数学建模B题走遍全中国.docx
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数学建模B题走遍全中国
B题:
走遍全中国
摘要
走遍全中国问题是一个旅行商问题,我们通过借助多种数学软件的优势挖掘出大量数据潜在的信息,并将其合理运用,建立模型,使用蚁群算法等来解决问题。
本文主要解决旅行商问题,应用蚁群算法,通过MATLAB编写程序,最终计算出旅行商最短路径。
最后画出最短路线图,以直观方式展现在读者面前。
旅行商问题(TSP)是一种典型的组合最优化问题,可描述为某旅行商欲往n个城市推销货物,从某个城市出发,沿途经过各个城市一次后
返回出发城市,要确定一条行走的路线,计算途径个城市的最短距离,即给定n个城市和两两城市之间的距离,确定一条经过每个城市并且仅经过一次的路线,要求总路径最短。
对于城市数目为n的地图,共有n种不同的路径,城市越
多,可能的路径也越多。
而且路径的增加速度非常快且是非线形的。
当n很大时,去尝试每一种可能的路径是不可能的,所以需要设计一个有效的算法去寻找最短的路径[1,2]。
蚁群算法原理
基于蚁群算法,首先引入TSP中常用符号:
m为蚁群中蚂蚁数量;bi(t)为t时刻位于城市i的蚂蚁个数,且m=n
i=1Σbi(t);dij为城市
i和j之间的距离;nij为边(i,j)的能见度,反映由城市i转移到城市j的启发程度;τij为边(i,j)上的信息素轨迹强度;△tij为蚂蚁k在边(i,j)上留下的单位长度轨迹信息素量;Pkij为蚂蚁k的转移概率;j是尚未访问的城市。
在初始时刻,各条路径上的信息素量相等,设τij(0)=C,(C为常数),蚂蚁k(k=1,2,…,m)被随机放到某个城市,然后根据各条路径上的信息素
量选择下一个城市。
在t时刻,的城市;α和β为2个参数,分别反映蚂蚁在运动过程中所积累的信息和启发信息在蚂蚁选择路径中的相对重要性。
为了阻止蚂蚁重复访问,为每只蚂蚁都设计一个被称为禁忌表(tabulist)的数据结构。
经过n个时刻,蚂蚁完成一次循环,各路径上信息素“蒸发”和增加的量根据下式调整:
式中:
ρ表示信息素蒸发后的剩余,则(1-ρ)为衰减系数,表示信息素的减少;表示信息素增加的量,在式
(1)中表示第k只蚂蚁在时刻dij留在路径(t,t+1)上的信息素量;,Q为常数,L(k)为第k个蚂蚁爬过路径(i,j)的长度,等于dij的值。
至此,一个蚂蚁的循环过程结束,由此反迭代多次,最终得出优化结果。
关键词:
旅行商问题蚁群算法经纬度MAYTLAB程序层次分析综合评价
问题重述
周游先生退休后想到各地旅游。
计划走遍全国的省会城市、直辖市、、澳门、台北。
请你为他按下面要求制定出行方案:
1.按地理位置(经纬度)设计最短路旅行方案;
2.如果2010年5月1日周先生从市出发,每个城市停留3天,可选择航空、铁路(快车卧铺或动车),设计最经济的旅行互联网上订票方案;
3.要综合考虑省钱、省时又方便,设定你的评价准则,建立数学模型,修订你的方案;
4.对你的算法作复杂性、可行性与误差分析;
5.关于旅行商问题提出对你自己所采用的算法的理解与评价。
一、问题的分析
组合优化是运筹学的重要分支,主要通过对数学方法的研究寻找离散事件的最优编排、分组、次序或筛选等。
这类问题通常随着问题规模的扩大,问题空间呈现组合爆炸特征,无法用常规的方法求解。
旅行商问题(TSP)就是一个经典的组合优化问题,问题要求求得一条遍历所有城市的最短回路,属于NP难问题。
随着城市数目增多,求解问题的空间、时间复杂度将呈指数级增长,若使用穷举搜索法求解,在现有条件下是无法实现的。
20世纪90年代,欧洲学者DorigoMacro等人从生物进化论中得到启发,通过模拟自然界中蚂蚁集体寻找食物源的行为(群集智能)提出了蚁群算法(AntColonyOptimization),该算法最早成功地应用于求解TSP问题。
后来又用于解决其他组合优化问题,并取得了较好的效果。
然而,蚁群算法本质上和模拟退火算法、遗传算法等随机搜索算法一样,存在扩大搜索空间与寻找最优解之间的矛盾(尤其是针对大规模问题),这意味着蚂蚁要选择的下一个移动的点的可选围很大,计算时间自然也要增加,而构造候选集就可以把运算时间控制在一定的围。
目前一般都采用最近邻居表(NearestNeighborList)来构造候选集,但这种方法没有考虑问题的几何结构,而且存在着一些风险会阻止最优解的生成,出现解的退化。
本文在蚁群算法的基础上,针对以上不足和TSP问题的几何特点,提出了象限近邻表构造候选集的方法,限定了每只蚂蚁下一步移动所能选择的城市,并且利用所构造的候选集,初始化信息素数量,从而大大缩减了解空间,使蚂蚁搜索空间集中于最优解附近。
本文算法在对TSPLIB的实验结果表明其搜索精度和搜索时间都有较好表现。
目前,蚁群算法己有多种模型,应用较多的有AntSystem(AS)[1],AntColonySystem(ACS)[1.2],MAXM1NAS(MMAS)[3],其主要思想都是模拟蚂蚁觅食的群集智能。
蚂蚁运动时会在路径上释放一种可称之为“信息素”(Pheromone)的物质,通过信息素来交换“路径信息”使整个蚁群的行为具有很高的自组织性,蚂蚁运动形成一个正反馈机制,最终通过蚁群的集体催化行为找出最优路径。
蚁群算法主要包括两个基本阶段:
适应阶段和协作阶段。
在适应阶段,各候选解根据积累的信息素不断调整自身结构:
路上经过的蚂蚁越多,信息素数量越大,则该路径越容易被选择;时间越长,信息素数量越少。
在协作阶段,候选解之间通过信息交流,以期望产生性能更好的解。
这里以ACS作为蚁群算法的一个代表,其结果可普与到其他蚁群算法
二、问题的提出
周游先生退休后想到各地旅游。
计划走遍全国的省会城市、直辖市、、澳门、台北。
请你为他按下面要求制定出行方案:
1.按地理位置(经纬度)设计最短路旅行方案;
2.如果2010年5月1日周先生从市出发,每个城市停留3天,可选择航空、铁路(快车卧铺或动车),设计最经济的旅行互联网上订票方案;
4.要综合考虑省钱、省时又方便,设定你的评价准则,建立数学模型,修订你的方案;
4.对你的算法作复杂性、可行性与误差分析;
5.关于旅行商问题提出对你自己所采用的算法的理解与评价
三、模型的假设,符号说明
(1)市场的情况,所以只能从有限的市场调查数据中来获取,另外其他类学科的统计信息对整个市场的影响很微小,所以我们可以将其忽略,以减少分析的复杂度;
(2)在求解不同性质的问题时,蚁群算法的模型也有所不同,但主要思想都是生成一定数量的蚂蚁,通过每只蚂蚁搜索路径建立可行解。
先将蚂蚁随机放置在若干节点上,每只蚂蚁从初始节点出发,根据路径上信息素浓度和启发信息以某种概率策略选择下一个节点,直到建立可行解;
(3)每只蚂蚁根据解的优劣程度,更新路径上的信息素。
如此周而复始,直到蚁群找到最优解;
(4)以n个城市的旅行商问题(TravelingSalesmanProblem,TSP)为例来说明基本蚁群算法(AntColonySystem,ACS)[8]。
TSP是指旅行商按一定顺序访问每一个城市,每个城市仅能访问一次,最后回到起点,且路径最短;
(5)TSP的实质是在n个节点的完全图上找到一条最短的哈密顿(Hamilton)路径,是一个易于描述却难于处理的NP难题;
(6)设m是蚁群中蚂蚁的数量,dij(i,j=1,2,…n)表示城市i和城市j之间的距离,表示时刻在城市i与城市j路径上信息素的浓度。
初始时刻,各条路径上信息素的浓度相等,(C为常数)。
蚂蚁通过概率策略选择下一个要访问的城市,令表示在时刻蚂蚁k从城市i转移到城市j的概率;
(7)假设周先生自带充足食物,并不考虑住宿问题;
四、模型的建立
各城市经纬度分布:
城市
经度
纬度
e116°28′
n39°54′
e121°29′
n31°14′
e117°11′
n39°09′
e106°32′
n29°32′
e126°41′
n45°45′
e125°19′
n43°52′
e123°24′
n41°50′
呼和浩特
e111°48′
n40°49′
e114°28′
n38°02′
e112°34′
n37°52′
e117°
n36°38′
e113°42′
n34°48′
e108°54′
n34°16′
e103°49′
n36°03′
e106°16′
n38°20′
e101°45′
n36°38′
乌鲁木齐
e87°36′
n43°48′
e117°18′
n31°51′
e118°50′
n32°02′
e120°09′
n30°14′
e113°
n28°11′
e115°52′
n28°41′
e114°21′
n30°37′
e104°05′
n30°39′
e106°42′
n26°35′
e119°18′
n26°05′
台北
e121°31′
n25°03′
e113°15′
n23°08′
e110°20′
n20°02′
e108°20′
n22°48′
e102°41′
n25°
e91°10′
n29°40′
e114°10′
n22°18′
全国各大城市所处位置
中国当前火车车次
车次
类型
始发站
始发时间
到站时间
查询站
开车时间
终点站
终到时间
2007
普快
16:
18
00:
13
00:
28
07:
51
2051
空调普快
12:
15
01:
09
01:
21
06:
52
2017
普快
12:
27
01:
18
01:
36
07:
11
K7056/K7053
快速
密山
13:
00
02:
13
02:
24
05:
42
2008
普快
19:
20
02:
15
02:
31
09:
45
1302
空调普快
满洲里
13:
33
02:
22
02:
51
21:
40
K265
空调快速
12:
38
03:
25
03:
45
09:
07
1489
空调普快
11:
51
03:
17
03:
52
11:
08
2124/2125
普快
15:
58
03:
44
04:
03
13:
27
2156/2157
普快
乌兰浩特
20:
58
04:
22
04:
22
04:
22
K339
空调快速
12:
51
04:
22
04:
37
11:
41
6601/6604
普客
东
04:
05
04:
20
04:
40
立志
11:
58
6229
普客
东
04:
14
04:
29
04:
49
乌伊岭
21:
28
1301
空调普快
10:
03
04:
48
05:
03
满洲里
18:
24
T47
空调特快
17:
08
05:
00
05:
16
07:
54
K929
空调快速
16:
33
05:
18
05:
34
12:
41
6202
普客
东
05:
12
05:
27
05:
38
五家
06:
21
K546/K547
空调快速
20:
46
05:
28
05:
44
09:
10
K7026
快速
七台河
19:
46
05:
36
05:
53
东
06:
08
4225
空调普快
山海关
16:
35
05:
57
05:
57
05:
57
2195
空调普快
19:
44
05:
57
05:
57
05:
57
K7076
空调快速
鸡西
21:
25
05:
58
05:
58
05:
58
K7018
快速
乌伊岭
18:
12
05:
36
06:
00
东
06:
25
4140
普快
21:
10
05:
42
06:
02
东
06:
17
4138
普快
双鸭山
20:
00
06:
05
06:
05
06:
05
4191/4194
普快
绥芬河
20:
10
05:
47
06:
10
满洲里
21:
15
T129
空调特快
20:
48
06:
03
06:
19
07:
41
K7098/K7095/K7094
快速
海拉尔
06:
23
06:
07
06:
24
东
07:
00
1546/1547
普快
11:
03
06:
29
06:
29
06:
29
6227
普客
06:
36
06:
36
06:
36
一面坡
10:
55
K552/K553
空调快速
13:
05
06:
38
06:
38
06:
38
4031
普快
东
06:
00
06:
15
06:
41
19:
34
K7034
空调快速
20:
30
06:
25
06:
47
东
07:
20
1122/1123
普快
14:
31
06:
57
06:
57
06:
57
K7005
空调快速
东
06:
20
06:
35
07:
00
12:
53
K7092
空调快速
满洲里
19:
00
06:
38
07:
03
东
07:
18
Z15
空调直达
21:
20
07:
04
07:
04
07:
04
K7022/K7020
快速
鹤北
20:
20
06:
51
07:
07
东
07:
26
L7220
普客
07:
08
07:
08
07:
08
平房
07:
45
Z1
空调直达
21:
14
07:
10
07:
10
07:
10
6203
普客
双城堡
05:
35
07:
19
07:
19
07:
19
K7050
空调快速
加格达奇
20:
26
07:
21
07:
21
07:
21
T261
空调特快
21:
54
07:
28
07:
28
07:
28
T5001
空调特快
07:
30
07:
30
07:
30
09:
57
K7024
空调快速
绥芬河
21:
18
07:
26
07:
38
东
07:
58
K7032
快速
05:
55
07:
38
07:
38
07:
38
T236/T237
空调特快
东
18:
20
07:
42
07:
42
07:
42
6208
普客
07:
45
07:
45
07:
45
双城堡
10:
03
K7011
空调快速
07:
46
07:
46
07:
46
亚布力南
10:
49
2035/2038
普快
图们
19:
50
07:
44
08:
04
东
08:
25
6201
普客
五家
06:
52
08:
09
08:
09
08:
09
K7001
空调快速
东
07:
27
08:
00
08:
15
12:
55
T5021
空调特快
东
07:
22
08:
05
08:
18
10:
38
T17
空调特快
21:
26
08:
26
08:
26
08:
26
K7036
空调快速
21:
20
08:
07
08:
28
东
08:
52
T181/T184
空调特快
08:
34
08:
34
08:
34
汉口
12:
09
T155/T158
空调特快
08:
45
08:
45
08:
45
07:
54
1450/1451
空调普快
日照
05:
10
08:
38
08:
54
14:
50
D28
动车组
08:
58
08:
58
08:
58
17:
10
K7015
快速
东
08:
17
08:
37
08:
59
12:
37
K7062/K7063
快速
04:
56
08:
43
09:
02
16:
53
D178
动车组
09:
06
09:
06
09:
06
17:
44
2624
空调普快
满洲里
19:
57
08:
57
09:
16
21:
38
4074
普快
05:
34
09:
18
09:
18
09:
18
1324/1325
空调普快
武昌
17:
20
09:
28
09:
28
09:
28
4132
普快
前进镇
18:
10
09:
18
09:
30
东
10:
00
K7028
快速
密山
21:
04
09:
20
09:
32
东
09:
47
1171/1174
空调普快
09:
33
09:
33
09:
33
13:
22
1521
空调普快
16:
08
09:
35
09:
35
09:
35
4075
普快
09:
38
09:
38
09:
38
嫩江
18:
07
1524/1525
空调普快
10:
21
09:
42
09:
42
09:
42
K55/K58
空调快速
09:
47
09:
47
09:
47
17:
43
6214
普客
让湖路
05:
10
09:
27
09:
50
东
10:
15
T5002
空调特快
07:
29
09:
57
09:
57
09:
57
6254
普客
06:
35
09:
40
10:
00
东
10:
35
2155/2158
普快
10:
00
10:
00
10:
00
乌兰浩特
18:
18
L7219
普客
平房
08:
40
09:
55
10:
03
东
10:
18
T5003
空调特快
10:
20
10:
20
10:
20
12:
47
1523/1526
空调普快
10:
31
10:
31
10:
31
07:
25
6233
普客
五常
07:
05
10:
20
10:
35
东
10:
50
K7082
快速
红
20:
29
10:
48
10:
48
10:
48
K701/K704
空调快速
11:
45
11:
45
11:
45
15:
57
K7058/K7060
快速
满洲里
20:
37
11:
30
11:
50
东
12:
05
4024/4025
普快
06:
33
11:
40
12:
05
20:
27
K7002
空调快速
07:
43
12:
05
12:
05
12:
05
2510
普快
08:
18
11:
50
12:
10
北
18:
55
T5004
空调特快
10:
22
12:
50
12:
50
12:
50
2015
普快
江北
07:
11
12:
52
12:
52
12:
52
D173
动车组
北
08:
55
13:
02
13:
02
13:
02
K7112/K7109
快速
06:
33
12:
41
13:
02
北安
18:
48
K20
快速
满洲里
01:
01
12:
40
13:
04
05:
32
K40
空调快速
09:
04
12:
40
13:
04
05:
32
T5005
空调特快
13:
10
13:
10
13:
10
15:
36
D174
动车组
13:
18
13:
18
13:
18
北
17:
24
K7006
空调快速
07:
29
13:
20
13:
20
13:
20
T5022
空调特快
11:
04
13:
25
13:
25
13:
25
K129/K132
快速
江北
08:
19
13:
13
13:
28
17:
10
K7003
空调快速
13:
30
13:
30
13:
30
17:
52
1545/1548
普快
13:
33
13:
33
13:
33
09:
05
K7007
空调快速
13:
44
13:
44
13:
44
19:
33
T5023
空调特快
13:
46
13:
46
13:
46
16:
06
K7110/K7111
快速
北安
06:
42
13:
39
14:
03
20:
07
K7046
空调快速
讷河
07:
49
14:
05
14:
05
14:
05
K7045
空调快速
14:
27
14:
27
14:
27
讷河
19:
54
2016
普快
14:
35
14:
35
14:
35
江北
19:
53
1416/1417
普快
12:
36
14:
36
14:
36
14:
36
1323/1326
空调普快
14:
40
14:
40
14:
40
武昌
10:
03
K7042
空调快速
漠河县
19:
44
14:
25
14:
43
东
14:
58
2509
普快
07:
17
14:
24
14:
48
18:
28
K551/K554
空调快速
14:
53
14:
53
14:
53
08:
31
1470/1471
空调普快
13:
58
14:
56
14:
56
14:
56
K130/K131
快速
11:
11
14:
46
15:
02
江北
20:
23
K39
空调快速
23:
00
14:
49
15:
10
18:
37
K19
快速
23:
00
14:
49
15:
10
满洲里
03:
05
D25
动车组
07:
15
15:
19
15:
19
15:
19
K7064/K7061
快速
07:
05
14:
59
15:
22
19:
40
1813/1816
普快
10:
40
15:
29
15:
29
15:
29
4023/4026
普快
07:
35
15:
17
15:
35
20:
13
D26
动车组
15:
38
15:
38
15:
38
23:
33
T242/T243
空调特快
17:
47
16:
10
16:
10
16:
10
1391/1394
空调
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