从平面向量到空间向量导学案.docx
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从平面向量到空间向量导学案
从平面向量到空间向量导学案
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学习目标
.了解向量由平面到空间的推导过程
2.理解空间向量的概念
3.理解直线的方向向量和平面的法向量的概念,并会求直线的方向向量和平面的法向量
学习过程
一、课前准备
复习:
平面向量基本概念:
具有
和
的量叫向量,
叫向量的模(或长度);
叫零向量,记着
;
叫单位向量.
叫相反向量,
的相反向量记着
.
叫相等向量,向量的表示方法有
,
,
和
共三种方法.
二、新课导学
※学习探究
探究任务一:
空间向量的相关概念
问题:
1.什么叫空间向量?
2.空间向量中有零向量,单位向量,相等向量吗?
3.空间向量如何表示?
4.向量的夹角的概念、表示、垂直与平行如何表示?
探究任务二:
向量、直线、平面的相关概念
问题:
1.直线的方向向量概念
2.平面的法向量概念
※典型例题
例1
见P26思考与交流例子
三、总结提升
※学习小结
.空间向量基本概念;
2.直线的方向向量概念
3平面的法向量的概念
4.向量的夹角及垂直、平行与夹角的关系
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为(
).
A.很好
B.较好
c.一般
D.较差
※当堂检测(时量:
5分钟满分:
10分)计分:
.下列说法中正确的是(
)
A.若∣∣=∣∣,则,的长度相同,方向相反或相同;
B.若与是相反向量,则∣∣=∣∣;
c.空间向量的减法满足结合律;
D.在四边形ABcD中,一定有.
2.已知向量,是两个非零向量,是与,同方向的单位向量,那么下列各式正确的是(
)
A.
B.
或
c.
D.∣∣=∣∣
3.在四边形ABcD中,若,则四边形是(
)
A.矩形
B.菱形
c.正方形
D.平行四边形
4.下列说法正确的是(
)
A.零向量没有方向
B.空间向量不可以平行移动
c.如果两个向量不相同,那么它们的长度不相等
D.同向且等长的有向线段表示同一向量
§2空间向量的运算
(一)
一、选择题
.下列说法中正确的是
(
)
A.若∣∣=∣∣,则,的长度相同,方向相反或相同;
B.若与是相反向量,则∣∣=∣∣;
c.空间向量的减法满足结合律;
D.在四边形ABcD中,一定有.
2.已知向量,是两个非零向量,是与,同方向的单位向量,那么下列各式正确的是
(
)
A.
B.
或
c.
D.∣∣=∣∣
3.下列说法正确的是
(
)
A.零向量没有方向
B.空间向量不可以平行移动
c.如果两个向量不相同,那么它们的长度不相等
D.同向且等长的有向线段表示同一向量
二、填空题
4.长方体中,化简=
.
5.如果都是平面的法向量,则的关系
.
三、解答题
6.已知平行六面体,m为Ac与BD的交点,化简下列表达式:
⑴
;
⑵
;
⑶
;
⑷
.
创新与实践:
已知平行六面体(如图),化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量:
错误反思
题号
错题分析
正确解法
§2空间向量的运算
一、选择题
.下列说法正确的是
(
)
A.向量与非零向量共线,与共线,则与
共线;
B.任意两个共线向量不一定是共线向量;
c.任意两个共线向量相等;
D.若向量与共线,则.
2.已知平行六面体,m是Ac与BD交点,若,
则与相等的向量是
(
)
A.
B.
c.
D.
3.下列命题中:
①若,则,中至少一个为
②若
且,则
③
④
正确有个数为
(
)
A.0个
B.1个
c.2个
D.3个
二、填空题
3.已知中,所对的边为,且,,则=
4.已知向量满足,,,则________
三、解答题
6.已知平行六面体,点m是棱AA的中点,点G在对角线Ac上,且cG:
GA=2:
1,设=,,试用向量表示向量.
创新与实践:
已知为平行四边形,且,求的坐标.
错误反思
题号
错题分析
正确解法
§3
向量的坐标表示和空间向量基本定理
一、选择题
.则
(
)
A.-15
B.-5
c.-3
D.-1
2.若,且的夹角为钝角,则的取值范围是(
)
A.
B.
c.
D.
3.已知
,且,则
(
)
A.
B.
c.
D.
二、填空题
4.设i、j、k为空间直角坐标系o-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量,且
,则点B的坐标是
.
5.已知,且,则x=
.
三、解答题
6.已知,求:
⑴;
⑵;
⑶;
⑷;
(5).
创新与实践:
已知A、B,求:
⑴线段AB的中点坐标和长度;
⑵到A、B两点距离相等的点的坐标x、y、z满足的条件.
错误反思
题号
错题分析
正确解法
§3
向量的坐标表示和空间向量基本定理
一、选择题
.若为空间向量的一组基底,则下列各项中,能构成基底的是(
)
A.
B.
c.
D.
2.在下列命题中:
①若a、b共线,则a、b所在的直线平行;②若a、b所在的直线是异面直线,则a、b一定不共面;③若a、b、c三向量两两共面,则a、b、c三向量一定也共面;④已知三向量a、b、c,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数为
(
)
A.0
B.1
c.2
D.
3
3.已知,与的夹角为120°,则的值为
(
)
A.
B.
c.
D.
二、填空题
4.在三棱锥oABc中,G是的重心(三条中线的交点),选取为基
底,试用基底表示=
.
5.已知关于x的方程有两个实根,,且
,当t=
时,的模取得最大值.
三、解答题
如图,在单位正方体中,点分别是的一个四等分点.
求与的坐标;
求与所成的角的余弦值.
创新与实践:
如图,正方体的棱长为,
⑴求的夹角;
⑵求证:
.
错误反思
题号
错题分析
正确解法
§4
用向量讨论垂直与平行
(一)
一、选择题
.若=,=,则是的
(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
c.充要条件
D.既不充分又不不要条件
2.已知且与互相垂直,则的值是
(
)
A.1
B.
c.
D.
3.下列各组向量中不平行的是
(
)
A.
B.
c.
D.
二、填空题
4.设分别是直线的方向向量,则直线的位置关系
是
.
5.已知向量,若
,则______;若
则______.
三、解答题
6.设分别是平面的法向量,判断平面的位置关系:
⑴
;
⑵
.
创新与实践:
如图,在四棱锥P—ABcD中,底面ABcD为正方形,PD⊥平面ABcD,且PD=AB=a,E为PB的中点,在平面PAD内求一点F,使得EF⊥平面PBc。
错误反思
题号
错题分析
正确解法
§4
用向量讨论垂直与平行
一、选择题
.下列说法正确的是
(
)
A.平面的法向量是唯一确定的
B.一条直线的方向向量是唯一确定的
c.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量
D.若是直线的方向向量,,则
2.已知,能做平面的法向量的是
(
)
A.
B.
c.
D.
3.已知,,则以、为邻边的平行四边形的面积为(
)
A.
B.
c.4
D.
二、填空题
4.设分别是平面的法向量,则平面的位置关系
是
.
5.若向量,则这两个向量的位置关系是___________.
三、解答题
6.如图,在四面体中,,点分别是的中点.
求证:
(1)直线面;
(2)平面面.
创新与实践:
用向量方法证明:
如果平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线b,那么直线垂直于直线b在这个平面上的射影.
错误反思
题号
错题分析
正确解法
§5夹角的计算
(一)
一、选择题
.已知向量,若,设,则与轴夹角
的余弦值为
(
)
A.
B.
C.
D.
2.若,,与的夹角为,则的值为
(
)
A.17或-1
B.-17或1
c.-1
D.1
3.在正方体中,为的交点,则与所成角的
(
)
A.
B.
C.
D.
二、填空题
4.若
,且
,则与的夹角为____________.
5.若向量与的夹角为,,,则
.
三、解答题
6.设空间两个不同的单位向量
与向量的夹角
都等于45.
求和的值;
求的大小.
创新与实践:
如图,已知点P在正方体的对角线上,∠PDA=60°.
求DP与所成角的大小.
错误反思
题号
错题分析
正确解法
§5
夹角的计算
(二)
一、选择题
.若A,B,c,则△ABc的形状是
(
)
A.不等边锐角三角形
B.直角三角形
c.钝角三角形
D.等边三角形
2.若向量,且与的夹角余弦为,则等于(
)
A.
B.
c.或
D.或
3.如图,在长方体ABcD-A1B1c1D1中,AB=Bc=2,AA1=1,则Bc1与平面BB1D1D所成
角的正弦值为
A.
B.
c.
D.
二、填空题
4.直三棱柱ABc—A1B1c1中,∠AcB=90°,,AA1=6,E为AA1
的中点,则平面EBc1与平面ABc所成的二面角的大小为
.
5.在长方体中,和与底面所成的角分别为和,则异面
直线和所成角的余弦值为
.
三、解答题
6.如图3,已知直四棱柱中,,底面是直角梯形,
是直角,,求异面直线与所成角的大小.
创新与实践:
如图,直三棱柱ABc—A1B1c1中,∠AcB=90°,Ac=AA1=1,,AB1与A1B相交于点D,m为B1c1的中点.
(1)求证:
cD⊥平面BDm;
(2)求平面B1BD与平面cBD所成二面角的大小.
错误反思
题号
错题分析
正确解法
§6
距离的计算
(一)
一、选择题
.设,,,则线段的中点到点的距离
为
A.
B.
c.
D.
2.如图,ABcD-A1B1c1D1为正方体,下面结论错误的是
A.BD∥平面cB1D1
B.Ac1⊥BD
c.Ac1⊥平面cB1D1
D.异面直线AD与cB1所成的角为60°
3.四边形为正方形,为平面外一点,,二面角
为,则到的距离为
(
)
A.
B.
C.2
D.
二、填空题
4.如图,P—ABcD是正四棱锥,是正方体,
其中,则到平面PAD的距离为
.
5.已知正方体的棱长是,则直线与
间的距离为
。
三、解答题
6.如图所示的多面体是由底面为ABcD的长方体被截面AEc1F所截而得到的,其中AB=4,Bc=2,cc1=3,BE=1,求点c到平面AEc1F的距离.
创新与实践:
如图,是矩形,平面,,,分别是的中点,求点到平面的距离.
错误反思
题号
错题分析
正确解法
§6距离的计算
(二)
一、选择题
.正方体的棱长为1,
是的中点,则点到平面距离等于()
A.
B.
C.
D.
2.一条长为的线段,夹在互相垂直的两个平面之间,它和这两个平面所成的角分别是和,由这条线段两端向两平面的交线引垂线,垂足的距离是(
)
A.
B.
C.
D.
3.三角形ABc的三个顶点分别是,,,则Ac边上的高BD长为
(
)
A.5
B.
c.4
D.
二、填空题
4.已知是异面直线,那么:
①必存在平面过且与平行;
②必存在平面过且与垂直;
③必存在平面与都垂直;
④必存在平面与距离都相等.
其中正确命题的序号是
.
2.已知空间四边形,点分别为的中点,且
,用,,表示,则=______________________.
三、解答题
6.如图,在长方体中,,点在棱上移
(1)证明:
;
(2)当为的中点时,求点到面的距离.
创新与实践:
如图,在四棱锥中,底面为矩形,侧棱底面,,,,为的中点.求在侧面内找一点,使面,并计算点到和的距离.
错误反思
题号
错题分析
正确解法
本章小结测试
一、选择题
.已知,则的最小值是
(
)
A.
B.
c.
D.
2.将正方形沿对角线折成直二面角后,异面直线所成角的余弦值为
A.
B.
c.
D.
3.正方体的棱长为,,N是的中点,则=(
)
A.
B.
c.
D.
二、填空题
4.已知,且,则k=
.
5.空间两个单位向量与的夹角都等于,则
.
三、解答题
6.如图,在棱长为1的正方体中,点分别为的中点.
⑴求证:
;
⑵求与所成角的余弦值;
⑶求的长.
创新与实践:
如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为,在它的顶点处分别受力、、,每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是,且.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动?
这三个力最小为多大时,才能提起这块钢板?
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- 平面 向量 空间 导学案