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《公式法》教案
21.2.2 公式法
第1课时 一元二次方程根的判别式
教学内容
一元二次方程根的判别式,即Δ=b2-4ac.
教学目标
1.熟练运用判别式判断一元二次方程根的情况;
2.会根据方程的根的情况确定方程中一个字母系数的取值范围.
教学重难点
1.运用判别式求出符合题意的字母的取值范围;
2.运用判别式判别一元二次方程根的情况.
教学过程
一、教师导学
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,我们知道Δ=b2-4ac.当Δ>0时,方程有两个不等的实数根;Δ=0时,方程有两个相等的实数根;Δ<0时,方程没有实数根,此结论反之也成立.
如果说方程有实数根,切记此时b2-4ac≥0,切勿丢掉等号.
二、合作探究
了解了上述判别规律,我们来进行以下探究:
探究一:
不解一元二次方程,判断根的情况
【例1】不解方程,判断x2-2x+3=0的根的情况.
解:
Δ=b2-4ac=4-4×1×3=-8<0,
∴原方程无实数根.
说明:
解此类题时,一般先要把方程化为一般形式求出Δ,然后对Δ进行计算,使Δ的符号明朗化,进而说明Δ的符号情况,得出结论.
探究二:
根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围
【例2】已知一元二次方程kx2+(2k-1)x+k+2=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
解:
a=k,b=2k-1,c=k+2,
Δ=b2-4ac=(2k-1)2-4k(k+2)=-12k+1
∵方程有两个不相等的实数根,
∴b2-4ac>0,即-12k+1>0,k<
.
∴k<
且k≠0.
说明:
当二次项系数也含有待定的字母时,要注意二次项系数不能为0,还要注意题目中待定字母的取值范围.
探究三:
证明字母系数方程有无实数根
【例3】求证方程x2-(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实数根.
证明:
Δ=[-(m+2)]2-4(2m-1)=m2-4m+8=(m-2)2+4
无论m取何值都有(m-2)2+4>0,即Δ>0.
所以无论m取何值,方程有两个不相等的实数根.
说明:
此类题目要先把方程化成一般形式,再计算出Δ,如果不能直接判断Δ情况,就利有配方法把Δ配成含有完全平方的形式,根据完全平方的非负性,判断Δ的情况,从而证明出方程根的情况.
三、巩固练习
1.不解方程,判别方程
x2-4x+8=0的根的情况;
2.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式为1,求m的值及该方程的根;
3.已知m为非负整数,且关于x的方程(m-2)x2-(2m-3)x+m+2=0有两个实数根,求m的值.
四、总结提升
本节课应掌握:
一元二次方程根的判别式的定义及其运用,为后面学习用公式法解一元二次方程打好基础.
五、布置作业
教材P17习题21.2 4、12、13
第2课时 公式法
教学内容
1.一元二次方程求根公式的推导过程;
2.公式法的概念;
3.利用公式法解一元二次方程.
教学目标
1.知识与技能:
理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程.
2.过程与方法:
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导公式,并应用公式法解一元二次方程.
教学重难点
重点:
求根公式的推导和公式法的应用.
难点:
一元二次方程求根公式法的推导.
教学过程
一、教师导学
(学生活动)用配方法解下列方程
(1)6x2-7x+1=0
(2)4x2-3x=52
老师点评:
(1)移项,得:
6x2-7x=-1;
二次项系数化为1,得:
x2-
x=-
;
配方,得:
x2-
x+(
)2=-
+(
)2;
(x-
)2=
;
x-
=±
;
x1=
+
=
=1;
x2=-
+
=
=
.
(2)略
总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师点评).
(1)移项;
(2)化二次项系数为1;
(3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方;
(4)原方程变形为(x+m)2=n的形式;
(5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解.
二、合作与探究
如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题.
问题:
已知ax2+bx+c=0(a≠0)且b2-4ac≥0,
试推导它的两个根
x1=
,x2=
分析:
因为前面系数是具体数字方程已做得很多,我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.
解:
移项,得:
ax2+bx=-c
二次项系数化为1,得x2+
x=-
;
配方,得:
x2+
x+(
)2=-
+(
)2;
即(x+
)2=
;
∵b2-4ac≥0且4a2>0;
∴
≥0;
直接开平方,得:
x+
=±
;
即x=
;
∴x1=
,x2=
由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定,因此:
(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a、b、c代入式子x=
就得到方程的根.
(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.
【例】用公式法解下列方程.
(x-2)(3x-5)=1
分析:
用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可.
解:
将方程化为一般形式
3x2-11x+9=0;
a=3,b=-11,c=9;
b2-4ac=(-11)2-4×3×9=13>0;
∴x=
=
;
∴x1=
,x2=
三、巩固练习
教材P12 练习1.
(1)、(3)、(5)
四、能力展示
某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)xm2+2+(m-2)x-1=0提出了下列问题.
(1)若使方程为一元二次方程,m是否存在?
若存在,求出m并解此方程.
(2)若使方程为一元一次方程,m是否存在?
若存在,请求出.
你能解决这个问题吗?
五、总结提升
本节课应掌握:
(1)求根公式的概念及其推导过程;
(2)公式法的概念;
(3)应用公式法解一元二次方程;
(4)初步了解一元二次方程根的情况.
六、布置作业
教材P17 习题21.2 5.
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