觚”的小弓形面积总和,这些小弓形面积在割圆术“化圆为方”的过程中是要舍弃的.所以刘徽指出:
“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至不可割,则与圆合体而无所失矣”。
即随着分割的不断细密,
的值不断变小.当分割至“不可割”的极限状态时,内接正多边形与圆重合,
而“无所失”了。
刘微还注意到,如果在圆的内接正
边形的每一边上作一高为“余径”(半径与边心距之差)的矩形,就可得到
这样就不需要计算圆的外切正多边形的面积来得到圆面积的上限和下限了.这一公式可以称之为“刘徽不等式”。
(2)体积理论
《九章算术》“商功”章给出了柱、锥、台体及拟柱体的体积公式,其公式的编排明显地带有某种逻辑顺序.刘徽首先将一个长方体(刘徽称之为立方)剖分,得到了几种基本的几何体,如图
“邪解立方得两堑堵,邪解堑堵,其一为阳马,—为鳖臑.”“不有鳖臑,无以审阳马之数;不有阳马,无以知锥亭之类.功实之主也.”
并指出:
“阳马居二,鳖臑居一,不易之率也.”
(3)球体积讨算
刘徽一生不仅成就卓著,而且品格高尚.在学术研究中,他既不迷信古人,也不自命不凡,而是坚持实事求是,以理服人.如少广章的“开立圆术”给出的球体积(
)计算方法相当于公式
(这里的D为球直径),刘徽对这一公式的正确性产生了怀疑,他娴熟地使用截面法进行了验证,发现内切圆柱的体积(
)与正方体的体积(
)之比为
,在《九章算术》取
的情况下,只有在内切球与圆柱的体积之比也是
时,上述近似公式才成立,而实际上后者是不成立的.为了说明这一点,刘徽又引入了一种新的立体:
以正方体相邻的两个侧面为底分别作两次内切圆柱切割,剔除外部,剩下的内核部分刘微称之为“牟合方盖”(如图4—14中的
).他用截面法证明内切球与“牟合方盖”的体积之比为
,而明显可以看出,“牟合方盖”的体积比圆柱要小,故上述公式是错误的.显然,如果能求出牟合方盖的体积,球的体积就自然可以求出了.但对于牟合方盖的体积如何求出,刘徽百思不得其解,故最后不得不“付之缺疑,以俟能言者”.由此我们可以看出刘徽学术研究中的严谨与谦逊的态度,也许正是这二者的结合,使得刘徽在数学研究方面做出了举世瞩目的成就,给后人留下丰富的文化财富.
图3-1
(4)勾股测量
刘徽不仅注重数学的理论研究,而且也注重数学的实际应用.他在为《九章算术》作注的同时,还实际处理了许多测量问题.他的另一部著作《海岛算经》,就是在测量的具体实践过程中总结而成的关于“测高望远之术”的专著.该书共9问,涉及到的勾股测量方法有重表、累矩、连索以及两望、三望、四望.如第二间:
“今有松生山上,不知高下.立两表,齐高三丈,前后相去五十步,今后表与前表参相直.从前表却行七步四尺,薄地遥望松末,与表端参合.又望松本,入表二尺八寸.复从后表却行八步五尺,荐地逻望松木,亦与表端参合.问松高及山去表各几何?
”
如图4-1,刘徽借助于相似勾股形的比例关系和中国古代的“重差术”得到
图4—15
图4-1
从而有
所以
由此可以看出,《海岛算经》是刘徽对中国古代重差理论的进一步完善,展示了勾股比率和重差测量的演化过程,标志着中算家在测量技术及理论方面所达到的新的高度.
祖氏父子的数学贡献
祖冲之继承了刘徽的思想,其最突出的成就是对圆周率值的推算.《隋书·律历志》记载着他对圆周率的研究成果
由于中国古代习惯使用分数,故祖冲之又给出了圆周率的两个分数值:
密率为
;约率为
.其中密率在欧洲由德国数学家奥托于1573年得到,这比祖冲之要晚1100年之久.密率是一个很好的近似值,如果用它来计算半径为10公里的圆的面积,其误差仅几个平方毫米,可见其精确度是很高的.至于祖冲之是如何得到圆周率的,由于他的著作已经失传,已无从了解了.但大多数人认为,他可能使用的就是刘微的割圆术。
2.4《算经十书》
魏晋时期是中国古代学术研究继春秋战国以后又一个繁荣时期.刘徽注《九章算术》、赵爽注《周髀》及祖氏父子的工作,使中国古代数学在理论研究方面达到了一个新的高度.这一时期的数学著作较多,流传至今的就有《孙子算经》、《张邱建算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《数术记遗》和《夏侯阳算经》等,这些著作大多反映了当时社会各方面的需要,在内容上基本是《九章算术》的沿袭与补充,在编写风格上也大多模仿《九章算术》.这些著作的出现,标志着数学研究的深入和数学教育的普及.
隋唐时期是中国封建社会发展的鼎盛阶段,社会稳定,农业生产发展迅速,使得与生产密切相关的历法、数学又有了长足的进步.从隋代开始,中国有了专门的数学教育机构,在其最高学府——国子监中,设立算学科,专门从事数学教学.唐朝建立以后,在隋的基础上,继续在国子监中设立数学教育机构,他们把数学教育与明经、明法、明书等并列为六科,称作明算科.设有算学博士与算学助教各二人,并招收算学生80人.为了教学的需要,由数学家李淳风等人共同审定并注释了十部算经作为数学教材,这十部著作是《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《夏候阳算经》、《缀术》和《缉古算经》,这就是历史上著名的“算经十书”,其记载了汉唐的数学成就,并成为后人数学教学与研究的重要源泉。
3.中国传统数学的兴盛
这一时期包括宋元两代,即900年至1368年.众所周知,宋代结束了五代十国的封建割据的局面以后,出现了社会稳定、生产发展、经济繁荣的景象,特别是统治者鼓励发展科学技术,同时改革旧的科举制度,极大地推动了科学文化技术的发展.闻名于世的中国古代“四大发明”中的指南针、火药和活字印刷这三大发明就都是在宋代完成并获得广泛的应用的.到了元代,蒙古骑兵占领了欧亚大陆的广大地区,促进了中外交流,印刷术的发展也推动了数学教育与研究,再加上前一时期数学知识的大量积累,诸多因素的汇集,促使中国以算筹为主要工具的传统数学出现了极其辉煌的成就,到达了兴盛时期。
3.1高次方程的数值解法
《九章算术》、《缉古算经》等著作中所载的开平方、开立方方法已具备了解二次、三次方程的雏形.宋代以前,也曾经有人尝试将这种方法推广到解更高次的方程.但目前明确记载并保存下来的应是北宋数学家贾宪创造的“增乘开方法”.
1050年前后,北宋数学家贾宪撰写了一部名为《黄帝九章算术细草》的著作,给出了用“增乘开方”来解形如
的方程的方法,迈出了将传统的开平方、开立方方法推广为求解一般高次方程的重要一步。
“增乘开方法”包括了四种算法:
缩根〔将方根缩小至原来的
而使其仅保留一位整数)、估根(通过试除确定这个整数的数值)、减根(除去这个确定的整数)和倍根(使方根的剩余部分扩大10倍而重现一位整数).在开方过程中,随乘随加、反复迭代,计算减根变换后方程各项系数的方法,具有鲜明的算法特点,这与现代所用的“霍纳算法”已基本一致.
贾宪的“增乘开方法”尽管已经可以用于解高次方程,但贾宪本人却只是单纯地用它来处理开方问题,而且在他以及以前的中国数学家的论述中,由开方引出的方程其系数都是正数.虽然12世纪北宋学者刘益对方程系数必须为正的限制已经有所突破,并在他所著的《议古根源》一书中允许方程的系数为负数,但由于该书的亡失,其方法并没有流传下来.将“增乘开方法”推广到高次方程一般情况的是南宋时期的数学家秦九韶。
3.2中国剩余定理
如前所述,《孙子算经》提出了著名的“孙子问题”,其给出的解法虽然是针对具体问题的,但具有一般性.我们容易推广如下:
如要求一个最小整数
,它被两两互素的
个数
除时,余数分别为
仿照上述方法,首先对每一个
作
然后找一个整数
(这里的
相当于孙子问题解法中的70,21,15),再将
分别
相乘后求和,设为
如果
则
即为所求;如果
则
被
所得的余数即为所求.这就是数论中著名的“剩余定理”.
3.3“天元术“和“四元术”
“天元术”的产生标志着中国传统数学发展到一个新的高度,这就是半符号代数的产生.由于高次方程数值解法的发展,必然引起人们对列方程方法的探求.据研究,这一先进的数学方法产生于12世纪,李冶的《测圆海镜》和《益古演段》是现存最早的系统介绍和研究“天元术”的著作.
李冶(1192—1279)曾中过金朝进士,并担任过地方官.金朝灭亡后,他隐居于今山西、河北一带,一面进行数学研究,
一面收徒讲学.在这期间,他完成了
《测圆海镜》十二卷(1248年)和
《益古演段》三卷(1259年).
在这两部著作中,他对已有的“天元术”进行了改进与简化,其方法是:
首先“立天元一为某某”,这相当于“设
为未知数”,“天元一”就表示未知数.在筹算盘上列天元式,如图4—20所示,先确定未知数一次项系数的位置,在其旁边
置一个“元”(天元)字表示未知数,其余各项按未知数幂次相当于一次项上下递增或递减排列.有时李冶也会在常数项旁置一个“太”(太极)来表示该项.该图相当于方程
.这样就抛弃了那种每一项都要用一个文字来表示的繁琐的方法,形成了一种简捷的固定形式.作为应用,他在《测圆海镜》中利用“天元术”解决了六七百条几何命题的证明,主要是勾股容圆问题.其《益古演段》大都阐述平面图形间的面积关系.
4.中国传统数学的衰落与复苏
从明代起,中国封建社会开始衰落,资本主义因素开始慢慢地萌发了,但由于根深蒂固的封建帝王统治的抑制,使资本主义的幼芽未能顺利得以发展,统治阶级为了维护其统治地位,规定科举制必须采用“八股”文体,使得大批的知识分子“皓首穷经”,而鄙夷天文、数学等专门学问为“奇技淫巧”,加上生产水平低下与数学理论高度发展相脱节的实际状况,致使中国数学由宋元时期的蓬勃发展而突然走向衰落.
一个典型的例子是,明代有两个很有影响的数学家唐顺之和顾应祥,他们在读李冶的《测圆海镜》时,竟然不能理解“天元术”的意义;他们还自作聪明,认为原著中的细草是多此一举,故把它们全部删去,使得后世人们很难理解李冶的原意了.
当然,尽管这一时期数学的许多分支停滞不前,但也并非整个数学科学就没有发展.随着明代手工业经济及航海贸易的发展,商业数学倒是异军突起,有了长足的进步.特别是珠算,自宋代提出了改革筹算,到元明之际,珠算盘作为数学计算工具,其应用日益广泛.到了明代中叶,珠算已在全国普及,彻底完成了筹算向珠算的转变.杭州数学家吴敬积20年之功完成了《九章算法比类大全》,该书收集了大量与商业活动有关的计算问题,导致了珠算的进一步发展.16—17世纪有关珠算的书籍很多,其中程大位的《直指算法统宗》是一本比较完备的应用算术书,流传最广,一度几乎户藏一册.由于珠算盘携带方便,拨动自如,并且有口诀相配合,计算迅速准确,是当时世界上最好的计算工具,直至电子计算机高度发展的今天,仍在一些国家广泛使用,这不能不算是当时的一大成就.
明末清初,西方数学虽然受到封建统治阶级的排斥与禁锢,但还是通过传教、经商等途径陆续传入中国.
这一时期以意大利传教士利玛窦来华为起点.1581年,利玛窦以西方近代数学及其他科学知识为敲门砖,踏入中国进行传教活动.他精通汉语,1600年与擅长中国传统数学并对西方数学有强烈兴趣的徐光启相识,便相约共同研究介绍西方科学.1606年,由利玛窦口授,徐光启笔述,翻译了欧几里得《几何原本》前六卷,这是翻译西方数学书籍的开始.利玛窦还和李之藻以同样的方式编译了《同文算指》(1613年),这部书对中国算术影响较大,从此笔算的应用日益普及.
入清以后,由于这种学习西方先进科学文化的方式得到了统治者的默许,各种西方科学知识的译著大量涌现.在数学方面,较著名的是英国传教士伟烈亚力与李善兰合作翻译的《几何原本》后九卷.在较
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