八年勾股定理经典.docx
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八年勾股定理经典.docx
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八年勾股定理经典
个性化教学辅导教案
学科:
数学任课教师:
授课时间:
2014年(星期六)8:
00~10:
00
姓名
年级
八年
性别
女
教学课题
勾股定理一
教学
目标
1.了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理。
2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3.会用勾股定理进行简单的计算。
4.树立数形结合的思想、分类讨论思想
重点
难点
1、勾股定理的内容及证明。
2.勾股定理的简单计算及灵活运用。
课前检查
作业完成情况:
优□良□中□差□建议__________________________________________
课
堂
教
学
过
程
过
程
勾股定理一
教学过程
一、课堂引入
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”,为此向宇宙发出了许多信号,如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。
我国数学家华罗庚曾建议,发射一种反映勾股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的。
这个事实可以说明勾股定理的重大意义。
尤其是在两千年前,是非常了不起的成就。
让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的,他说:
“把一根直尺折成直角,两段连结得一直角三角形,勾广三,股修四,弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3,长的直角边(股)的长是4,那么斜边(弦)的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC,用刻度尺量AB的长。
你是否发现32+42与52的关系,52+122和132的关系,
即32+42=52,52+122=132,那么就有勾2+股2=弦2。
对于任意的直角三角形也有这个性质吗?
二、新课
知识点一:
勾股定理
命题1:
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2,
即直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边的平方.
温馨提示:
1、勾股定理只适用于直角三角形。
2、勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系:
已知直角三角形的两条直角边长分别为
a,b,斜边长为c,则:
a2=c2-b2,b2=c2-a2,c2=a2+b2。
3、在利用勾股定理求边长时,要分清直角边和斜边,若没有说明,则需分类讨论。
三、例题讲解
例1、已知:
在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证:
a2+b2=c2。
分析:
⑴让学生准备多个三角形模型,最好是有颜色的吹塑纸,让学生拼摆不同的形状,利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示,其等量关系为:
4S△+S小正=S大正
4×
ab+(b-a)2=c2,化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形,进行证明。
⑷勾股定理的证明方法,达300余种。
这个古老的精彩的证法,出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感,和爱国情怀。
例2、已知:
在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为
a、b、c。
求证:
a2+b2=c2。
分析:
左右两边的正方形边长相等,则两个正方形的面积相等。
左边S=4×
ab+c2
右边S=(a+b)2
左边和右边面积相等,即
4×
ab+c2=(a+b)2
化简可证。
例3、在Rt△ABC,∠C=90°
1、若a=3,b=4,则c=
2、若a=8,c=10,则b=
3、若c=13,b=12则a=
4、若c=34,a:
b=8:
15则a=
例4、在Rt△ABC,∠C=90°
⑴已知a=b=5,求c。
⑵已知a=1,c=2,求b。
⑶已知c=17,b=8,求a。
⑷已知a:
b=1:
2,c=5,求a。
知识点二:
证明勾股定理的三种方法
方法1、证明BC2+AB2=AC2.(如左上图)、三个正方形的面积S1=BC2、S2=AB2、S3=AC2.
所以BC2+AB2=AC2
方法2、证明a2+b2=c2。
将四个全等的直角三角形拼成(如右上图)的正方形
则S正方形ABCD的面积为
=
.
∴
∴
.
方法3、证明c2=a2+b2,如图
S大正方形的面积=S小正方形的面积+S4个全等的直角三角形的的面积
即:
.
∴
.
知识点三:
勾股定理的应用
利用勾股定理可以解决很多生活中的问题,其关键是将所给的条件转化到直角三角形中,通过勾股定理求解。
若不存在直角三角形,可以通过添加辅助线构造直角三角形,再利用勾股定理求解。
例5、已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边。
分析:
已知两边中较大边12可能是直角边,也可能是斜边,
因此应分两种情况分别进形计算。
让学生知道考虑问题要全
面,体会分类讨论思想。
例6、已知:
如图,等边△ABC的边长是6cm。
1等边△ABC的高。
⑵求S△ABC。
分析:
勾股定理的使用范围是在直角三角形中,因此注意要
创造直角三角形,作高是常用的创造直角三角形的辅助线做
法。
欲求高CD,可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中,
四、巩固练习
1、勾股定理的具体内容是:
。
2、如图,直角△ABC的主要性质是:
∠C=90°,(用几何语言表示)
⑴两锐角之间的关系:
;
⑵若D为斜边中点,则斜边中线;
⑶若∠B=30°,则∠B的对边和斜边:
;
⑷三边之间的关系:
。
3、△ABC的三边a、b、c,若满足c2=a2+b2,则=90°;
若满足c2>a2+b2,则∠C是角;
若满足c2<a2+b2,则∠C是角。
4、根据如图所示,利用面积法证明勾股定理。
5、已知在Rt△ABC中,∠B=90°,a、b、c是△ABC的三边,则
1c=。
(已知a、b,求c)
(2)a=。
(已知b、c,求a)
(3)b=。
(已知a、c,求b)
6、如下表,表中所给的每行的三个数a、b、c,有a<b<c,试根据表中已有数的规律,写出当a=19时,b,c的值,并把b、c用含a的代数式表示出来。
3、4、5
32+42=52
5、12、13
52+122=132
7、24、25
72+242=252
9、40、41
92+402=412
……
……
19,b、c
192+b2=c2
7、填空题
⑴在Rt△ABC,∠C=90°,a=8,b=15,则c=。
⑵在Rt△ABC,∠B=90°,a=3,b=4,则c=。
⑶在Rt△ABC,∠C=90°,c=10,a:
b=3:
4,则a=,b=。
⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长分别为。
⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm,,则第三边长为。
⑹已知等边三角形的边长为2cm,则它的高为,面积为。
8题7题
8、填空题
在Rt△ABC,∠C=90°,
⑴如果a=7,c=25,则b=。
⑵如果∠A=30°,a=4,则b=。
⑶如果∠A=45°,a=3,则c=。
⑷如果c=10,a-b=2,则b=。
⑸如果a、b、c是连续整数,则a+b+c=。
⑹如果b=8,a:
c=3:
5,则c=。
9、在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=
cm,一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动,问当P点移动多少秒时,PA与腰垂直。
10、已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,D在CB的延长线上。
求证:
⑴AD2-AB2=BD·CD
2D在CB上,结论如何,试证明你的结论。
11、已知:
如图,在△ABC中,∠C=60°,AB=
,AC=4,AD是BC边上的高,求BC的长。
12、已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形的面积。
作业:
勾股定理同步练习题
1.已知直角三角形中30°角所对的直角边长是
cm,则另一条直角边的长是()
A.4cmB.
cmC.6cmD.
cm
2.△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长为( )
A.42B.32C.42或32D.37或33
3.一架25分米长的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米,那么梯足将滑动( )
A.9分米 B.15分米 C.5分米 D.8分米
4.如图,学校有一块长方形花铺,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了步路(假设2步为1米),却踩伤了花草.
第4题图
5.在△ABC中,∠C=90°,
(1)已知a=2.4,b=3.2,则c=;
(2已知c=17,b=15,则△ABC面积等于;
(3)已知∠A=45°,c=18,则a=.
6.一个矩形的抽斗长为24cm,宽为7cm,在里面放一根铁条,那么铁条最长可以是.
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=12cm,S△ABC=30cm2,则AB= .
8.等腰△ABC的腰长AB=10cm,底BC为16cm,则底边上的高为,面积为.
9.一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长分别为.
10.一天,小明买了一张底面是边长为260cm的正方形,厚30cm的床垫回家.到了家门口,才发现门口只有242cm高,宽100cm.你认为小明能拿进屋吗?
.
11.如图,你能计算出各直角三角形中未知边的长吗?
12.如图,某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m,宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18元,请你帮助计算一下,铺完这个楼道至少需要多少元钱?
13.有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子,它的伙伴在离该树12m,高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声,它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢,那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起?
14.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:
小汽车在城街路上行驶速度不得超过
km/h.如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方
m处,过了2s后,测得小汽车与车速检测仪间距离为
m,这辆小汽车超速了吗?
15.
将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上,旗杆从旗顶到地面的高度为320cm,在无风的天气里,彩旗自然下垂,如右图.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形(单位:
cm).
课堂检测
听课及知识掌握情况反馈_________________________________________________________。
测试题(累计不超过20分钟)_______道;成绩_______;教学需:
加快□;保持□;放慢□;增加内容□
课后巩固
作业_____题;巩固复习____________________;预习布置_____________________
签字
教学组长签字:
学习管理师:
老师
课后
赏识
评价
老师最欣赏的地方:
老师想知道的事情:
老师的建议:
勾股定理同步练习题答案
1.C2.C3.D4.105.4;60;36.25cm7.13cm8.6cm,24cm2
9.6,8,1010.能11.5;4;312.612元13.5s14.BC=72km,这辆小汽车超速了15.h=170cm
2011-2012学年广东省广州市越秀区八年级(上)期中数学试卷
收藏试卷试卷分析布置作业在线训练显示答案下载试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.下列图形中,对称轴条数最多的图形是( )
A.等腰三角形
B.菱形
C.正方形
D.圆形
显示解析
2.已知△ABC≌△DEF,且∠A=100°,∠E=35°,则∠F=( )
A.35°
B.45°
C.55°
D.70°
显示解析
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=20,则BC的长度是( )
A.10
B.20
C.30
D.40
显示解析
4.如图,数轴上点A所表示的数可能是( )
A.
7
B.
10
C.
15
D.
19
显示解析
5.下列说法正确的是( )
A.面积相等的两个三角形一定全等
B.周长相等的两个三角形一定全等
C.顶角相等的两个等腰三角形一定全等
D.关于轴对称的两个三角形一定全等
显示解析
6.在实数
6
,
3
8
,−
9
,−π,
23
7
中,无理数有( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
显示解析
7.如图,由AB=AC,∠ABE=∠ACF,得到△ABE≌△ACF,根据是( )
A.SAS
B.ASA
C.AAS
D.HL
显示解析
8.如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,则下列说法中,不一定成立的是( )
A.∠B=∠C
B.∠BAD=∠CAD
C.BD=CD
D.BD=AD
显示解析
9.下列说法正确的是( )
A.25的平方根是5
B.
25
的平方根是±
5
C.-25的平方根是-5
D.25的算术平方根是±5
显示解析
10.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线,则图中的等腰三角形有( )
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
显示解析
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
11.如图,△ABD和△ACD中,AB=AC,当添加条件
DB=CD
时,就可得到△ABD≌△ACD(写出一个条件即可)
显示解析
12.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=8,BD=5,那么CD=
3
,点D到线段AB的距离是
3
.
显示解析
13.等腰△ABC中,AB=8cm,BC=6cm,则△ABC的周长是
20或22
cm.
显示解析
14.如图,在△ABC中,DE是边AB的垂直平分线,其中∠B=40°,∠EAC=35°,则∠C=
65°
.
显示解析
15.如图,点D是AB边上的中点,将△ABC沿过点D的直线折叠,使点A落在边BC上点F处,如果∠B=55°,则∠BDF=
70°
.
显示解析
16.定义运算“@”的运算法则为:
x@y=
xy+4
,则(2@6)@8=
6
.
★★★☆☆显示解析
三、解答题(本大题共8小题,共72分,解答过程应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)
17.
(1)解方程:
2x2=98
(2)计算:
|2−
2
|+(3
2
−4).
显示解析
18.如图,△ABC的顶点都在平面直角坐标系的网格点上.
(1)画出与△ABC关于x轴对称的图形,并记为△A1B1C1;
(2)写出点A1,B1,C1的坐标,求△A1B1C1的面积;
(3)已知△ABC的内部有一点P(a,b),则点P在△A1B1C1的对应点P1的坐标是
(a,-b)
.
显示解析
19.如图,已知AC⊥BD于点E,且点E是线段BD的中点,AB=CD.求证:
△ABE≌△CDE.
显示解析
20.将棱长为10cm的正方体铝块熔化,重新铸成4个大小相等的小正方体.通过计算,求每个小正方体的棱长(不计损耗,结果保留2个有效数字)提示:
V正方体=a3,参考数值:
250
≈15.81,
3
250
≈6.300,
40
≈6.325,
3
40
≈3.420.
显示解析
21.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,∠B=30°,∠DAB=45°.
(1)求∠DAC的度数;
(2)求证:
DC=AB.
VIP显示解析
22.如图,在△ABC中,∠A=90°,AC⊥CE,且BC=CE,过点E作BC的垂线,交BC的延长线于点D.求证:
(1)∠1=∠E;
(2)△ABC≌△DCE;
(3)BD=AB+CE.
显示解析
23.如图,△ABC是等边三角形,其中A点的坐标是(0,6),C点的坐标是(2
3
,0),B点在x轴上.
(1)写出B点的坐标;
(2)线段AB向右平移,点A、B分别平移至点D、C位置,得到平行四边形ABCD.求这个平行四边形的面积;
(3)如果以点A、B、C作为平行四边形的顶点,那么另外一点(除D点外)的坐标是什么?
(不用写计算过程,直接写答案)
显示解析
24.已知:
如图
(1)△ABC、△ADE都是等腰直角三角形,连接BD、CE.
(1)求证:
△BAD≌△CAE;
(2)如果△ADE绕点A逆时针旋转,恰好点C、D、E三点在同一直线上(如图
(2)所示).试猜想线段BD和CE有什么关系,并证明你的猜想.
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