高考数学压轴题集锦导数与其应用五.docx
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高考数学压轴题集锦导数与其应用五
2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用(五)
46.已知函数f(x)
x2
ax
4(a
R)的两个零点为
x1,x2,设x1x2.
(Ⅰ)当a
0时,证明:
2
x10
.
(Ⅱ)若函数
g(x)
x2
|f(x)|在区间(
2)和(2,
)上均单调递增,求
a的取值范围.
47.设函数f(x)
2
R).
xaxlnx(a
(Ⅰ)若a1时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设函数
f(x)在
[
1,]有两个零点,求实数
a的取值范围.
e
e
48.已知函数f(x)ln(axb)x,g(x)x2axlnx.
(Ⅰ)若b1,F(x)f(x)g(x),问:
是否存在这样的负实数a,使得F(x)在x1
处存在切线且该切线与直线y1x1平行,若存在,求a的值;若不存在,请说明理
23
由.
(Ⅱ)已知a0,若在定义域内恒有f(x)ln(axb)x0,求a(ab)的最大值.
1
49.设函数f(x)xlnxb(x1)2(bR),曲线yfx在1,0处的切线与直线
2
y3x平行.证明:
(Ⅰ)函数f(x)在[1,)上单调递增;
(Ⅱ)当0x1时,fx1.
50.已知f(x)=a(x-lnx)+
2x
1,a∈R.
x2
(I)讨论f(x)的单调性;
(II)当a=1时,证明f(x)>f’(x)+3对于任意的x∈[1,2]恒成立。
2
2
51.已知函数f(x)=x+ax﹣lnx,a∈R.
(1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;
(2)令g(x)=f(x)﹣x2,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数g
(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由;
(3)当x∈(0,e]时,证明:
e2x2-5x>(x+1)lnx.
2
2
1
52.已知函数f(x)=3x3-ax+1.
(1)若x=1时,f(x)取得极值,求a的值;
(2)求f(x)在[0,1]上的最小值;
(3)若对任意m∈R,直线y=﹣x+m都不是曲线y=f(x)的切线,求a的取值范围.
53.已知函数fxaxex(a0)
(1)讨论fx的单调性;
(2)若关于x的不等式fxlnxx4的解集中有且只有两个整数,求实数a的取值
范围.
54.已知函数fn
x
xn1
1,gm
xmx
mx(其中m
e,n,me为正整数,e为自然对
x
1
数的底)
(1)证明:
当x
1时,gm
x
0恒成立;
(2)当nm
3
时,试比较
fn
m与fm
n的大小,并证明.
3
x
55.已知函数f(x)=e和函数g(x)=kx+m(k、m为实数,e为自然对数的底数,
e≈2.71828).
(1)求函数h(x)=f(x)﹣g(x)的单调区间;
(2)当k=2,m=1时,判断方程f(x)=g(x)的实数根的个数并证明;
(3)已知m≠1,不等式(m﹣1)[f(x)﹣g(x)]≤0对任意实数x恒成立,求km的最大值.
56.已知函数f(x)
lnx
a(x1)(a
R).
x
(Ⅰ)若a1,求y
f(x)在点1,f
(1)处的切线方程;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)求证:
不等式
1
1
1对一切的x
(1,2)恒成立.
lnx
x1
2
57.已知函数
f(x)(x1)2
alnx(a
R).
(Ⅰ)求函数
f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数
f(x)存在两个极值点
x1、x2
x1
x2
,求f(x2)的取值范围.
x1
4
58.设函数f(x)lnx
m,mR.
x
(Ⅰ)当me(e为自然对数的底数
)时,求f(x)的极小值;
(Ⅱ)若对任意正实数
a、b(a
b),不等式
f(a)
f(b)
恒成立,求
m的取值范
a
2
b
围.
59.已知函数fx
1
x3
2ax2
3a2xb,(a,bR)
3
(1)当a3时,若fx有3个零点,求b的取值范围;
(2)对任意a[4
1],当x
a1,am时恒有afx
a,求m的最大值,并求此
5
时fx的最大值。
60.已知函数
fx
x2
axaex.
(1)讨论f
x的单调性;
(2)若a
0,2
,对于任意x1,x2
4,0,都有fx1fx2
4e2
mea恒成
立,求m的取值范围.
5
61.已知函数f(x)=x-b,g(x)=2alnx.
x
(1)若b
0
,函数
f(x)的图像与函数
g(x)的图像相切,求a的值;
(2)若a
0
,b
1,函数F(x)
xf(x)g(x)满足对任意x1,x2
(0,1](x1
x2),
都有F(x1)
F(x2)
31
1
恒成立,求a的取值范围;
x1
x2
(3)若b
1,函数G(x)=f(x)+g(x),且G(x)有两个极值点x1,x2,其中x1
1
,求
0,
3
G(x1)G(x2)的最小值.
62.已知函数f(x)ln(x2a)(a0).
(1)若a3,求f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)令g(x)
f(x)
2
x
3,判断g(x)在(0,
)上极值点的个数,并加以证明;
3
f(x)
(3)令h(x)
,定义数列{xn}:
x10,xn1
h(xn).当a
3且
2x
x(0,1
](k
2,3,4,)时,求证:
对于任意的m
N*,恒有|x
x
|
1
.
k
2
mk
k
89k1
6
63.已知二次函数
f(x)
x2
ax
m
1,关于x的不等式f(x)
(2m1)x1m2
的解集为
g(x)
f(x)
(m,m1),(m
x1
0),设
.
(1)求a的值.
(2
)k(k
R)如何取值时,函数
(x)
g(x)
kln(x
1)存在极值点,并求出极值点.
(3
)若m
1,且x
0,求证:
[g(x
1)]n
g(xn
1)
≥2n
2(xN*).
64.已知函数f
xlnx,gx
a
ex
2b(其中e为自然对数的底数,
fx).
(1)若函数f
x的图象与函数
g
x
的图象相切于x
1
处,求a,b的值;
e
(2)当2be
a时,若不等式
f
x
gx
恒成立,求a的最小值.
65.已知函数f(x)x2ax1,g(x)lnxa(aR).
⑴当a1时,求函数h(x)f(x)g(x)的极值;
⑵若存在与函数f(x),g(x)的图象都相切的直线,求实数a的取值范围.
7
66.设函数f(x)(1mx)ln(1x).
(1)若当
0
x1,
函数f(x)的图象恒在直线
yx
的上方,求实数m的取值范围
;
时
(2)求证:
e(1001)1000.4.1000
f(x)
alnx(a
R)
67.已知函数
x
.
(1)若a
4,求曲线f(x)在点(1,4)
处的切线方程;
(2)若函数f(x)的图象与函数
g(x)
1的图象在区间
(0,e2]上有公共点,求实数
a的取
值范围.
68.已知函数f
x
1nx
a
1a
R.
x2
a
x
(Ⅰ)若a
0,证明:
函数f
x在
e,
上单调递减;
(Ⅱ)是否存在实数
a,使得函数
f
x在
0,8
内存在两个极值点?
若存在,求实数
a的
3
取值范围;若不存在,请说明理由
.(参考数据:
1n20.693,e2
4.5)
8
参考答案
46.解:
(Ⅰ)证法1:
由求根公式得:
x1
a
a2
16
2
因为a
0,所以,一方面:
a
a2
16
a
a
2
x1
2
2
0,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
x1
2
(a4)
a2
16
a
2168a
a2
16
另一方面,由
2
2
0
,
得x1
2.于是,
2
x1
0.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
证法2:
因为f(x)在区间(
a)
上单调递减,在(a,
)
上单调递增,
2
2
所以,当a
0
时,f(x)在区间(-2,0)上单调递减.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
又因为:
f(
2)
f(0)
2a(
4)
0,所以:
2
x1
0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
ax
4,
x
x1;
(Ⅱ)g(x)
2x2
ax
4,x1
x
x2;
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
9分
ax
4,
x
x2.
若a
0,则g(x)在(-
,x1)上单调递减,从而
g(x)在区间(
2)上不可能单调递增,
于是只有a
0.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分11
当a
0时,由
(1)知:
2
x1
0,于是,由g(x)在(
x1)上单调递增可知,
g(x)在(,
2)也是单调递增的.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
13分
又因为g(x)在(a,x2)和(x2,
)均单调递增,结合函数图象可知,
g(x)在(a,
)上单
4
4
调递增,于是,欲使g(x)在(2,+
)上单调递增,只需
2
a
,亦即a8.
4
综上所述,a的范围是a
(0,8].
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分15
47.(Ⅰ)定义域x(0,)
f(x)
2x
1
1
2x2
x1
x
0
x
即2x2
x1
0
即0
x
1
f(x)的增区间为
(0,1),减区间为(1,)
9
(Ⅱ)f(x)
x2
ax
lnx
0即a
x
lnx
x
令g(x)
x
lnx,其中x
[
1
e]
x
e
1
xlnx
x2
lnx1
g(x)
1
x
即x
1
x2
x2
0
g(x)的减区间为
1
[,1),增区间为(1,e]
e
g(x)min
g
(1)1
又g(
1
)
e
1,g(e)
e
1
e
e
e
1
函数f(x)在[,e]有两个零点,
则a的取值范围是
1
(1,e]
e
1
48.(I)由题意,F(x)定义域(0,)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.分2a
不妨假设存在,则
F(x)
ln(ax
1)
x
x2
ax
lnx,x
(0,
1)
a
当x(0,
1
)时,x2
ax
x2
ax
a
F(x)
ln(ax
1)
x
x2
ax
lnx
ln(ax
1)
lnxax
xx2,⋯.3分
F'(x)
a
1
1
a
1
2x
ax
x
令F'
(1)
a
1
2
1
a
1
则
1
或
a
(舍)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5
分
a
1
a
1
2
2
当a
1
1
(0,2),x
1
(0,2)
时,(0,
)
2
a
存在,a
1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
.分6
2
(II)(方法一)
f(x)
ln(axb)
x
0
①当a
0
时,定义域(
,b),则当x
时,f(x)
,不符;⋯.7分
a
10
a
a(x
a
b)
②当a
0时,f
'
(x)
1
a
(ax
b
0)
ax
b
ax
b
当
b
x
ab时,f'(x)
0;当x
ab时,f'(x)0
a
a
a
∴f(x)
在区间(
ba
b
)上为增函数,在区间
a
b
)上为减函数
,
a
(
a
,
a
∴
f(x)在其定义域(b,
)上有最大值,最大值为
f(a
b)
a
a
由f(x)
0,得f(ab)lna
ab
0
a
a
∴ba
alna
∴a(a
b)
2a2
a2lna⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
..
⋯⋯⋯⋯分.12
设h(a)
2a2
a2lna,则h(a)
4a
(2alna
a)
a(3
2lna)。
3
3
∴0ae2时,h(a)
0;a
e2时,h(a)0
3
3
∴h(a)在区间(0,e2)上为增函数,在区间
(e2
,
)上为减函⋯⋯.14分
3
e3
3
3
3
33
e2
∴h(a)
的最大值为
h(e2)
2e
,此时a
e2
b
e
2
.⋯⋯.15分
2
2
(方法二)
f(x)ln(axb)x0,则axbex.由yaxb和yex的图像易得
a0.⋯⋯.7分
且直线斜率a小于等于如图中yex的切线斜率(切线过点(b,0))
a
11
设切点(x0,ex0)
(ex)'
ex,令ex图像在x
x0处切线斜率为a,则ex0
a,x0
lna,即切点(lna,a)
代入直线,只要
alna
ba即可
∴b
aalna
⋯⋯⋯..⋯⋯.12分
∴a(a
b)
2a2
a2lna
设h(a)
2a2
a2
lna,则h(a)
4a
(2alna
a)
a(32lna)
3
3
∴0ae2时,h(a)
0;a
e2时,h(a)0
3
3
∴h(a)在区间(0,e2)上为增函数,在区间(e2,
)上为减函数⋯⋯⋯⋯⋯
.14分
3
e3
3
3
3
33
e2
∴h(a)的最大值为h(e2)
2e
e2,b
e
,此时a
.⋯..⋯⋯.15分
2
2
2
49.(Ⅰ
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