八年级上几何模型总结之等腰直角三角形和中线角平分线.docx

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八年级上几何模型总结之等腰直角三角形和中线角平分线

等腰直角三角形+角平分线模型

例题：

等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，求证：

BE=2CD。

变式1：

等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过E作ED⊥BC于D，求证：

BC=AC+CD=AB+DE。

变式2：

等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过E作ED⊥BC于D，求证：

△EDC的周长等于BC的长。

变式3：

等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，延长BA、CD交于点F，求证：

AF+CE=AB。

变式4：

等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，连接AD，求证：

∠ADB＝45°。

变式5：

等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，若点D为△ABC外一点，且∠ADC＝135°求证：

BD⊥DC。

变式6：

等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，DM⊥AB交BA的延长线于点M，

（1）求

的值；

（2）求

的值。

变式7：

等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，过A作AT⊥BD于点T，证明：

AT+TE=

BE。

1、如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，4）。

点N为OA上一点，OM⊥BN于M，且∠ONB=45°+∠MON。

（1）求证：

BN平分∠OBA；

（2）求

的值；

（3）若点P为第四象限内一动点，且∠APO=135°，问AP与BP是否存在某种确定的位置关系？

请证明你的结论。

2、

如图，直线AB交X轴负半轴于B（m，0），交Y轴负半轴于A（0，m），OC⊥AB于C（-2，-2）。

（1）求m的值；

（2）

直线AD交OC于D，交X轴于E，过B作BF⊥AD于F,若OD=OE，求

的值；

（3）

如图，P为x轴上B点左侧任一点，以AP为边作等腰直角△APM，其中PA=PM，直线MB交y轴于Q，当P在x轴上运动时，线段OQ长是否发生变化？

若不变，求其值；若变化，说明理由。

等腰直角三角形+中线模型

例题：

等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，过A作AE⊥BD于E，求证：

∠1=∠2。

变式1：

等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，点E是线段BD上一点，若∠1=∠2，求证：

AE⊥BD。

变式2：

等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，AF⊥BD于点E，交BC于点F，连接DF，求证：

∠1=∠2。

变式3：

等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D、E是AC上两点且AD=CE，AF⊥BD于点G，交BC于点F连接DF，求证：

∠1=∠2。

变式4：

等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D、E是AC上两点且AD=CE，AF⊥BD于点G，交BC于点F连接EF，求证：

∠1=∠2。

变式5：

等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D、E是AC上两点且AD=CE，AF⊥BD于点G，交BC于点F，连接EF交BD于点M，求证：

∠1=∠2。

1、如图，已知：

△ABC是等腰直角三角形，直角顶点C在X轴上，一锐角顶点B在Y轴上。

（1）、如图①若点C的坐标是（2，0），点A的坐标为（-2，-2），求AB和BC所在的直线解析式；

（2）、在

（1）问的条件下，在图①中设边AB交X轴于点F，边AC交Y轴于点E，连接EF。

求证：

∠CEB=∠AEF

（3）、如图②所示：

直角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过点A作Y轴的垂线，垂足为D，在滑动的过程中，两个结论：

①

为定值；②

为定值；其中只有一个结论是正确的，请判断出正确的结论加以证明并求出其定值。

2、如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）。

（1）

求B点坐标；

（2）若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连OD，求∠AOD的度数；

（3）过A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式

是否成立？

若成立，请证明；若不成立，说明理由。

3、已知在Rt△ABC中，AC=BC，P是BC垂直平分线MN上一动点，直线AP交BC于E，过P点后与AP关于MN成轴对称的直线交AB于D、交BC于F，连CD交PA于G。

（1）如图1，若点P移动到BC上时，E、F重合，若FD=a，CD=b，则AE=（用含a、b的式子表示）

（2）如图2，若点P移动到BC的上方时，其他条件不变，求证：

CD⊥AE；

（3）如图3，若点P移动到△ABC的内部时，其他条件不变，线段AE、CD、DF之间是否存在确定的数量关系？

请画出图形，并直接写出结论（不需证明）

正方形与等腰直角三角形

1如图：

正方形ABCD和正方形CDFG中,BH=EF,求证：

∠AFH=45°

2如图：

正方形ABCD中,AE+CF=EF，求证：

（1）∠EBF=45°

（2）BE垂直平分HF

3等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，连接AD，求证：

∠ADB＝45°。

4如图:

长方形ABCD和正方形BDGH中,AD=BE,GH=EC,连AC和DE并延长DE交AC于点P．求证∠APD=45°

5如图:

长方形ADGN和正方形DBMF中,AD=BC,BD=EC,点M,B,C在直线上,点F,D,G在直线上,连接CD,AE.求证:

∠APD=45°