第16讲巧解质数与合数问题.docx
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第16讲巧解质数与合数问题
第16讲巧解质数与合数问题
巧点睛——方法和技巧
(1)巧记100以内的质数:
2,3,5,7,又11;13和17;19,23,29;31和37;41,43,47;53,59,61;67和71;73.79.83;89.和97。
(2)“2”是最小的质数,也是唯一的偶质数;“3”是最小的奇质数。
(3)“1”这个数既不是质数也不是合数。
巧指导——例题精讲
A级基础点睛
【例1】两个质数的和是39,求这两个质数的积是多少?
分析与解两个数的和39,说明这两个数必定是一奇一偶。
又知两个数都是质数,质数中只有2是偶数,因此,另一个数一定第37。
因2+37+39,而2×37=74,所以这两个质数的积是74。
做一做1两个质数的和是99,求这两个质数的积是多少?
【例2】九个连续的自然数,它们都大于100,那么其中质数最多有多少个?
分析与解我们用不同的条件做筛子,逐步加强条件的限制,使其结果明显变化。
由于大于2的质数一定是奇数,而大于100的九个连续自然数至多只有5个是奇数,所以,质数的个数不大于5个。
我们知道:
在3个连续的奇数中至少有一个数是3的倍数,所以这5个连续奇数中至少有一个是合数。
因此,质数最多只有4个。
例如,在101至109的9个数中,质数有101,103,107,109。
答:
质数最多有4个。
做一做2在20个连续自然数中最多有几个质数?
最少有几个质数?
【例3】用0,1,2,4中的3个数能组成哪些三位质数?
分析与解用,1,2,4中的三个数组成的三位数中,个位上是0,2,4的不可能是质数,只有个位上是1的数才可能是质数。
个位上是1的三位数有:
201,241,401,421。
这四个数中,只有241,401,421,是质数。
这三个数即为所求。
做一做3用1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数组成一些质数,如果每个数字都要用到并且只用到1次,那么,这9个数字最多能组成多少个质数?
B级更上层楼
【例4】一个长方体的上面和正面的面积之和是77平方厘米,它的长、宽、高都是整数厘米,且为质数。
问:
这个长方体的体积是多少?
分析与解设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则由题意有
a×b+a×c=77,即a×(b+c)=7×11
因为a,b,c都是质数,只有将7×11分成(2+5)×11,即有a×(b+c)=11×(5+2)或11×(2+5)
所以只有a=11,b=5,c=2或a=11,b=2,c=5。
故此长方体的体积是
11×5×2=110(厘米3)
答:
这个长方体的体积是110立方厘米。
做一做4求质数a,b,c,使得abc÷(a+b+C)=5。
【例5】把33拆成若干个不同质数之和,如果要使这些质数的积最大,
分析与解首先假设可以分成五个质数之和(分成6个或6个以上质数之和不可能)。
33是奇数,因此五个质数中不能有2(否则和是偶数)。
取最小五个连续奇质数3,5,7,11,13,它们的和是39,超过33,所以,分成五个是不可能的。
假设33可以分成四个质数之和。
33是奇数,因此四个数中一定有一个偶数2,即其余三个的和是31。
显然可以找出其余三个分别是:
3,5,23;3,11,17;7,11,13;5,7,19。
在这些数中乘积最大的是7×11×13=1001。
假设33可以分成三个质数之和,只可能是3,1,17;3,11,19;3,7,23;5,11,17。
乘积均小于2×7×11×13。
33若分成两个质数之和,只可能是2和31,乘积仅为62。
故将33写成四个质数2,7,11和13的和时,它们的积最大。
做一做5把41拆成若干个不同的质数之和,有多少种不同的拆法?
将每一种拆法中拆出的那些质数相乘,得到的积中那个最小?
【例6】试找出10个连续自然数,且它们都是合数。
解设a=27720,它是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11的倍数,于是a+2,a+3,a+4,a+5,a+6,a+7,a+8,a+9,a+10,a+11都是合数,即为所求。
本题方法很多,请你想一些其他解法。
做一做6把1至8这8个自然数填入右图大圆上的小圆圈内,使任意相邻两圆圈内数的和都是质数(绕大圆圆心旋转而变成相同的填法算一种填法)。
C级勇夺冠军
【例7】27名小运动员所穿运动服的号码恰是1,2,3,…26,27这27个自然数,问这些小运动员能否站成一个圆圈,使任意两个相邻运动员号码之和都是质数?
说明理由。
分析这类问题,如果答“有”,就必须给出一个站法来;而如果答“没有”,就必须讲明理由。
本题还是要抓住的性质来研究。
解法1因为质数除了2以外都是奇数,但此27个数中任意两个的和都不可能等于2,所以如果能站站成一个圆圈的话,所得27个数均应为奇质数。
解法2同上理由,27个质数均为奇数,故它们的和也为奇数。
但此27个质数都是由1至27中某个数相加而得,于是1至27这27个数在和中出现了两次,即和应是(1+2+3+…+27)×2,为偶数。
由于奇数不能等于偶数,故他们不能站成一圈。
小结本题可以推广到一般情况,即不可能把自然数1,2,3,…,2n-1(n为整数)排成一圈,使任何相邻两数之和都是质数。
不过这27个算数数却可以排成一排,使任意其邻两数之和为质数。
例如,可作排列如下:
3,26,5,24,7,22,9,20,11,18,13,16,15,14,17,12,19,10,21,8,23,6,25,4,27,2,1
奇数从“3”开始顺写至“27”,最后接写“1”,在每两个奇数间把偶数从“2”到“26”倒写一遍即可。
此时,任意两个相邻数字之和或为29,或为31,还有一个3,均为质数。
做一做7有8个棱长是1的小正方体,每个小正方体有三组相对的面,第一组相对的面上都写着数字1,第二组相对的面上都写着数字2,第三组相对的面上都写着数字3(如图)。
现在把这个8个小正方体拼成一个棱长是2的大正方体。
问:
是否有一种拼合方式,使得大正方体每一个面上的4个数字之和恰好组成6个连锁的自然数?
巧练习——温故知新(十六)
A级冲刺名校·基础点睛
1.三个质数的和是80,则这三个质数的积最大是多少?
2.四连续自然数的积是1680,则这四个自然数中,最小的是几?
3.如果a是自然数,(a×a-4)÷7是质数,那么a的最小两个数是多少?
4.下面有3张卡片:
3,2,1,从中抽出一张、两张、三张,按任意次序排起来,得到不同的一位数、两位数、三位数。
请把所得数中的质数写出来。
5.请给出5个质数,把它们按从小到大的顺序排列起来,使每相邻两数的差都是6。
B级培优竞赛·更上层楼
6.小芳参加五年级数字竞赛,她对同学说:
“我的分数、名次和我的年龄的连乘积正好是2328。
”请你推算一下,她的成绩、名次和年龄各是多少?
7.自然数1111155555是两个连续奇数的乘积,则这两个连续奇数的和是多少?
8.船夫用几只船分三次把90名同学渡过河去。
已知每只船载的人数相等,并且至少载2人,问:
每次应有多少只船渡河?
每只船载多少人?
9.把232323的全部质因数的和表求为AB,那么A×B×AB积是多少?
10.在100以内与77互质的所有奇数之和是多少?
C级(选学)决胜总决赛·勇夺冠军
11.如下图,四个小三角形的顶点处有六个圆圈。
如果在这些圆圈内分别填上六个质数,它们的和是20,而且每个小三角形三个顶点上填的数的和相等,问:
六个质数的积是多少?
12.把10至40之间的质数分别填入下图八个圆中,使图中用箭头连接的四个数的和都相等。
13.用0,1,2,…,9这10个数字组成6个质数,每个数字至多用1次,每个质数都不大一500,那么共有种不同的组成6个质数的方法。
请将所有的方法都列出来。
14.小于10且分母为36的最简分数共有多少个?
巧总结
本节我的收获是:
不足之处有:
智慧泉
完美长方形
1923年,Lwow大字S.Ruziewicz教授提出这样一个问题:
一个长方形能否被分割成一些大小不等的正方形?
此问题引起了学生们的极大兴趣,都在努力探求答案,但很长时间过去了,他们都未能给出肯定(找出来)或否定(证明它不可能)的回答。
1925年,问题终于有了突破性的进展:
Z.Moron的到了一种把长方形分割成大小不同的正方形的方法,且给出了两个长方表的分割作为例子。
这种长方形被人称为完美长方形,至此,人们开始知道完美长方形的存在,并逐步深入探讨该问题。
1983年,剑桥大学三一学院的四位大学生的R.L.Brooks,C.A.B.Smith,A.H.Stone和W.T.Tutte(他们后来都在了“图论”或“组合数学”的专家),他们提出的构造完美长方形的方法奠定了问题研究的理论基础,他们把它和电路网络理论联系起来,并且借助于图论的方法,从而加速问题的解决进程。
1940年,Brooks等人给出了9~11阶(长方形被正方形剖分的个数)完美长方形的明细表,且证明了:
完美长方形的最低阶数是9。
9阶完美长方形公有两种(如图1和图2)
1960年,Bouwkamp等人借助电子计算机给出了全部9~15阶完美长方形。
完美长方形的存在,引发人们去寻找完美正方形。
这个问题最早由Moron提出(提说Ruziewicz也曾考虑过这个问题,只是稍晚于Moron),其复杂程度和困难可想而知,有兴趣的同学可以查阅相关文献。
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