小学状元子弟总结第一讲速算与巧算.docx
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小学状元子弟总结第一讲速算与巧算
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在进行加减运算时,为了又快又准确,除了要熟练地掌握计算法则外,还需要掌握一些巧算方法。
加减法的巧算主要是“凑整”,就是将算式中的数分成若干组,使每组的运算结构都是整十、整百、整千……的数,再将各组的结果求和。
这种“化零为整”的思想是加减法巧算的基础
第1讲速算与巧算
2019年小学状元子弟总结2019年小学状元子弟总结2019年小学状元子弟总结
在进行加减运算时,为了又快又准确,除了要熟练地掌握计算法则外,还需要掌握一些巧算方法。
加减法的巧算主要是“凑整”,就是将算式中的数分成若干组,使每组的运算结构都是整十、整百、整千……的数,再将各组的结果求和。
这种“化零为整”的思想是加减法巧算的基础
一、先讲加法的巧算,加法具有以下两个运算律:
加法交换律:
两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变。
即:
a+b=b+a
其中,a,b各表示任意数字。
例如,5+6=6+5
一般地,多个数相加,任意改变相加的顺序,其和不变。
例如,
a+b+c+d=d+b+c+a=…
其中,a,b,c,d各表示任意一数。
加法结合律:
三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数,或者,先把后两个数相加,再与第一个数相加,它们的和不变。
即:
a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)
其中,a,b,c,各表示任意一数。
例如:
4+9+7=(4+9)+7=4+(9+7)
一般地,多个数相加,可先对其中几个数相加,再与其他数相加。
把加法交换律和加法结合律综合起来运用,就得到加法的一些巧算方法。
1、凑整法。
先把加在一起为整十、整百、整千……的加数加起来,然后再与其他的数相加。
例1:
计算
(1)23+54+18+47+82
(2)1350+49+68+51+32+1650
2、借数凑整法
有些题目直观上凑数不明显,这时可“借数”凑整。
例如,计算976+85,可在85中借出24,即把85拆分成24+61,这样就可以先用976加上24,“凑”成1000,然后再加61。
例2:
计算
(1)57+64+238+46
(2)4993+3996+5997+848
二、减法和加减法混合运算的巧算。
加、减法有如下一些重要性质:
1、在连减或加、减混合运算中,如果算式中没有括号,那么计算时可以带着运算符号“搬家”。
例如:
a-b-c=a-c-b,a-b+c=a+c-b
2、在加、减法混合运算中,去括号时,如果括号前面是“+”号,那么去掉括号后,括号内的数的运算符号不变,如果括号前面是“-”号,那么去掉括号后,括号内的数的运算符号“+”变为“-”,“-”变为“+”。
例如:
a+(b-c)=a+b-c
a-(b+c)=a-b-c
a-(b-c)=a-b+c
3、在加、减法混合运算中,添括号时,如果添加的括号前面是“+”号,那么括号内的数原来的运算符号不变,如果添加的括号前面是“-”号,那么括号内的数的原来的运算符号“+”变为“-”,“-”变为“+”。
例如:
a+b-c=a+(b-c)
a-b+c=a-(b+c)
a-b-c=a-(b+c)
灵活运用这些性质,可得减法或加、减混合运算的一些简便方法。
三、分组凑整法
例3计算
(1)875-364-236
(2)1847-1928+628-136-64
(3)1348-234-76+2234-48-24
例4计算
(1)512-382
(2)6854-876-97
(3)397-146+288-339
四、加法中的巧算
1.什么叫“补数”?
两个数相加,若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…,就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。
如:
1+9=10,3+7=10, 2+8=10,4+6=10, 5+5=10。
又如:
11+89=100,33+67=100, 22+78=100,44+56=100, 55+45=100,
在上面算式中,1叫9的“补数”;89叫11的“补数”,11也叫89的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。
对于一个较大的数,如何能很快地算出它的“补数”来呢?
一般来说,可以这样“凑”数:
从最高位凑起,使各位数字相加得9,到最后个位数字相加得10。
如:
87655→12345,46802→53198, 87362→12638,…
下面讲利用“补数”巧算加法,通常称为“凑整法”。
2.互补数先加。
例1巧算下面各题:
①36+87+64
②99+136+101
③1361+972+639+28
解:
①式=(36+64)+87
=100+87=187
②式=(99+101)+136
=200+136=336
③式=(1361+639)+(972+28)
=2000+1000=3000
3.拆出补数来先加。
例2①188+873
②548+996
③9898+203
解:
①式=(188+12)+(873-12)(熟练之后,此步可略)
=200+861=1061
②式=(548-4)+(996+4)
=544+1000=1544
③式=(9898+102)+(203-102)
=10000+101=10101
4.竖式运算中互补数先加。
如:
五、减法中的巧算
1.把几个互为“补数”的减数先加起来,再从被减数中减去。
例3①300-73-27
②1000-90-80-20-10
解:
①式=300-(73+27)
=300-100=200
②式=1000-(90+80+20+10)
=1000-200=800
2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。
例4①4723-(723+189)
②2356-159-256
解:
①式=4723-723-189
=4000-189=3811
②式=2356-256-159
=2100-159
=1941
3.利用“补数”把接近整十、整百、整千…的数先变整,再运算(注意把多加的数再减去,把多减的数再加上)。
例5①506-397
②323-189
③467+997
④987-178-222-390
解:
①式=500+6-400+3(把多减的3再加上)
=109
②式=323-200+11(把多减的11再加上)
=123+11=134
③式=467+1000-3(把多加的3再减去)
=1464
④式=987-(178+222)-390
=987-400-400+10=197
六、加减混合式的巧算
1.去括号和添括号的法则
在只有加减运算的算式里,如果括号前面是“+”号,则不论去掉括号或添上括号,括号里面的运算符号都不变;如果括号前面是“-”号,则不论去掉括号或添上括号,括号里面的运算符号都要改变,“+”变“-”,“-”变“+”,即:
a+(b+c+d)=a+b+c+d
a-(b+a+d)=a-b-c-d
a-(b-c)=a-b+c
例6①100+(10+20+30)
②100-(10+20+3O)
③100-(30-10)
解:
①式=100+10+20+30
=160
②式=100-10-20-30
=40
③式=100-30+10
=80
例7计算下面各题:
①100+10+20+30
②100-10-20-30
③100-30+10
解:
①式=100+(10+20+30)
=100+60=160
②式=100-(10+20+30)
=100-60=40
③式=100-(30-10)
=100-20=80
2.带符号“搬家”
例8计算325+46-125+54
解:
原式=325-125+46+54
=(325-125)+(46+54)
=200+100=300
注意:
每个数前面的运算符号是这个数的符号.如+46,-125,+54.而325前面虽然没有符号,应看作是+325。
3.两个数相同而符号相反的数可以直接“抵消”掉
例9计算9+2-9+3
解:
原式=9-9+2+3=5
4.找“基准数”法
几个比较接近于某一整数的数相加时,选这个整数为“基准数”。
例10计算78+76+83+82+77+80+79+85
=640
七、乘法中的巧算
1.两数的乘积是整十、整百、整千的,要先乘.为此,要牢记下面这三个特殊的等式:
5×2=10 25×4=100 125×8=1000
例1计算①123×4×25
②125×2×8×25×5×4
解:
①式=123×(4×25)
=123×100=12300
②式=(125×8)×(25×4)×(5×2)
=1000×100×10=1000000
2.分解因数,凑整先乘。
例2计算①24×25
②56×125
③125×5×32×5
解:
①式=6×(4×25)
=6×100=600
②式=7×8×125=7×(8×125)
=7×1000=7000
③式=125×5×4×8×5=(125×8)×(5×5×4)
=1000×100=100000
3.应用乘法分配律。
例3计算①175×34+175×66
②67×12+67×35+67×52+6
解:
①式=175×(34+66)
=175×100=17500
②式=67×(12+35+52+1)
=67×100=6700
(原式中最后一项67可看成67×1)
例4计算①123×101②123×99
解:
①式=123×(100+1)=123×100+123
=12300+123=12423
②式=123×(100-1)
=12300-123=12177
4.几种特殊因数的巧算。
例5一个数×10,数后添0;
一个数×100,数后添00;
一个数×1000,数后添000;
以此类推。
如:
15×10=150
15×100=1500
15×1000=15000
例6一个数×9,数后添0,再减此数;
一个数×99,数后添00,再减此数;
一个数×999,数后添000,再减此数;…
以此类推。
如:
12×9=120-12=108
12×99=1200-12=1188
12×999=12000-12=11988
例7一个偶数乘以5,可以除以2添上0。
如:
6×5=30
16×5=80
116×5=580。
例8一个数乘以11,“两头一拉,中间相加”。
如2222×11=24442
例9一个偶数乘以15,“加半添0”.
24×15
=(24+12)×10
=360
因为
24×15
=24×(10+5)
=24×(10+10÷2)
=24×10+24×10÷2(乘法分配律)
=24×10+24÷2×10(带符号搬家)
=(24+24÷2)×10(乘法分配律)
例10个位为5的两位数的自乘:
十位数字×(十位数字加1)×100+25
如15×15=1×(1+1)×100+25=225
25×25=2×(2+1)×100+25=625
35×35=3×(3+1)×100+25=1225
45×45=4×(4+1)×100+25=2025
55×55=5×(5+1)×100+25=3025
65×65=6×(6+1)×100+25=4225
75×75=7×(7+1)×100+25=5625
85×85=8×(8+1)×100+25=7225
95×95=9×(9+1)×100+25=9025
还有一些其他特殊因数相乘的简便算法,有兴趣的同学可参看《算得快》一书。
八、除法及乘除混合运算中的巧算
1.在除法中,利用商不变的性质巧算
商不变的性质是:
被除数和除数同时乘以或除以相同的数(零除外),商不变.利用这个性质巧算,使除数变为整十、整百、整千的数,再除。
例11计算①110÷5②3300÷25
③44000÷125
解:
①110÷5=(110×2)÷(5×2)
=220÷10=22
②3300÷25=(3300×4)÷(25×4)
=13200÷100=132
③44000÷125=(44000×8)÷(125×8)
=352000÷1000=352
2.在乘除混合运算中,乘数和除数都可以带符号“搬家”。
例12864×27÷54
=864÷54×27
=16×27
=432
3.当n个数都除以同一个数后再加减时,可以将它们先加减之后再除以这个数。
例13①13÷9+5÷9②21÷5-6÷5
③2090÷24-482÷24
④187÷12-63÷12-52÷12
解:
①13÷9+5÷9=(13+5)÷9
=18÷9=2
②21÷5-6÷5=(21-6)÷5
=15÷5=3
③2090÷24-482÷24=(2090-482)÷24
=1608÷24=67
④187÷12-63÷12-52÷12
=(187-63-52)÷12
=72÷12=6
4.在乘除混合运算中“去括号”或添“括号”的方法:
如果“括号”前面是乘号,去掉“括号”后,原“括号”内的符号不变;如果“括号”前面是除号,去掉“括号”后,原“括号”内的乘号变成除号,原除号就要变成乘号,添括号的方法与去括号类似。
即a×(b÷c)=a×b÷c从左往右看是去括号,
a÷(b×c)=a÷b÷c从右往左看是添括号。
a÷(b÷c)=a÷b×c
例14①1320×500÷250
②4000÷125÷8
③5600÷(28÷6)
④372÷162×54
⑤2997×729÷(81×81)
解:
①1320×500÷250=1320×(500÷250)
=1320×2=2640
②4000÷125÷8=4000÷(125×8)
=4000÷1000=4
③5600÷(28÷6)=5600÷28×6
=200×6=1200
④372÷162×54=372÷(162÷54)
=372÷3=124
⑤2997×729÷(81×81)=2997×729÷81÷81
=(2997÷81)×(729÷81)=37×9
=333
要求:
1.掌握用“凑整”的方法进行简单的计算
2.根据减法的性质,简化运算。
1.几个数相加,利用移位凑整的方法,将加数中能凑成整十,整百,整千等的数交换顺序,先进行凑整,然后再与其他一些加数相加,得出结果。
2.在加减混合算式与连减算式中,将减数先结合起来,集中一次相减,可简化运算。
3.几个相近的数相加,可以选择其中一个数,最好是整十,整百等的数为“基准数”。
再把大于基准数的数写成基准数与一个数的和,小于基准数的数写成基准数与一个数的差,将加法改为乘法计算。
4.几个数相加减时,如果不能直接“凑整”,就可以利用加整减零,减整加零或变更被减数。
)
例题1计算
(1)3326+303
(2)574+498
方法一:
先看做整十,整百,整千的数进行计算。
(1)3326+303
(2)574+498
=3326+300+3=574+500-2
=3626+3=1074-2
=3629=1072
方法二:
根据“和”的变化规律:
一个加数增加多少,另一个加数就减少多少,那么和不变,来进行简算。
(1)3326+303
(2)574+498
=(3326+3)+(303-3)=(574-2)+(498+2)
=3329+300=572+500
=3629=1072
特别注意:
在计算时,将接近整十,整百,整千的数看成整十,整百,整千的数进行计算,然后根据和不变的规律,多加的要减掉,少加的要补上。
例题2计算487+321+113+479
方法:
487和113,321和479分别可以凑成整百数。
我们可以通过交换位置的方法,487+113得600,321+479得800.
487+321+113+479
=(487+113)+(321+479)
=600+800=1400
特别注意:
这道题要运用凑整的思路,将487和113,321和479分别凑成整百数,便于计算。
注意:
先算的要加括号。
例题3计算9998+998+98+8
方法:
本题可采用凑整的方法,将9998,998,98分别凑成10000,1000,100.而凑成这些数可从8里面借用。
9998+998+98+8
=(9998+2)+(998+2)+(98+2)+2
=__________________________(接下来你们来试一下)
=————————————
特别注意:
对于接近整百,整千的数,应先将其凑成整数,然后再将多加的数从后面去掉。
例题4计算674+367-174
方法:
根据带符号“搬家”的规则,把能凑整的数先进行计算。
674+367-174
=674-174+367
=500+367
=867
特别注意:
为了凑数,有时需要带符号“搬家”,这样会使计算简便。
#待定例题5计算874-(379+274)+579
方法:
在做这道题时,可以先将874-(379+274)改写成连减的形式,即874-379-274。
然后根据带符号“搬家”的规则,先算能凑整的数。
874-(379+274)+579
=(改成连减的形式)
=(带符号“搬家”,先算能凑整的数)
=
特别注意:
通常情况下,根据减法的性质,可以把减去两个数的和改写成连减的形式,再把能凑整的数先进行计算。
速算与巧算小结
知识点重点难点
1.加法的简便运算.
(1)A+B=B+A;
(2)(A+B)+C=A+(B+C);
2.减法的简便运算.
(1)A-B-C=A-(B+C);
(2)A-B+C=A-(B-C).
加减法同级运算,括号外面是减号的,添上或去掉括号,括号里的符号:
加号要变成减号、减号要变成加号。
当所有括号都去掉后,可以将数与前面的符号一起移动,第一个数前面为加号。
3.乘法的简便运算。
(1)A×B=B×A;
(2)A×B×C=A×B×C;
(3)(A±B)×C=A×C±B×C;
4.除法的简便运算.
(1)A÷B÷C=A÷(B×C);
(2)A÷B×C=A÷(B÷C);
(3)A÷B=(A×C)÷(B×C)
乘除法同级运算,括号外面是除号的,添上或去掉括号,括号里的符号:
乘号要变成除号、除号要变成乘号。
当所有括号都去掉后,可以将数与前面的符号一起移动,第一个数前面为乘号。
例题精讲
例125+53+75+78+47=?
例291+90+88+92+93+84+85+95+97=?
例39999+4+97+998+95+7=?
例41200-856-144=?
例57869-(234+869)=?
例61943-(132-57)=?
例7459+78-259+22=?
例8936+(296-636)-596=?
例93333330000-5769=?
例101-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11-12+13-14+15=?
例11(125×78)×8=?
例12(125+78)×8=?
例13250×64×125×9=?
例14950÷25=?
例158442÷(21×67)=?
例167600÷(38÷25)=?
例17291÷50+9÷50=?
例18999×222+333×334=?
例19765×963963-765765×963=?
例202239+239×999=?
例21760÷(38÷125)×80=?
例22(2001+2000×2002)÷(2001×2002-1)=?
例23(1234+2341+3421+4123)÷5=?
例题精讲(答案)
例125+53+75+78+47=?
解原式=(25+75)+(53+47)+78=100+100+78=278
例291+90+88+92+93+84+85+95+97=?
解原式=90×9+(1+0-2+2+3-6-5+5+7)=810+5=815
例39999+4+97+998+95+7=?
解原式=(9999+1)+(97+3)+(998+2)+(95+5)=10000+100+1000+100=11200
例41200-856-144=?
解原式=1200-(856+144)=1200-1000=200
例57869-(234+869)=?
解原式=7869-234-869=7869-869-234=7000-234=6766
例61943-(132-57)=?
解原式=1943-132+57=1943+57-132=2000-132=1868
例7459+78-259+22=?
解原式=(459-2590)+(78+22)=200+100=300
例8936+(296-636)-596=?
解原式=936+296-636-596=936-636-596+296=(936-636)-(596-296)=300-300=0
例93333330000-5769=?
解原式=3333300000+(30000-5769)=3333300000+24231=3333324231
例101-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11-12+13-14+15=?
解原式=1+(3-2)+(5-4)+(7-6)+(9-8)+(11-10)+(13-12)+(15-14)=8
例11(125×78)×8=?
解原式=125×78×8=125×8×78=1000×78=78000
例12(125+78)×8=?
解原式=125×8+78×8=1000+624=1624
例13250×64×125×9=?
解原式=(250×4)×(125×8)×(9×2)=1000×1000×18=18000000
例14950÷25=?
解原式=(950×4)÷(25×4)=3800÷100=38
例158442÷(21×67)=?
解原式=8442÷21÷67=402
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