江苏省沿江高级中学届高三数学第三次调研卷.docx
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江苏省沿江高级中学届高三数学第三次调研卷
江苏省沿江高级中学 2020 届高三第三次调研考试
数 学 试 卷
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:
1.本试卷分填空题和解答题两部分,共 160 分.考试用时 120 分钟;
2.答题前,考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸的密封线内. 答题时,填
空题和解答题的答案写在答题纸上对应题目的空格内,答案写在试卷上无效.本卷考试
结束后,上交答题纸.
参考公式:
线性回归方程的系数公式为 b =
n n
i i i i
i=1 = i=1
n n
2
i i
- y)
2
, a = y - bx .
i=1i=1
一、填空题:
本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程,请把答案
直接填空在答题卡相应位置上.
1.已知全集U = {1,2,3,4,5,6} ,集合 A = {1,2,5} ,
2.复数 z 满足 (3 - i) z = 4 + 2i ,则 | z | =▲.
UB = {4,5,6} ,则集合 A I B = ▲ .
3.对某种电子元件使用寿命跟踪调查,抽取容量为1000 的样本,其频率分布直方图如图
所示,根据此图可知这批样本中电子元件的寿命在 300~500 小时的数量是_▲_个.
4.已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:
cm),可得这个
几何体的体积是__▲__cm3.
频率
1组距
250
1
400
3
2000
1
2000
100200 300 400 500 600
寿命( h)
(第 4 题图)
5.若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m,n 作为点 P 的横、纵坐标,则点 P 在直线 x
+y=5 下方的概率为▲.
1
6.若α ∈{-1,0, , 2} ,则使函数 y = xα 的定义域为 R,且在(-∞,0)上单调递增的α
3
值为▲.
7.若圆 x 2 + y 2 = m 与 x2 + y 2 + 6 x - 8 y - 11 = 0 与圆相交,则实数 m 的取值范围是▲ .
8.已知函数 f ( x) = cos x , x ∈ (
π
2 ,3π ) ,若方程 f ( x) = a 有三个不同的根,且从小到大
依次成等比数列,则 a 的值为▲ .
9 .阅读上图所示的流程图,该程序输出的结果是
▲ .
10.已知函数 y = f ( x) 的图象关于直线 x = -1 对称,
1
x
▲ .
开始
n ←1,s ← 0
n ≤10
是
否
输出 s
s ←s + (-1)nn
11.某高中期中考试后,对成绩进行分析,从某班中
结束
选出 5 名学生的语数英三门总成绩 x 和数学成绩
y 如下表:
n ←n +1
(第 9 题)
学 科
学 生
1
2
3
4
5
总成绩(x)
330
320
310
300
290
数学成绩(y)140130115
110
100
则数学成绩 y 对总成绩 x 的回归直线方程是▲ .
55
ii i
i=1i=1
, 心
且 OC =3 .则 CD ⋅ OB 的值为▲.
= 1(a > 0, b > 0) , F 、 F 是左、右焦点,l 是右准线,若双曲线左
13.已知双曲线
x2 y 2
-
a2 b2
1 2 . .
1
▲_.
14.图 1 为相互成 120°的三条线段,长度均为 1,图 2 在第一张图的线段的前端作两条
与该线段成 120°的线段,长度为其一半,图 3 用图 2 的方法在每一线段前端生成两
条线段,长度为其一半,重复前面的作法至第 n 张图,设第 n 个图形所有线段长之和
为 an,则 an= ▲.
图 1
图 2 图 3
二、解答题:
本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时写出文字说
明、证明过程或演算步骤.
31
52
16.如图,四边形 ABCD 是正方形,PB⊥平面 ABCD,MA⊥平面 ABCD,PB=AB=2MA.
求证:
(1)平面 AMD∥平面 BPC;
(2)平面 PMD⊥平面 PBD.
P
M
D
A B
C
(第 16 题图)
17.已知椭圆方程是
x2 y 2
+
2
a b2
= 1(a > b > 0) 的一个焦点是 F2(1,0),右准线 l 的方程是 x
=4.
(1)求椭圆的方程.
uuuur uuuur
(2)设椭圆的左右顶点分别为 A,B,F1 是椭圆的左焦点, P 是椭圆上任意一点,
PA、PB 分别交准线 l 于 M,N 两点,求 MF ⋅ NF 的值.
12
18.某物流公司购买了一块长 AM = 30 米,宽 AN = 20 米的矩形地块 AMPN ,规划建设
占地如图中矩形 ABCD 的仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点 C 在地块对角线
MN 上, B 、 D 分别在边 AM 、 AN 上,假设 AB 长度为 x 米.
(1)要使仓库占地 ABCD 的面积不少于 144 平方米, AB 长度应在什么范围内?
(2)若规划建设的仓库是高度与 AB 长度相同的长方体形建筑,问 AB 长度为多少时
仓库的库容最大?
(墙体及楼板所占空间忽略不计)
N
P
D
C
AB
第 18 题图
M
19.已知函数 f ( x) 自变量取值区间为 A ,若其值域区间也为 A ,则称区间 A 为 f ( x) 的
保值区间.
(1)求函数 f ( x) = x2形如 [n, +∞)(n ∈ R) 的保值区间;
(2)函数 g ( x) =|1 - 1 | ( x > 0) 是否存在形如[a, b](a < b) 的保值区间,若存在,求出
x
实数 a, b 的值,若不存在,请说明理由.
20.已知数列{an } ,其前 n 项和 Sn 满足 S
n+1
= 2λS n + 1(λ 是大于 0 的常数),且 a1=1,
a3=4.
(1)求 λ 的值;
(2)求数列{an } 的通项公式 an;
T
n
江苏省沿江高级中学 2020 届高三第三次调研考试
数学试卷答题纸
题号1-14
得分
得分评卷人
15 16 17 18 19 20 总分 核分人 复核人
一、填空题:
本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.把答案填在横
线上.
1.;2.;3.;4.;5.;
6.; .; 8.; 9.;10.; 11.;
12..13.;14..
二、解答题:
本大题 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
得分评卷人 15. (本小题满分 14 分)
得分评卷人
16. (本小题满分 14 分)
得分 评卷人 17. (本小题满分 15 分)
得分评卷人
18. (本小题满分 15 分)
N
DC
AB
第 18 题图
P
M
得分 评卷人19. (本小题满分 16 分)
得分 评卷人20. (本小题满分 16 分)
江苏省沿江高级中学 2020 届高三第三次调研考试
数学试卷答案及评分标准
;6.;7.1 < m < 121 ;8. -;9.5;
632
10.-
1 3 + 17
;11.y=x-191;12. 3 ;13.(2, );14. 3n .
x + 2 2
343
554
31
42
1+tanAtan(A-B)31
42
sinB
cosB
152 5
555
4532 52 5
555525
16. 1)证明:
因为 PB⊥平面 ABCD,MA⊥平面 ABCD,所以 PB∥MA.因 PB⊂平面 BPC,
MA ⊂平面 BPC,所以 MA∥平面 BPC.………4 分
同理 DA∥平面 BPC,因为 MA⊂平面 AMD,AD⊂平面 AMD,MA∩AD=A,所以平
面 AMD∥平面 BPC.………7 分
(2)连接 AC,设 AC∩BD=E,取 PD 中点 F,连接 EF,MF.因 ABCD 为正方形,
11
=2=2=
以 AEFM 为平行四边形.所以 MF∥AE.………10 分
因为 PB⊥平面 ABCD,AE⊂平面 ABCD,所以 PB⊥AE.所以 MF⊥PB.因为 ABCD 为
正方形,所以 AC⊥BD.所以 MF⊥BD.所以 MF⊥平面 PBD.
又 MF⊂平面 PMD.所以平面 PMD⊥平面 PBD.………14 分
a2
17.解:
(1)由题设,c=1,=4,故 a2 = 4 , b2 = a 2 - c 2 =3,
c
x2y 2
∴所求的椭圆方程为+= 1.………6 分
43
uuuruuuur
uuuruuu010
同理, BP = λ BN ,即 ( x - 2) y = 2 y .………10 分
020
∴ ( x 2 - 4) y y = 12 y 2 ,
0120
4
3
∵ P( x , y ) 在椭圆上,则 y 2 =(4 - x2 ) ,代入上式得 y y = -9 .………12 分
000012
uuuur uuuur
∴ MF ⋅ NF = (-5, - y ) ⋅ (-3, - y ) = 15 + y y = 15 - 9 = 6 .………15 分
121212
N
DCNDx20 - AD2
所以==, AD = 20 -x ,
AMNA30203
………4 分
P
2
矩形 ABCD 的面积为 S = 20 x -x2 ,定义域为
3A
0 < x < 30 .………6 分
B
第 18 题图
M
2
要使仓库占地 ABCD 的面积不少于144 平方米即 20 x -x 2 ≥ 144 , 化简得
3
[
x2 - 30 x + 216 ≤ 0 ,解得12 ≤ x ≤ 18 ,所以 AB 长度应在 12,18]内.………8 分
2
(2)仓库体积为V = 20 x 2 -x3 (0 < x < 30) ,
3
由 V ' = 40 x - 2 x 2 = 0 ,得 x = 0或x = 20 ,………10 分
当 0 < x < 20 时V ' > 0 ,当 20 < x < 30 时 V ' < 0 .(要求列表)………12 分
8000
所以 x = 20 时 V 取最大值米 3,即 AB 长度为 20 米时仓库的库容最大.…15 分
3
19.解:
(1)若 n < 0 ,则 n = f (0) = 0 ,矛盾.
若 n ≥ 0 ,则 n = f (n) = n2 ,解得 n = 0 或 1.
所以 f ( x) 的保值区间为 [0, +∞) 或 [1,+∞ )………6 分
(2)函数不存在形如[a, b] 的保值区间.
若存在实数 a, b 使得函数 g ( x) = 1 -
1
x
( x > 0) 有形如 [a, b] 的保值区间,
则 a > 0 .………8 分
1 -,x ≥ 1
因为 g ( x) = 1 -=⎨.
x
- 1,0 < x < 1
⎪⎩ x
1
x
⎧ 1
⎧ g (a) = b
故 ⎨,即 ⎨,解得 a = b .与 a < b 矛盾.………10 分
⎩ g (b) = a⎪ 1 - 1 = a
⎪⎩ b
1
x
1 -= a
故 ⎨,即 ⎨,此时 a, b 是方程 x2 - x + 1 = 0 的根,此方程无解.
⎩ g (b) = b⎪1 - 1 = b
⎪⎩b
故此时不存在满足条件的实数 a, b .………12 分
③当 a ∈ (0,1),b ∈[1,+∞) 时,由于1∈[a, b] ,而 g
(1)= 0 ,故此时不存在满足条件的
实数 a, b .……14 分
综上,不存在满足条件的实数 a, b 使得函数 g ( x) 有形如 [a, b] 的保值区间.
………16 分
20.
(1)解:
由 S
n+1
= 2λ S + 1 得
n
………8 分
S = 2λS + 1 = 2λa + 1 = 2λ + 1, S = 2λS + 1 = 4λ2 + 2λ + 1 ,
21132
∴ a = S - S = 4λ2 ,Θ a = 4, λ > 0,∴ λ = 1.………6 分
3323
(II)由 S= 2S + 1整理得S+ 1 = 2(S + 1) ,
n+1nn+1n
∴数列{ S n + 1}是以 S1+1=2 为首项,以 2 为公比的等比数列,
∴ S + 1 = 2 ⋅ 2 n-1 ,∴ S = 2 n - 1,
nn
∴ a = S - S= 2 n-1 (n ≥ 2),
nnn-1
nn
(III) T = 1 ⋅ 2 0 + 2 ⋅ 21 + 3 ⋅ 2 2 + Λ + (n - 1) ⋅ 2 n-2 + n ⋅ 2 n-1 , ①
n
2T = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 2 + Λ + (n - 2) ⋅ 2 n-2 + (n - 1) ⋅ 2 n-1 + n ⋅ 2 n ,②
n
①-②得 - T = 1 + 2 + 2 2 + Λ + 2 n-2 + 2 n-1 - n ⋅ 2 n ,
n
则 T = n ⋅ 2 n - 2 n + 1 .………14 分
n
∴
T n ⋅ 2 n - 2 n + 1 3
n - S
2 2 2
T11
12
TT
即当 n=1 或 2 时,n - S < 0,n < S .
nn
TT
当 n>2 时,n - S > 0,n > S .………16 分
nn
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- 关 键 词:
- 江苏省 沿江 高级中学 届高三 数学 第三次 调研
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