圆锥曲线的综合经典例题有解析.docx
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圆锥曲线的综合经典例题有解析
经典例题精析
类型一:
求曲线的标准方程
1.求中心在原点,一个焦点为
且被直线
截得的弦AB的中点横坐标为
的椭圆标准方程.
思路点拨:
先确定椭圆标准方程的焦点的位置(定位),选择相应的标准方程,再利用待定系数法确定
、
(定量).
解析:
方法一:
因为有焦点为
,
所以设椭圆方程为
,
由
,消去
得
,
所以
解得
故椭圆标准方程为
方法二:
设椭圆方程
因为弦AB中点
所以
,
由
得
(点差法)
所以
又
故椭圆标准方程为
.
举一反三:
【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直,且该焦点与长轴上较近的端点的距离为
.求该椭圆的标准方程.
【答案】依题意设椭圆标准方程为
(
),
并有
,解之得
,
∴椭圆标准方程为
2.根据下列条件,求双曲线的标准方程.
(1)与双曲线
有共同的渐近线,且过点
;
(2)与双曲线
有公共焦点,且过点
解析:
(1)解法一:
设双曲线的方程为
由题意,得
,解得
,
所以双曲线的方程为
解法二:
设所求双曲线方程为
(
),
将点
代入得
,
所以双曲线方程为
即
(2)解法一:
设双曲线方程为
-
=1
由题意易求
又双曲线过点
,∴
又∵
,∴
,
故所求双曲线的方程为
.
解法二:
设双曲线方程为
,
将点
代入得
,
所以双曲线方程为
.
总结升华:
先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置(定位),选择相应的标准方程,再利用待定系数法确定
、
.在第
(1)小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第
(2)小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程.
(1)求双曲线的方程,关键是求
、
,在解题过程中应熟悉各元素(
、
、
、
及准线)之间的
关系,并注意方程思想的应用.
(2)若已知双曲线的渐近线方程
,可设双曲线方程为
(
).
举一反三:
【变式】求中心在原点,对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程.
(1)一渐近线方程为
,且双曲线过点
.
(2)虚轴长与实轴长的比为
,焦距为10.
【答案】
(1)依题意知双曲线两渐近线的方程是
故设双曲线方程为
,
∵点
在双曲线上,
∴
,解得
,
∴所求双曲线方程为
.
(2)由已知设
则
(
)
依题意
,解得
.
∴双曲线方程为
或
.
3.求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:
(1)过点
;
(2)焦点在直线
:
上
思路点拨:
从方程形式看,求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数;从实际分析,一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件,否则,应展开相应的讨论
解析:
(1)∵点
在第二象限,∴抛物线开口方向上或者向左
当抛物线开口方向左时,
设所求的抛物线方程为
(
),
∵过点
,∴
,
∴
,∴
,
当抛物线开口方向上时,
设所求的抛物线方程为
(
),
∵过点
,∴
,
∴
,∴
,
∴所求的抛物线的方程为
或
,
对应的准线方程分别是
,
.
(2)令
得
,令
得
,
∴抛物线的焦点为
或
当焦点为
时,
,∴
,
此时抛物线方程
;
焦点为
时,
,∴
,
此时抛物线方程为
∴所求的抛物线的方程为
或
,
对应的准线方程分别是
,
.
总结升华:
这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论,先入为主,设定一种形式的标准方程后求解,以致失去一解.求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向,选择适当的方程形式,准确求出焦参数P.
举一反三:
【变式1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)焦点为F(4,0);
(2)准线为
;
(3)焦点到原点的距离为1;
(4)过点(1,-2);
(5)焦点在直线x-3y+6=0上.
【答案】
(1)所求抛物线的方程为y2=16x;
(2)所求抛物线的标准方程为x2=2y;
(3)所求抛物线的方程y2=±4x或x2=±4y;
(4)所求抛物线的方程为
或
;
(5)所求抛物线的标准方程为y2=-24x或x2=8y.
【变式2】已知抛物线的顶点在原点,焦点在
轴负半轴上,过顶点且倾角为
的弦长为
,求抛物线的方程.
【答案】设抛物线方程为
(
),又弦所在直线方程为
由
,解得两交点坐标
∴
,解得
.
∴抛物线方程为
.
类型二:
圆锥曲线的焦点三角形
4.已知
、
是椭圆
(
)的两焦点,P是椭圆上一点,且
,求
的面积.
思路点拨:
如图求
的面积应利用
,即
.关键是求
.由椭圆第一定义有
由余弦定理有
,易求之.
解析:
设
依题意有
(1)2-
(2)得
,
即
.
∴
.
举一反三:
【变式1】设
为双曲线
上的一点,
是该双曲线的两个焦点,若
,则
的面积为()
A.
B.
C.
D.
【答案】依据双曲线的定义有
,
由
得
、
,
又
,则
,即
,
所以
,故选A.
【变式2】已知双曲线实轴长6,过左焦点
的弦交左半支于
、
两点,且
,设右焦点
,求
的周长.
【答案】:
由双曲线的定义有:
,
,
两式左、右分别相加
得(
.
即
∴
.
故
的周长
.
【变式3】已知椭圆的焦点是
直线
是椭圆的一条准线.
①求椭圆的方程;
②设点P在椭圆上,且
求
.
【答案】
①
.
②设
则
,
又
.
【变式4】已知双曲线的方程是
.
(1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;
(2)设
和
是双曲线的左、右焦点,点
在双曲线上,且
,求
的大小
【答案】
(1)由
得
,
∴
,
,
.焦点
、
,离心率
,渐近线方程为
.
(2)
,
∴
∴
【变式5】中心在原点,焦点在x轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点
和
,且
,又椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为4,离心率之比
.
(1)求椭圆与双曲线的方程;
(2)若
为这两曲线的一个交点,求
的余弦值.
【答案】
(1)设椭圆方程为
(
),双曲线方程
,
则
,解得
∵
∴
.
故所求椭圆方程为
,双曲线方程为
.
(2)由对称性不妨设交点
在第一象限.设
、
.
由椭圆、双曲线的定义有:
解得
由余弦定理有
.
类型三:
离心率
5.已知椭圆上的点
和左焦点
,椭圆的右顶点
和上顶点
,当
,
(O为椭圆中心)时,求椭圆的离心率.
思路点拨:
因为
,所以本题应建立
、
的齐次方程,使问题得以解决.
解析:
设椭圆方程为
(
),
,
,
则
,即
.
∵
,∴
,
即
,∴
.
又∵
,
∴
.
总结升华:
求椭圆的离心率,即求
的比值,则可由如下方法求
.
(1)可直接求出
、
;
(2)在不好直接求出
、
的情况下,找到一个关于
、
的齐次等式或
、
用同一个量表示;
(3)若求
的取值范围,则想办法找不等关系.
举一反三:
【变式1】如图,
和
分别是双曲线
的两个焦点,
和
是以
为圆心,以
为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且
是等边三角形,则双曲线的离心率为()
A.
B.
C.
D.
【答案】连接
,则
是直角三角形,且
,
令
,则
,
,
即
,
,
所以
,故选D.
【变式2】已知椭圆
(
)与x轴正半轴交于A点,与y轴正半轴交于B点,F点是左焦点,且
,求椭圆的离心率.
法一:
∵
∴
又
,代入上式,得
,
利用
代入,消
得
即
由
,解得
∵
∴
.
法二:
在ΔABF中,∵
,
,
∴
,即
下略)
【变式3】如图,椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,过其右焦点F作斜率为1的直线,交椭圆于A、B两点,若椭圆上存在一点C,使
.求椭圆的离心率.
【答案】设椭圆的方程为
(
),焦距为
则直线l的方程为:
由
,消去
得
设点
、
则
∵
+
∴C点坐标为
.
∵C点在椭圆上,∴
.
∴
∴
又
∴
∴
【变式4】设
、
为椭圆的两个焦点,点
是以
为直径的圆与椭圆的交点,若
,则椭圆离心率为_____.
【答案】如图,点
满足
,且
.
在
中,有:
∵
,∴
令此椭圆方程为
则由椭圆的定义有
∴
又∵
,∴
,
,
∴
∴
,∴
,即
.
6.已知
、
为椭圆的两个焦点,
为此椭圆上一点,且
.求此椭圆离心率的取值范围;
解析:
如图,令
则在
中,由正弦定理
,
∴
,
令此椭圆方程为
(
),则
∴
即
(
),
∴
∴
∵
且
为三角形内角,
∴
,∴
∴
∴
.
即此椭圆离心率的取值范围为
.
举一反三:
【变式1】已知椭圆
,F1,F2是两个焦点,若椭圆上存在一点P,使
,求其离心率
的取值范围.
【答案】△F1PF2中,已知
,|F1F2|=2c,|PF1|+|PF2|=2a,
由余弦定理:
4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°①
又|PF1|+|PF2|=2a②
联立①②得4c2=4a2-|PF1||PF2|,∴
【变式2】椭圆
的焦点为
,
,两条准线与
轴的交点分别为
,若
,则该椭圆离心率的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】由
得
,即
,解得
,
故离心率
.所以选D.
【变式3】椭圆中心在坐标系原点,焦点在x轴上,过椭圆左焦点F的直线
交椭圆P、Q两点,且OP⊥OQ,求其离心率e的取值范围.
【答案】e∈[
1)
【变式4】双曲线
(a>1,b>0)的焦距为2c,直线
过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线
的距离与点(-1,0)到直线
的距离之和s≥
c.求双曲线的离心率e的取值范围.
【答案】直线
的方程为bx+ay-ab=0.
由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线
的距离
.
同理得到点(-1,0)到直线
的距离
.
=
.
由s≥
c,得
≥
c,
即5a
≥2c2.
于是得5
≥2e2.
即4e4-25e2+25≤0.
解不等式,得
≤e2≤5.
由于e>1,
所以e的取值范围是
.
类型五:
轨迹方程
7.已知
中,
为动点,若
、
边上两中线长的和为定值15.求动点
的轨迹方程.
思路点拨:
充分利用定义直接写出方程是求轨迹的直接法之一.应给以重视
解法一:
设动点
且
则
、
边上两中点
、
的坐标分别为
.
∵
∴
即
.
从上式知,动点
到两定点
的距离之和为常数30,
故动点
的轨迹是以
为焦点且
的椭圆,
挖去点
.
∴动点
的轨迹方程是
(
).
解法二:
设
的重心
,
动点
且
,
则
.
∴
点的轨迹是以
为焦点的椭圆(挖去点
),
且
.
其方程为
(
).
又
代入上式,得
(
)为所求.
总结升华:
求动点的轨迹,首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系,选择最便于反映这种联系的坐标形式,建立等式,利用直接法或间接法得到轨迹方程.
举一反三:
【变式1】求过定点
且和圆
:
相切的动圆圆心
的轨迹方程.
【答案】设动圆圆心
动圆半径为
.
(1) 动圆
与圆
外切时,
,
(2)动圆
与圆
内切时,
,
由
(1)、
(2)有
.
∴动圆圆心M的轨迹是以
、
为焦点的双曲线,
且
.
故动圆圆心
的轨迹方程为
.
【变式3】已知圆
的圆心为M1,圆
的圆心为M2,一动圆与这两个圆外切,求动圆圆心P的轨迹方程.
【答案】设动圆圆心P(x,y),动圆的半径为R,
由两圆外切的条件可得:
,
.
∴
.
∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支,其中c=4,a=2,∴b2=12,
故所求轨迹方程为
.
【变式4】若动圆
与圆
:
相外切,且与直线
:
相切,求动圆圆心
的轨迹方程.
法一:
设
动圆半径
,动圆与直线
切于点
,点
.
依题意点
在直线
的左侧,故
∵
∴
.
化简得
即为所求.
法二:
设
作直线
:
.
过
作
于
,交
于
,
依题意有
∴
由抛物线定义可知,点
的轨迹是以
为顶点,
为焦点,
:
为准线的抛物线.
故
为所求.
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