高考数学精英备考专题讲座 第六讲解析几何 第四节解析几何的综合应用 文.docx

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高考数学精英备考专题讲座第六讲解析几何第四节解析几何的综合应用文

2019-2020年高考数学精英备考专题讲座第六讲解析几何第四节解析几何的综合应用文

解析几何是历年高考的热点，每年高考卷上选择题、填空题、解答题都会出现，基本呈现稳定的态势，而且解答题难度较大，综合性强，且经常以压轴题的形式出现，入手容易但计算量大，又与其他知识综合命题，所以成了大部分学生在高考中的心理障碍，是解题时的“鸡肋”．复习时如何突破这块知识点，是我们亟待解决的问题.难度值跨度比较大，在0.3～0.8之间.

考试要求

（1）了解直线、曲线的实际背景；

（2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质；（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其几何性质；（4）了解抛物线的定义、几何图形、标准方程，知道其几何性质；（5）了解圆锥曲线的简单应用；（6）掌握数形结合、等价转化的思想方法.

题型一有关圆知识点的应用

例1、在平面直角坐标系中，设二次函数

的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为

（1）求实数的取值范围；

（2）求圆的方程；

（3）问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？

请证明你的结论.

点拨：

根据二次函数

图象的特点：

开口向上，与轴交点为可以得出b的范围.又由圆是过抛物线与坐标轴三交点的圆和圆的一般方程的特点，可以用来表示圆的一般方程.再由方程的解和曲线方程的定义可以假设圆要过点且不依赖，将该点坐标代入圆的方程中，整理变形，再观察验证圆是否过定点.

解：

（1）令，得抛物线与轴交点是，令，由题意且，解得且.

（2）设所求圆的一般方程为

，令得，它与是同一个方程，故，F=b，令得，此方程有一个根为，代入得所以圆的方程为

.

（3）圆过定点.证明如下：

假设圆过定点（不依赖于）将该点的坐标代入圆的方程,并变形为

，为使式对所有满足的都成立，必须有，结合式解得或经检验知点均在圆上，因此圆过定点..

易错：

（1）中学生很有可能直接解得而没；

（2）中没有意识到令，与是同一个方程没解出，；（3）对方程不知道怎么下手，从而得不出.

变式与引申

1.已知以点为圆心的圆与轴交于点、与轴交于点、，其中为原点.

（1）证明：

的面积为定值；

（2）设直线与圆交于点，，若，求圆的方程.

题型二圆锥曲线的定义及应用

例2：

如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为（）.

（A）（B）（C）（D）

点拨：

利用双曲线的定义及直角三角形面积的两种表示形式，建立方程组再求解.

解：

连AF1，则△AF1F2为直角三角形，且斜边F1F2之长为2c.

令由直角三角形性质知：

，∴.∵，

∴，∴.∵e﹥1，∴取.故选D.

注：

本题若求出点A的坐标，再代入双曲线方程也可求出.

易错点：

（1）正确应用相应曲线的定义至关重要，否则解题思路受阻.

（2）由直角三角形面积的两种表示形式得出关系式是值得注意的问题.

变式与引申

2.双曲线=1（b∈）的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|＜5，|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_________.

题型三圆锥曲线的几何性质

例3、如图所示，从椭圆上一点向轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，且它的长轴端点及短轴端点

的连线

（1）、求椭圆的离心率；

（2）、设是椭圆上任意一点，是右焦点，是左焦点，求的取值范围；

（3）、设是椭圆上任意一点，当时，延长与椭圆交于一点P，若的面积为，求此时椭圆的方程.

点拨：

从着手，寻找、的关系，最后求得离心率；在焦点三角形中，用余弦定理，求得的范围，从而求得的范围；则与椭圆相交，求得弦的长和点到的距离，由的条件求得椭圆方程中的、，从而求得方程.

解：

（1）轴代入椭圆方程

得，.又且，，

故从而

当且仅当时，上式成立.故.

（3）设椭圆方程为

直线的方程为代入椭圆方程，得

.

又点到的距离

由得故.所求椭圆方程为.

（注：

此问亦可用求得）

点评：

本例中第

（1）问是课本题，第

（2）（3）问是该题的引申，像这种源与课本，又有拓宽引申的题常常是高考试题的来源之一，应引起大家的重视，注意掌握好这一类问题.

变式与引申

3.已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为（）

A.B.1C.2D.4

题型四直线与圆锥曲线的关系

【例4】设O为抛物线的顶点，F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦，若|OF|=a，|PQ|=b，求△OPQ的面积.

点拨：

结合抛物线方程的特点，可设方程为y2=4ax（a>0），F（a，0），再运用抛物线的定义，找出、两点横坐标、关系，最后设过方程的直线为（还要注意斜率存在与否的讨论）由

求解即可.

解：

如图8所示，由题意知抛物线的方程为，F

设，由抛物线的定义知：

        所以由

故

设过F的弦的斜率为k，则其方程为

将其与抛物线方程联立知：

ky2－4ay－4a2k=0

若斜率不存在，则其两个交点为（a，2a）与（a，－2a），同样有

      那么

                   因此：

易错：

（1）不会使用焦半径公式而导致运算复杂；

（2）直接设过F的弦的斜率为k，则其方程为后面没有对斜率k是否存在进行讨论.

变式与引申

4．（2011年高考四川卷·文）过点C（0，1）的椭圆的离心

率为，椭圆与x轴交于两点、，过点C的直线l与椭圆交

于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．

（I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；

（Ⅱ）当点P异于点B时，求证：

为定值．

本节主要考察：

（1）基础知识有圆锥曲线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.以及这些知识的综合应用.

（2）基本方法有求圆锥曲线的定义法、待定系数法、相关点法、点差法、设而不求的整体思想以及坐标法和“几何问题代数化”等解析几何的基本方法.（3）基本思想有数形结合思想、方程思想、等价转化思想等.（4）基本能力有逻辑推理能力、运算求解能力、探究创新能力，并尝试考察解决实际问题的能力.

点评：

（1）圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，同时又是热点和压轴点之一，主要考察圆锥曲线的定义与性质，求圆锥曲线的方程，直线与圆锥曲线的位置关系，以圆锥曲线为载体的探索性问题等.

（2）恰当利用圆锥曲线的定义和几何特征，运用数形结合思想，可避免繁琐的推理和运算.

（3）求圆锥曲线主要方法有定义法、待定系数法、相关点法，另外还有直接法、参数法等.

（4）圆锥曲线的性质如范围、对称性、顶点、焦点、离心率、焦半径、焦点三角形、通径等都是高考命题点，它们源于课本，高于课本，应引起重视，注意掌握这类问题的求解方法与策略.如求离心率的大小或范围，只需列出关于基本量a、b、c的一个关系式即可.

（5）求参数的最值或范围问题是圆锥曲线的一种常见问题，主要方法一是根据条件建立含参数的等式，再分离参数求其值域；另一是列出含参数的不等式，进而求之.列不等式的思路有①运用判别式△>0或；②点在圆锥曲线的内部或外部；③利用圆锥曲线的几何意义（如椭圆中-a≤x≤a）；④根据三角形两边之和大于第三边（注意共线情况）等.

（6）充分利用向量的工具作用，运用坐标法，把几何问题变为纯代数问题，体现解析几何的基本思想方法.

（7）运用韦达定理的解题方法是解析几何中解决直线和圆锥曲线问题的核心方法，其解题步骤是“设”（点的坐标，直线、曲线方程）、“联”（联立方程组）、“消”（消去一元，得到一元二次方程）、“用”（运用韦达定理、中点坐标公式、弦长公式等）、“判”（运用判别式检验、求参数的值或缩小参数的取值范围）.

（8）关注解析几何中的探究创新问题，解题思路往往是先假设满足题意，即从承认结论、变结论为条件出发，然后通过归纳，逐步探索待求结论.

（9）适当关注解析几何应用题，它体现圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.标准卷更重视应用意识的考查.

（10）由于对双曲线的要求明显降低，以它作为载体的解析几何大题的可能性已减少，所以解析几何大题的最大可能素材是用坐标法解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题.

练习6-4

1.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（）

A．B．C．D．

2.斜率为1的直线与椭圆相交于两点，则的最大值为（）

A.B．C．D.

3.设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_____________.

4．已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

3

2

4

0

4

（Ⅰ）求的标准方程；

（Ⅱ）请问是否存在直线满足条件：

①过的焦点；②与交不同两点且满足？

若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

5.已知椭圆的右焦点为，离心率为

（Ⅰ）若，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆相交于A，B两点，若

，求的取值范围。

【答案】

变式与引申

圆与直线不相交，不符合题意舍去，圆的方程为.

2.1

提示：

设F1（－c,0）、F2（c,0）、P（x,y）,则|PF1|2+|PF2|2=2（|PO|2+|F1O|2）＜2（52+c2）,

即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2,又∵|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|－|PF2|）2+2|PF1|·|PF2|,

依双曲线定义，有|PF1|－|PF2|=4,依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2

∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜,又∵c2=4+b2＜,∴b2＜,∴b2=1.

3.C

提示：

本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系

法一：

抛物线y2＝2px（p>0）的准线方程为，因为抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，所以

法二：

作图可知，抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切与点（-1,0）

所以

4．解：

（Ⅰ）由已知得，解得，所以椭圆方程为．

椭圆的右焦点为，此时直线的方程为，代入椭圆方程得

，解得，代入直线的方程得，所以，

故

．

（Ⅱ）当直线与轴垂直时与题意不符．

设直线的方程为．代入椭圆方程得．

解得，代入直线的方程得，所以D点的坐标为．

又直线AC的方程为，又直线BD的方程为，联立得

因此，又．所以

．故为定值．

习题6-4

1．D

提示：

对于椭圆，因为，则

2．C

提示：

设直线的方程为，则弦长

.

3.

提示：

利用抛物线的定义结合题设条件可得出p的值为，B点坐标为（）所以点B到抛物线准线的距离为，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题.

（Ⅱ）方法一：

假设存在这样的直线过抛物线焦点，设直线的方程为两交点坐标为，由

消去，得

∴

①

②

由，即，得

将①②代入（*）式，得，解得

所以假设成立，即存在直线满足条件，且的方程为：

或.

方法二：

容易验证直线的斜率不存在时，不满足题意；

当直线斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点，设其方程为，与的交点坐标为，由

消掉，得

，

于是，①

即

②

由，即，得

将①、②代入（*）式，得

，解得；

所以存在直线满足条件，且的方程为：

或．

整理得

，因为，所以，

所以，即

来源：

2019-2020年高考数学精英备考专题讲座第七讲第一节选择题的解题策略

（1）文

高考数学试题中，选择题注重多个知识点的小型综合，渗透各种思想方法，体现以考查“三基”为重点的导向，题量一般为10到12个，能否在选择题上获取高分，对高考数学成绩影响重大.解答选择题的基本要求是四个字——准确、迅速.

选择题主要考查基础知识的理解、接本技能的熟练、基本运算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面.解答选择题的基本策略是：

要充分利用题设和选项两方面提供的信息作出判断.一般说来，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；对于明显可以否定的选项应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜选最简单解法等.解题时应仔细审题、深入分析、正确推理、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确.

解数学选择题的常用方法，主要分为直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法；但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答.因此，我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方法.

填空题是将一个数学真命题，写成其中缺少一些语句的不完整形式，要求学生在指定空位上将缺少的语句填写清楚、准确.它是一个不完整的陈述句形式，填写的可以是一个词语、数字、符号、数学语句等.填空题大多能在课本中找到原型和背景，故可以化归为我们熟知的题目或基本题型.填空题不需过程，不设中间分值，更易失分，因而在解答过程中应力求准确无误.

根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：

一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：

方程的解、不等式解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等.由于填空题和选择题相比，缺少选择的信息，所以高考题多数是以定量型问题出现.

二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质，如：

给定二次曲线的焦点坐标、离心率等等.近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题.

填空题缺少选择的信息，故解答题的求解思路可以原封不动地移植到填空题上.但填空题既不用说明理由，又无需书写过程，因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题.

填空题虽题小，但跨度大，覆盖面广，形式灵活，可以有目的、和谐地结合一些问题，突出训练学生准确、严谨、全面、灵活地运用知识的能力和基本运算能力，突出以图助算、列表分析、精算与估算相结合等计算能力.想要又快又准地答好填空题，除直接推理计算外，还要讲究一些解题策略，尽量避开常规解法.

解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格.《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”.为此在解填空题时要做到：

快——运算要快，力戒小题大作；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意.

第一节选择题的解题策略

（1）

【解法一】直接法：

直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出选项“对号入座”，作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.

例1双曲线方程为，则它的右焦点坐标为（）

A.B.C.D.

点拨：

此题是有关圆锥曲线的基础题，将双曲线方程化为标准形式，再根据的关系求出，继而求出右焦点的坐标.

解：

，所以右焦点坐标为，答案选C.

易错点：

（1）忽视双曲线标准方程的形式，错误认为；

（2）混淆椭圆和双曲线标准方程中的关系，在双曲线标准方程中.

例2阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值等于（）

A.2B.3C.4D.5

点拨：

此题是程序框图与数列求和的简单综合题.

解：

由程序框图可知，该框图的功能是输出使和

时的的值加1，因为，，

所以当时，计算到故输出的是4，答案选C.

易错点：

没有注意到的位置，错解.实际上使得后加1再

输出，所以输出的是4.

变式与引申：

根据所示的程序框图（其中表示不大于的最大整数），输出（）.

A.B.C.2D.

例3正方体-中，与平面所成角的余弦值为（）

A.B.C.D.

点拨：

此题考查立体几何线面角的求解.通过平行直线与同一平面所成角相等的性质及转化后，只需求点到面的距离.

解：

因为∥,所以与平面所成角和与平面所

成角相等,设⊥平面，由等体积法得,即

.设=,则

.

所以

记与平面所成角为,

则,所以,故答案选D.

易错点：

考虑直接找与平面所成角，没有注意到角的转化，导致思路受阻.

点评：

直接法是解答选择题最常用的基本方法.直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案.平时练习中应不断提高直接法解选择题的能力.准确把握题目的特点，用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上，否则一味求快则会快中出错.

【解法二】特例法：

用特殊值代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.

例4：

在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（－4，0）和C（4，0），且顶点B在椭圆上，则（）

A.B.C.1D.

点拨：

此题是椭圆性质与三角形的简单综合题，可根据性质直接求解，但正弦定理的使用不易想到，可根据性质用取特殊值的方法求解.

解：

根据B在椭圆上，令B在短轴顶点处，即可得答案选A.

例5已知函数=

若均不相等，且，则的取值范围是（）

A.（1，10）B.（5，6）C.（10，12）D.（20，24）

点拨：

此题是函数综合题，涉及分段函数，对数函数，函数图像变换，可结合图像，利用方程与函数的思想直接求解，但变量多，关系复杂，直接求解较繁，采用特例法却可以很快得出答案.

解：

不妨设，取特例，如取，则易得，从而，故答案选C．

另解：

不妨设，则由，再根据图像易得.实际上中较小的两个数互为倒数.

例6记实数…中的最大数为，最小数为.已知的三边边长为、、（）,定义它的倾斜度为

，则“”是“为等边三角形”的（）

A.充分布不必要的条件B.必要而不充分的条件

C.充要条件D.既不充分也不必要的条件

点拨：

此题引入新定义，需根据新信息进行解题，必要性容易判断.

解：

若△为等边三角形时、即，则

则t=1；若△为等腰三角形，如时，则

，此时t=1仍成立但△不为等边三角形,所以答案选B.

点评：

当正确的选择对象在题设条件都成立的情况下，用特殊值（取的越简单越好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答本类选择题的最佳策略.

【解法三】排除法：

充分运用选择题中单选的特征（即有且只有一个正确选项），通过分析、推理、计算、判断，逐一排除，最终达到目的.

例7下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（）

A.B.

C.D.

点拨：

此题考查三角函数的周期和单调性.

解：

C、D中函数周期为2，所以错误.当时，，函数为减函数,而函数为增函数，所以答案选A.

例8函数的图像大致是（）

点拨：

此题考查函数图像，需要结合函数特点进行分析,考虑观察零点.

解：

因为当2或4时，，所以排除B、C；当-2时，，故排除D，所以答案选A.

易错点：

易利用导数分析单调性不清导致错误.

例9设函数

，若,则实数的取值范围是（）

A.B.C.D.

点拨：

此题是分段函数，对数函数，解不等式的综合题，需要结合函数单调性，对数运算性质进行分析，分类讨论，解对数不等式，运算较复杂，运用排除法较易得出答案.

解：

取验证满足题意，排除A、D.取验证不满足题意,排除B.所以答案选C.

易错点：

直接求解利用函数解析时，若忽略自变量应符合相应的范围，易解错

点评：

排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选项范围内找出矛盾，这样逐步排除，直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题,尤其是选项为范围的选择题的常用方法.

【解法四】验证法：

将选项中给出的答案代入题干逐一检验，从而确定正确答案.

例10将函数的图像向左平移个单位.若所得图像与原图像重合，则的值不可能等于（）

A.4B.6C.8D.12

点拨：

此题考查三角函数图像变换及诱导公式，的值有很多可能，用验证较易得出答案.

解：

逐项代入验证即可得答案选B.

实际上，函数的图像向左平移个单位所得函数为

，此函数图像与原函数图像重合，即，于是为4的倍数.

易错点：

的图像向左平移个单位所得函数解析式，应将原解析式中的变为，图像左右平移或轴的伸缩变换均只对产生影响，其中平移符合左加右减原则，这一点需要对图像变换有深刻的理解.

例11设数列中，，则通项是（）

A．B．C．D．

点拨：

此题考查数列的通项公式，直接求，不好求，宜用验证法.

解：

把代入递推公式得：

，再把各项逐一代入验证可知，答案选D.

易错点：

利用递推公式直接推导，运算量大，不容易求解.

例12下列双曲线中离心率为的是（）

A.B.C.D.

点拨：

此题考查双曲线的性质，没有确定形式，只能根据选项验证得出答案.

解：

依据双曲线的离心率，逐一验证可知选B.

易错点：

双曲线中，与椭圆中混淆，错选D.

变式与引申：

下列曲线中离心率为的是（）

A.B.C.D.

答案：

选B

点评：

验证法适用于题设复杂，但结论简单的选择题.若能根据题意确定代入顺序则能较大提高解题速度.

习题7-1

1.已知直线与直线平行，，则是的

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

2．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人能（）

A.不能作出这样的三角形B.作出一个锐角三角形

C.作出一个直角三角形D.作出一个钝角三角形

3.设是任意等比数列，它的前项、前项、与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是（）

A.B.

C.D.

4.定义在R上的奇函数为减函数，设，给出下列不等式：

①；②；③

④

，其中正确的不等序号是（）

A.①②④B.①④C.②③D.①③

5.如图，在棱柱的侧棱和上各有一动点满足，过三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为（）

A.3：

1B.2：

1C.4：

1D.

6.已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为（）

A.B.

C.D.

7.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）

A．向右平移个单位B．向右平移个单位

C．向左平移个单位D．向左平移个单位

【答案】

习题7-1

3.D.

提示：

法一：

（直接法）设等比数列公比为则

即.

法二：

（特例法）取等比数列,令得代入验算、只有选项D满足.

4.B.

提示：

法一：

（直接法）根据为奇函数知

，由知

，，再根据为减函数可得

，故①④正确.

法二：

（特例法）取，逐项检验可得.

5.B.