六大基本初等函数图像及其性质.docx
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六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质
、常值函数(也称常数函数)y二C(其中C为常数);
二、幕函数
1.幕函数的图像
常数函数(yC)
C0
C0
yi
yC
y「
yo
O
x
O
■x
平行于x轴的直线
y轴本身
定义域R
定义域R
2.幕函数的性质;
性质
函数
yx
2
yx
3
yx
yx2
y
1x
定义域
R
R
R
[0,+g)
{x|x
丰0}
值域
R
[0,+g)
R
[0,+g)
{y|y
丰0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
[0,+g)增
增
增
(0,+
g)减
(-g,0]减
(-g,0)减
公共点
(1,1)
1)当a为正整数时,函数的定义域为区间为,他们的图形都经过原点,并当a
>1时在原点处与X
轴相切。
且a为奇数时,图形关于原点对称;a为偶数时图形关于y轴对称;
2)当a为负整数时。
函数的定义域为除去X=0的所有实数;
3)当a为正有理数m时,n为偶数时函数的定义域为(0,+R),n为奇数时函数的定义域为(-
n
g,+g),函数的图形均经过原点和(1,1);
4)如果m>n图形于x轴相切,如果m n为奇数时,定义域为去 5)当a为负有理数时,n为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;除x=0以外的一切实数。 三、指数函数ya(X是自变量,a是常数且a0,a1),定义域是R; [无界函数] 1. 指数函数的图象 2.指数函数的性质; 、'、、性质 函数 yax(a1) yax(0a1) 定义域 R 值域 (0,+g) 奇偶性 非奇非偶 公共点 过点(0,1),即x0时,y1 单调性 在(,)是增函数 在(,)是减函数 当a1时函数为单调增,当0a1时函数为单调减; 不论x为何值,y总是正的,图形在x轴上方; x0时,y1,所以它的图形通过(0,1) 4.指数的运算法则(公式); 1.对数的概念: 如果a(a>0,1)的b次幕等于N,就是abN,那么数b叫做以a为底N的对数, 记作logaNb,其中a叫做对数的底数,N叫做真数,式子logaN叫做对数式。 对数函数yiogax与指数函数yax互为反函数,所以yiogax的图象与讨ax的图象关于直线yx对称。 2.常用对数: log10N的对数叫做常用对数,为了简便,N的常用对数记作lgN。 3.自然对数: 使用以无理数e2.7182为底的对数叫做自然对数,为了简便,N的自然对数logeN简 记作lnN。 4.对数函数的图象: 性质 ylogax ylogax 函数 (a1) (0a1) 定义域 (0,) 值域 R 5.对数函数的性质; 奇偶性 非奇非偶 公共点 过点(1,0),即x 1时,y0 单调性 在(0,+a)上是增函数 在(0,+m)上是减函数 1)对数函数的图形为于y轴的右方,并过点(1,0); 2) 当a1时,在区间(0,1),y的值为负,图形位于x的下方;在区间(1,+),y值为正,图形位于 3) lognbn—logab am d.对数运算性质 (1)1的对数是零,即loga10;同理ln10或lg10 ⑵底数的对数等于1,即logaa1;同理Ine1或lg101 五、三角函数 1.正弦函数ysinx,有界函数,定义域x(,),值域y[1,1] 3 图象: 五点作图法: 0,—,,—,2 22 2.余弦函数ycosx,有界函数,定义域X(,),值域y[1,1] 3 图象: 五点作图法: 0,—,,,2 22 3.正、余弦函数的性质; 性质 函数'、、、 y sinx(k Z) y cosx(kZ) 定义域 R 值域 [-1,1] [-1,1] 奇偶性 奇函数 偶函数 周期性 T2 T2 对称中心 (k,0) (k—,0) 2 对称轴 xk 2 (k-,0) 2 在x 2k —,2k 22 上是增函数 在x 2k 2k上是增函数 单调性 在x 2k 2k3 22 -上疋减函数 在x 2k 2k上是减函数 x2k T时, ymax1 x 2k时,ymax1 最值 2 x2k 匚时,y 2 min1 x 2k 时,ymin1 4.正切函数ytanx,无界函数,定义域xxk-,(kZ),值域y(,) ytanx的图像 6.正、余切函数的性质; 性质 函数 ytanx(kZ) ycotx(kZ) 定义域 xk 2 xk 值域 R R 奇偶性 奇函数 奇函数 周期性 T T 单调性 在(一k,—k)上都是增函数 22 在(k,(k1))上都是减函数 对称中心 kc、 (石,0) k (2° 零点 (k,0) (k一,0) 2 7.正割函数ysecx,无界函数,定义域xx y k—,(kZ),值域sec: 2 1 ysecx的图像 9.正、余割函数的性质; '、性质 函数'\ y secx(k Z) y cscx(k Z) 定义域 x x—k 2 *xk 值域 ( ,1][1, ) ( ,1][1, ) 奇偶性 偶函数 奇函数 周期性 T2 T2 (2k )(2k 2k (2k 2k-) 2 (2k— 2 2k 2)减 单调性 减 (2k 一,2k 2 )(2k 2k (2k 2kI )(2k —,2k 2 )增 增 '函数 对称中心 (k一,0) 2 (k,0) 对称轴 xk x—k 2 渐近线 xk 2 xk 六、反三角函数 1.反正弦函数yarcsinx,无界函数,定义域[-1,1],值域[0,] yarcsinx 2.反余弦弦函数yarccosx,无界函数,定义域[-1,1],值域[0,] b. 反余弦函数的概念: 余弦函数ycosx在区间0,上的反函数称为反余弦函数,记为 3.反正、余弦函数的性质; \性质 函数 yarcsinx yarccosx 定义域 [-1,1] [-1,1] 值域 [0,] [0,] 奇偶性 奇函数 非奇非偶函数 单调性 增函数 减函数 c. 反正切函数的概念: 正切函数ytanx在区间 yarctanx 5.反余切函数yarccotx,有界函数,定义域x( yarccotx的图像 6.反正、余弦函数的性质; 、、、函数 性质 yarctanx yarccotx 定义域 R 值域 2,2 0, 奇偶性 奇函数 非奇非偶 单调性 增函数 减函数 三角函数公式汇总 、任意角的三角函数 在角 的终边上任取一点 P(x,y),记: r x2y2。 正弦: sin y 余弦: x cos r r 正切: tan y 余切: .x cot x y 正割: sec r 余割: r csc— x y 、同角三角函数的基本关系式 倒数关系: sin csc1,cos sec1,tan cot 1 商数关系: tan sin cot cos cos sin 平方关系: sin2 cos2 1,1 .22 tansec ,1cot 2 诱导公式 x轴上的角, 口诀 函数名不变,符号 看象限; y轴上的角, 口诀 : 函数名改变,符号 '看象限。 和角公式和差角公式 sin() sin coscos sin tan() tan tan sin() sin coscos sin 1tan tan cos() cos cossin sin tan() tan tan cos() cos cossin sin 1tan tan 三、 四、 2csc 五、二倍角公式 sin22sin cos tan2 2tan 1tan2 cos2cos2 .2sin 2cos2 1 二倍角的余弦公式常用变形: (规律: 降幕扩角, 12sin2 升幕缩角) 2 cos22sin 1cos22cos2 1sin2(sincos) sin2(sincos) 21cos2.2 cos,sin 1sin2 tan 2 1cos2 sin2 sin2 1cos2 六、三倍角公式 sin3 3sin 4sin3 4sin sin(— 3 )sin(-) cos3 4cos 33cos 4cos cos(— 3 )cos(§) tan3 3tan tan3 tan tan(3 )tan(§) 1 3tan2 七、和差化积公式 八、辅助角公式 asinxbcosx\a2b2sin(x 其中: 角的终边所在的象限与点(a,b)所在的象限相同, 0,0) 周期: T2 周期: T 十、正弦定理 ab sinAsinB sinC 2R(R为ABC外接圆半径) a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2a2b22abcosC
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- 六大 基本 初等 函数 图像 及其 性质