平行四边形辅导讲义.docx
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平行四边形辅导讲义
《平行四边形》考题精彩回放
平行四边形是初中数学的重要内容,也是中考命题的热点之一,关于平行四边形的题型新颖别致,现采撷几例加以分析,希望对同学们的学习有所启发.
一、猜想探究型
例(云南双柏)如图
(1),E,F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点,CE=AF.请你猜想:
BE与DF有怎样的位置关系和数量关系?
并对你的猜想加以证明.
猜想:
证明:
二、方案设计型
例2(浙江金华)国家级历史文化名城——金华,风光秀丽,花木葱茏.某广场上一个形状是平行
四边形的花坛(如图),分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花.如果有AB//EF//DC,
BC//GH//AD,那么下列说法中错误的是()
A.红花、绿花种植面积一定相等
B.紫花、橙花种植面积一定相等
C.红花、蓝花种植面积一定相等
D.蓝花、黄花种植面积一定相等
三、开放型
例3(福建龙岩)如图(3),在□ABCD中,E、F分别为AD、BC边上的一点,若再增加一个条件_____________,就可推得BE=DF.
平行四边形性质考点大观
平行四边形的性质,在计算与说理中有许多应用,对于后继学习非常重要。
下面结合常见问题加以说明.
一、利用对边相等
例1、若□ABCD的周长为26㎝,AB=8㎝,则BC=_______.
二、利用对边平行
例2、(四川乐山)如图
(1),在□ABCD中,CE⊥AB,
为垂足.如果∠A=125°,则∠BCE=()
A.
B.
C.
D.
三、利用对角相等
例3、(河北)如图7,若□ABCD与□EBCF关于BC所在直线对称,∠ABE=90°,则∠F=________°.
四、利用对角线互相平分
例4、(山东日照)如图,在周长为20cm的□ABCD中,AB≠AD,AC、BD相交于点O,OE⊥BD交AD于E,则⊿ABE的周长为()
(A)4cm(B)6cm(C)8cm(D)10cm
五、利用中心对称
例5、(07浙江金华)国家级历史文化名城——金华,风光秀丽,花木葱茏.某广场上一个形状是平行四边形的花坛(如图4),分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花.如果有
,
,那么下列说法中错误的是().
A.红花、绿花种植面积一定相等B.紫花、橙花种植面积一定相等
C.红花、蓝花种植面积一定相等D.蓝花、黄花种植面积一定相等
六、综合说理
例6、(江苏模拟)已知:
如图,在□ABCD中,AC是对角线,BE平分
,交AC于点E,DF平分∠ADC,交AC于点F.
试判断⊿ABE与⊿CDF全等吗?
说明理由.
三种思路判定平行四边形
平行四边形是几何中的重要内容,它的一些特征有着极为重要的用途,那么怎样才能判断一个四边形是平行四边形?
一、若已知条件出现在四边形的边上,则考虑
方法1利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来说明
例1、如图,平行四边形ABCD中,点E是AB的延长线上的一点,且EC∥BD,试说明:
四边形BECD是平行四边形。
方法2利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来说明
例2、平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,点E、F分别在CD、AB的延长线上,且AE=AD,CF=CB,试说明:
四边形AFCE是平行四边形。
方法3、利用“一组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形”说明
例3、如图,在
中,点
分别是
边的中点,若把
绕着点
顺时针旋转
得到
.试判断四边形
是怎样的四边形?
说明你的理由.
二、若已知条件出现在四边形的角上,则应考虑:
方法4利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来说明.
例4、如图,已知,平行四边形ABCD中,∠B、∠D的平分线分别交CD、AB于点E、F,求证:
四边形DFBE是平行四边形.
三、若已知条件出现在对角线上,则应考虑:
方法5利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来说明.
例3、如图,平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O,E、F分别为OB、OD的中点,过O任作一直线分别交AB、CD于G、H.
说明:
四边形EHFG是平行四边形.
中考数学“点在特殊平行四边形的边上运动”
点在运动,同学们一点也不觉得稀奇,可点运动进中考试卷中,同学们不免有点惊奇,不仅如此,点在特殊的平行四边形的边上运动,已成为中考的一个热点,现分别举一例说明
一、点在矩形边上运动
例1(莆田市)如图1,在矩形MNPQ中,动点R从点N出发,沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止.设点R运动的路程为x,△MNR的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示,则当x=9时,点R应运动到()
A.N处 B.P处 C.Q处D.M处
二、点在菱形边上运动
例2(安顺市)如图所示,两个全等菱形的边长为1米,一个微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动,行走2009米停下,则这个微型机器人停在___点.
三、点在正方形边上运动
例3(荆门市)如图,正方形ABCD边长为1,动点P沿正方形的边按逆时针方向运动,当它的运动路程为2009时,点P所在位置为___;当点P所在位置为D点时,点P的运动路程为___(用含自然数n的式子表示).
用“整体思想”解与平行四边形有关的计算题
在解与平行四边形有关的计算题时,如果能注意应用“整体思想”去解答,往往方便快捷,现举例加以说明.
例1.如图1,□ABCD的周长是28cm,△ABC的周长是22cm,则AC的长为()
A.6cmB.12cmC.4cmD.8cm
例2.如图2,如果□ABCD中ΔABO周长是40cm,CD=16cm,则两对角线AC、BD之和长是()D
A.16cmB.24cmC.36cmD.48cm
例3平行四边形ABCD中,两条对角线相交于O,△AOB的周长与△BOC的周长之和为48,两对角线的长度之和为28,则□ABCD周长为()
A.20B.40C.56D.96
例4.如图3,在周长为20cm的□ABCD中,AB≠AD,AC、BD相交于点O,OE⊥BD交AD于E,则△ABE的周长为( )D
A.4cmB.6cm
C.8cmD.10cm
小结:
从上面几道例题可以看出,当在运算具体问题有困难时,不妨考虑用“整体思想”求解,这样使问题得以圆满解决,同学们在今后的学习中,注意掌握并运用这一技巧,会使你受益匪浅.
平行四边形(期末复习用)
一、精心选一选(每小题4分,共32分)
1.一个多边形的内角和是外角和的2倍,那么这个多边形是……………………………()
A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形
2.下面给出的图形不能镶嵌平面的是……………………………………………()
A.正五边形B.正三角形C.正四边形D.正六边形
3.下面图形中是一个中心对称图形的是………………………………………()
A.三角形B.等腰梯形C.平行四边形D.正五边形
4.如图,O是□ABCD的对角线交点,E为AB中点,DE交AC于点F,若S□ABCD=16.则
S△DOE的值为………………………………………………………()
A.1B.
C.2D.
5.如图,在平行四边形ABCD中,∠B=60度,AB=5cm,则下面结论正确的是……………()
A.BC=5cm,∠D=60度B.∠C=120度,CD=5cm
C.AD=5cm,∠A=60度D.∠A=120度,AD=5cm
6.如图,AC、BD是平行四边形ABCD的对角线,AC与BD交于点O,AC=4,BD=5,BC=3,
则△BOC的周长是………………………………………………………………………()
A.7.5B.12
C.6D.无法确定
7.关于四边形ABCD:
①两组对边分别相等;②一组对边平行且相等;③一组对边平行且另一组对边相等;④两条对角线相等.以上四种条件中,可以判定四边形ABCD是平行四边形的有……………………………………………………………………………………()
A.1个B.2个
C.3个D.4个
8.如图,已知长方形ABCD,R、P分别是DC、BC上的点,E、F分别是AP、RP的中点,
当点P在BC上从点B向点C移动,而点R不动时,那么下列结论成立的是……()
A.线段EF的长逐渐增大
B.线段EF的长逐渐减少
C.线段EF的长不变
D.线段EF的长不能确定
二、填一填(每小题4分,共32分)
9.夹在两条平行线之间的平行线段的大小关系是.
10.平行四边形的周长为24cm,相邻两边长的比为3:
1,那么这个平行四边形较短的边长为
cm.
11.写出定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题:
,
是命题.(填“真”或“假”)
12.已知平行四边形的面积是144cm2,相邻两边上的高分别为8cm和9cm,则这个平行四边形的周长为cm.
13.如图,在□ABCD中,∠A的平分线交BC于E,若AB=10cm,AD=12cm,则BE=,EC=.
14.点A(3,-
)关于直角坐标系原点对称的点的坐标是.
15.如图,P是四边形ABCD的DC边上的一个动点,当四边形ABCD满足条件时,△PBA的面积始终保持不变(注:
只需填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).
16.如图,用4个全等的等边三角形,按图拼成一个几何图案,从该图中可找出个平行四边形.
三、耐心做一做(本题有6小题,共36分)
17.(本题6分)如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点分别按下面要求画图:
(1)在图甲中,画出一个平行四边形,使其面积为6;
(2)在图乙中,画出一个梯形,使其两底和为5.
18.(本题5分)如图,在平面直角坐标系中,已知平行四边形的三个顶点坐标分别是O(0,0),A(-3,0),B(0,2),求平行四边形第四个顶点C的坐标.
19.(本题5分)已知:
如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=BC.
求证:
∠A=∠C.
20.(本题5分)已知:
如图,在四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC,点E在BC上,点F在AD上,AF=CE,EF与对角线BD相交于点O,求证:
O是BD的中点.
21.(本题8分)如图,□ABCD中,G是CD上一点,BG交AD延长线于E,AF=CG,∠DGE=1000.
(1)试说明DF=BG;
(2)试求∠AFD的度数.
22.(本题7分)如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AE=CF且
四边形DEBF是平行四边形.
求证:
四边形ABCD是平行四边形.
特殊平行四边形
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.如图在平行四边形ABCD中,∠B=110°,延长AD至F,延长CD至E,连结EF,则∠E+∠F=( )
A.110°
B.30°
C.50°
D.70°
2.菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )
A.对角相等 B.四边相等
C.对角线互相平分 D.四角相等
3.如图,平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,点E是BC的中点.若OE=3cm,则AB的长为 ( )
A.3cm
B.6cm
C.9cm
D.12cm
4.已知:
如图,在矩形ABCD中,E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点.若AB=2,AD=4,则图中阴影部分的面积为 ( )
A.8
B.6
C.4
D.3
5.将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形:
①平行四边形(不包括菱形、矩形、正方形)②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形 ( )
A.①③⑤ B.②③⑤ C.①②③ D.①③④⑤
6.如图是一块电脑主板的示意图,每一转角处都是直角,数据如图所示(单位:
mm),则该主板的周长是 ( )
A.88mm
B.96m
C.80mm
D.84mm
7、下列汽车标志中,是中心对称图形但不是轴对称图形的有 ( )个。
A、2 B、3 C、4 D、5
8、小明将下列4张牌中的3张旋转180°后得到,没有动的牌是( )
A、2 B、4 C、6 D
(7)
、8
9、四边形ABCD,仅从下列条件中任取两个加以组合,使得ABCD是平行四边形,一共有多少种不同的组合?
( )
AB∥CD BC∥AD AB=CD BC=AD
A、2组 B、3组 C、4组 D、6组
10、下列说法错误的是 ( )
A、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形。
B、每组邻边都相等的四边形是菱形。
C、对角线互相垂直的平行四边形是正方形。
D、四个角都相等的四边形是矩形。
二、填空题(每小题3分,共30分)
11.用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是。
12.如果边长分别为4cm和5cm的矩形与一个正方形的面积相等,那么这个正方形的边长为______cm.
13.已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm,则这个菱形的面积是cm2.
14.如图,DE∥BC,DF∥AC,EF∥AB,图中共有_______个平行四边形.
15、若四边形ABCD是平行四边形,请补充条件(写一个即可),使四边形ABCD是菱形.
16.如图,在平行四边形ABCD中,已知对角线AC和BD相交于点O,△ABO的周长为
7,AB=6,那么对角线AC+BD=
17、以正方形ABCD的边BC为边做等边△BCE,则∠AED的度数为。
18.如图,延长正方形ABCD的边AB到E,使BE=AC,则∠E=°
19.已知菱形ABCD的边长为6,∠A=60°,如果点P是菱形内一点,且PB=PD=2
那么AP的长为.
20.在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别是A(-2,5),B(-3,-1),C(1,-1),在第一象限内找一点D,使四边形ABCD是平行四边形,那么点D的坐标是.
三、解答题(共40分)
(8)
21、(4分)如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分
回答问题:
别是AB、BC、CD、DA边上的中点,阅读下列材料,
⑴连结AC、BD,由三角形中位线的性质定理可证四边形EFGH是.
⑵对角线AC、BD满足条件时,四边形EFGH是矩形。
⑶对角线AC、BD满足条件时,四边形EFGH是菱形。
⑷对角线AC、BD满足条件时,四边形EFGH是正方形。
22、(5分)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC=8cm,BD=6cm,DH⊥AB于H,求:
DH的长.
23(5分)、已知:
如图,菱形ABCD的周长为16cm,∠ABC=60°,对角线AC和BD相交于点O,求AC和BD的长。
24、(6分)如图,在正方形ABCD中,P为对角线BD上一点,PE⊥BC,垂足为E,
PF⊥CD,垂足为F,
求证:
EF=AP
25、(6分)在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
⑴试说明:
DE=DF
⑵只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线,无需证明
26、(6分)如图,ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,EF∥AB交AD于F,试问:
四边形ABEF是什么图形吗?
请说明理由。
27、(8分)如图,以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形,即△ABD、
△BCE、△ACF,请回答下列问题:
(1)四边形ADEF是什么四边形?
并说明理由
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是菱形?
(3)当△ABC满足什么条件时,以A、D、E、F为顶点的四边形不存在.
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