实验设计及其统计分析.docx

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实验设计及其统计分析

成组实验设计及其统计分析

1．试验设

设试验因素A有A1,A2２个水平,将全部n（n最好是偶数）个受试对象随机地均分成２组，分别接受A1,A2２种处理。

再设每种处理下观测的定量指标数为k,当k=1时,属于一元分析的问题;当k≥2时,属于多元分析的问题。

在成组设计中,因2组受试对象之间未按重要的非处理因素进行两两配对,无法消除个体差异对观测结果的影响,因此,其试验效率低于配对设计。

2.前提条件与检验法的选用

在分析成组设计资料前,需考察资料是否满足下述2个前提条件:

①正态性,即各组数据应独立抽自正态总体;②方差齐性,即2组资料的总体方差应该相等。

下面根据这2个前提条件的满足情况,给出统计检验法的选用办法:

前提条件满足情况　　　可选用的统计检验法

①、②均满足　　　　　成组设计资料的一般t检验

①满足、②不满足　　　近似t检验,即t'检验;或非参数检验

①不满足　　　　　　　非参数检验

在后2种情形中,若资料经过某种变量变换后能满足①、②2个前提条件,则对变量变换后的数据可用成组设计资料的一般t检验来分析。

3.应用实例

（1）一元的情形

①成组设计资料的一般t检验

[例2.2.8]　随机将20只雌性中年大鼠均分为甲、乙2组,甲组大鼠不接受任何处理（即空白对照）,乙组中的每只大鼠接受3mg/kg的内毒素。

分别测得2组大鼠的肌酐（mg/L）数据,试检验2总体均数之间有无显著差别。

甲（对照）组:

6.2,3.7,5.8,2.7,3.9,6.1,6.7,7.8,3.8,6.9

乙（处理）组:

8.5,6.8,11.3,9.4,9.3,7.3,5.6,7.9,7.2,8.2

[分析与解答]　先假定此资料满足正态性这一前提条件（后面将用程序来实现）。

2总体方差的齐性检验:

H0:

σ12=σ22,H1:

σ12≠σ22,α=0.05。

用计算器实现统计计算所需的公式:

（2.2.4）

   式中MS1为较大均方、MS2为较小均方,SS、df分别为离差平和及自由度。

F～F（df1,df2）,拒绝域:

F≥Fα（df1,df2）,则P≤α。

本例的已知条件和中间结果:

甲组:

n=10,df=9,∑X=53.6,X-=5.36,∑X2=313.26,SS=25.964,MS=2.884889

乙组:

n=10,df=9,∑X=81.5,X-=8.15,∑X2=687.17,SS=22.945,MS=2.549444

显然,甲组MS大于乙组MS,故应把甲组的有关统计量放在式（2.2.4）的分子上。

代入公式（2.2.4）计算的结果:

F=1.132

查方差齐性检验用的F临界值表,得:

F0.05（9,9）=4.03,因F0.05,

接受H0。

因本例满足方差齐性,可用下面介绍的成组设计资料的一般t检验。

成组设计资料的一般t检验:

H0:

μ1=μ2,H1:

μ1≠μ2,α=0.05。

用计算器实现统计计算所需的公式:

参见相关教材

拒绝域:

若t≥tα（df）,则P≤α。

式中m代表X-1-X-2,Sm为X-1-X-2的标准误差,其计算公式如下:

参见相关教材

当n1=n2=n时,Sm化简为:

参见相关教材

本例的已知条件和中间结果:

n1=n2=10,X-1=5.36,SS1=25.964;X-2=8.15,SS2=22.945。

代入式（2.2.7）,再代入式（2.2.5）计算的结果:

Sm=0.737179

t=3.7847,df=10+10-2=18

查t临界值表,得:

t0.05（18）=2.101,t0.01（18）=2.878,因t>t0.01（18）,故P<0.01,接受H0。

②成组设计资料的t'检验

在上面的例子中,若资料不满足方差齐性,则可改用下面介绍的t'检验:

成组设计资料的t'检验（下面介绍两种法）:

H0:

μ1=μ2,H1:

μ1≠μ2,α=0.05。

用计算器实现统计计算所需的公式:

参见相关教材

式中m代表X-1-X-2,Sm为的标准误差,其计算公式如下:

参见相关教材

这里的W1、W2就是各样本标准误差的平,当n1=n2=n时,Sm与式（2.2.7）相同。

因t'并不服从t,那么,怎样获得t'的临界值呢?

下面介绍2种法:

其一,Satterthwaite检验法,此法是用式（2.2.10）求出与t'统计量对应的近似自由度df',然后,按df'查t临界值表,得t'的临界值t'α（df'）,拒绝域:

若t'≥t'α（df'）,则P≤α。

参见相关教材

其二,Cochran和Cox检验法,此法是只接用式（2.2.11）求出t'的临界值t'α,拒绝域:

若t'≥t'α,则P≤α。

参见相关教材

式（2.2.11）中的t1,t2仍由t临界值表查得,它们分别

为:

t1=tα（n1-1）,t2=tα（n2-1）。

此时,不知与t'对应的自由度df'的精确表达式,只知df'介入（n1-1）与（n2-1）之间。

当n1=n2=n时,与式（2.2.8）定义的t'对应的自由度df'=（n-1）,并且t'α=tα（n-1）。

本例的已知条件和中间结果:

n1=n2=10,X-1=5.36,SS1=25.964;X-2=8.15,SS2=22.945,W1=0.288489,W2=0.254944。

代入式（2.2.7）,再代入式（2.2.8）计算的结果:

Sm=0.737179

t'=3.7846

运用上述的检验法一,将有关统计量代入式（2.2.8）计算df',得:

df'=17.932≈18,查t

临界值表,得:

t0.01（18）=2.878,因t'>t0.01（18）,故P<0.01,拒绝H0。

运用上述的检验法二,将有关统计量代入式（2.2.11）计算t'的临界值t'α,因本例n1=n2=10,故t'α=t'α（10-1）,即t'0.05=t0.05（10-1）=2.262;t'0.01=t0.01（10-1）=3.250,因t'>t'0.01,故P<0.01,拒绝H0。

单因素Ｋ水平设计及其统计分析

1．试验设计

　此设计仅能安排1个试验因素,按受试对象的抽取或分组的随机程度不同可细分为以下２类:

　其一,完全随机设计─从符合条件的总体中完全随机地抽取所需数目的受试对象,再将全部受试对象完全随机地分配到K个组中去。

此时,受试对象与试验因素间无直接联系;

　其二,组内完全随机设计─按试验因素的K个水平将全部受试对象划分成K个子总体,再分别从K个子总体中完全随机地抽取所需数目的受试对象。

此时,试验因素的各水平决定了受试对象各自应归属的组别。

　上述2种情形下收集的定量资料的统计分析方法是相同的,每此只考虑1个定量指标时,可用一元方差分析或相应的非参数法,每次考虑2个及以上定量指标时,需用多元方差分析。

２．应用实例

（1）一元的情形

　　[例2.3.1]　为了研究轻度和重度再障贫血患者血清中可溶性CD8抗原水平（Ｕ/ml）与正常人有无显著差别,以反映患者免疫状态紊乱而导致造血功能障碍的程度。

从3种人群中分别随机地抽取了10人,测得CD8抗原水平如下,试比较3个总体均数之间有无显著差别。

　　正常组:

　234,318,402,382,621,408,243,141,　42,　98;

　　轻度组:

　509,518,555,758,845,712,585,448,753,896;

　　重度组:

　851,562,918,631,653,843,659,849,762,901。

　　[说明]　单因素多水平资料通常用表格的形式、按列给出各组数据,采取现在的表达方式只是为了节省篇幅。

　　[分析与解答]　H0:

μ1=μ2=μ3,H1:

μ1、μ2、μ3不等或不全相等,α=0.05。

本例属于组内完全随机设计类型。

①用计算器实现统计计算

　　设组数为k,第j组的例数为nj,N=∑nj,离均差平和为SS,均方为MS,自由度为df,用b,e和t分别代表“组间”、“组内或误差”和“总和”。

检验统计量F按式（2.3.1）计算。

（2.3.1）

此式中MSb与MSe的计算方法与步骤如下:

　　C（校正数）=（∑∑Xij）2/N　　=全部数据和的平方之均数;

　　SSt（总离均差平和）=∑∑X2ij-C=各数据平后求和减去C;

　　Tj（第j组数据之和）=∑Xji

　　SSb（组间离均差平和）=∑kj=1T2j/nj-C=各组数据和的平的均数之和减去C

　　SSe（组内离均差平和）=SSt-SSb

　　MSb（组间均方）=SSb/dfb,　　MSe（组内均方）=SSe/dfe

查方差分析用的F临界值表,得Fα（dfb,dfe）,若F≥Fα（dfb,dfe）,则P≤α,反之,则有P>α。

本例的已知条件与中间结果:

　　组别　　n　　∑X　　X-　　　∑X2　　　　T2/n

　　　1　　10　　2889　288.9　　1105811　　834632.1

　　　2　　10　　6579　657.9　　4543717　　4328324.1

　　　3　　10　　7629　762.9　　5965515　　5820164.1

　　合计　30　17097　　…　　11615043　10983120.3

　　计算C、SS、MS等中间结果和F统计量的值:

　C=9743580.3,SSt=11615043-C=1871462.7SSb=10983120.3-C=1239540,dfb=3-1=2,　SSe=SSt-SSb=631922.7,dfe=30-3=27

　　MSb=SSb/dfb=619770,MSe=SSe/dfe=23404.54444,F=MSb/MSe≈26.48

查方差分析用的F临界值表,发现F值明显大于F0.05（2,27）=3.35,故进一步查α=0.01所对应的F临界值,得F0.01（2,27）=5.49,因F=26.48>F0.01（2,27）=5.49,故P<0.01,拒绝H0,接受H1。

单组实验设计及其统计分析

1.与均数检验有关的单组设计

（1）试验设计

　　设某一指标的理论均数μ0（一般为公认值或标准值）已知,在某一特定的条件下,通过试验得到一组样本观测值Xi（i=1,2,…,n）。

　　问题是:

该样本所代表的总体的均数μ与理论均数μ0之间是否有显著差别?

资料处理时,可用单组设计的t检验。

　　设某K（K≥2）个指标在专业上有一定的联系,其理论均值向量μ0=（μ01,μ02,…,μ0k）'（一般为公认值或标准值）已知,在某一特定的条件下,通过试验得到K组（每个指标只有1组）样本观测值。

　　问题是:

该样本所代表的总体均值向量μ=（μ1,μ2,…,μk）'与理论均值向量μ0之间是否有显著差别?

资料处理时,可用单组设计的T2检验,在SAS软件中,凡用T2检验的场合,均用Wilks'∧检验代替,因前者是后者的特例（下同）。

（2）应用实例

①一元的情形─只有1个定量指标

　　[例2.2.1]　已知某水样中含CaCO3的真值为20.70mg/L,现用某法重复测定该水样11次,得其含量（mg/L）分别为:

20.99,20.41,20.10,20.00,20.91,22.60,20.99,20.41,20.00,23.00,22.00。

问用该法测CaCO3含量所得的总体均数与真值之间有无显著差别?

　　[分析与解答]　H0:

μ=μ0,H1:

μ≠μ0,α=0.05。

　　用计算器实现统计计算所需的公式:

参见相关教材

式中为的标准误差,t～t（df）。

拒绝域:

若t≥tα（df）,则P≤α。

　　本例的已知条件和中间结果:

　　n=11,=20.7,=21.037273,∑X=231.41,∑X2=4879.2945,S=1.051628

=0.317078。

　　代入公式（2.2.1）计算的结果:

　　t=｜21.037273-20.7｜/0.317078=1.064

查t临界值表,得:

t0.05（10）=2.228,因t0.05,接受H0。

分割设计及其资料的统计分析

１．在配伍组设计试验之后子第2个处理因素

　　[例2.4.5]　为研究不同瘤株的生瘤效果和不同浓度蛇毒的抑瘤作用,有人先将48只小鼠按条件均分成3个配伍组,每个区组内的16只小鼠随机地均分成4组,分别接种4只同的瘤株,使它们生瘤,1天后再对接种同1种瘤株的4只小鼠分别腹腔注射4只同浓度的蛇毒,连续用蛇毒抑瘤10天,停药1天后解剖测瘤重,设计形式见表2.4.5。

试分位同瘤株的生瘤效果和不同浓度的蛇毒的抑瘤效果。

　表2.4.5　　　不同瘤株与不同浓度的蛇毒共同作用后对小鼠抑瘤效果的影响

────────────────────────────────────────

　区组　　　　　　　　　　　　　　　　瘤　　重（g）

　　　　　───────────────────────────────────

　因素　　A（瘤株）:

A1（S180）　　　　A2（HS）　　　　A3（EC）　　　　A4（ARS）

　S　　　（B1　　B2　B3　B4）（B1B2B3B4）（B1B2B3B4）（B1　B2　　B3　B4）

────────────────────────────────────────

　1　　　0.800.360.170.28　………………　………………0.480.180.440.22

　2　　　0.760.260.280.13　………………　………………0.570.300.270.30

　3　　　0.360.310.160.11　………………　………………0.330.290.270.37

────────────────────────────────────────

注:

详细资料见下面的SAS程序。

　　[分析与解答]　若仅从形式上看,此设计就是含区组因素的4×4析因设计,但试验因素A（瘤株）与区组因素S先出现在试验中,在试验因素B未加入之前,实际上是1个配伍组设计,这样就形成了所谓的1级单位;1天后B因素才参入试验,B与A×B就形成了所谓的2级单位,相当于把1个完整的试验分割成前后2道工序来完成,故称之为裂区（或分割）设计。

　　H0:

因素A各水平下的均数相等,H1:

因素A各水平下的均值不等或不全相等,α=0.05。

对因素B和A×B也有类似假设。

交叉实验设计及其统计分析

为了更好地消除或减少重要的非处理因素的影响,常用交叉设计取代配对设计。

此设计一般只适合安排1个2水平的试验因素,2个与试验因素无交互作用的重要非处理因素。

１．试验设计

　　选取n（n为偶数）个受试对象,按某属性（即第1个区组因素）将受试对象配成n/2对,用随机的方法决定每对中的1个受试对象接受2种处理的先后顺序（即第2个区组因素）,让该对中的另1个受试对象接受处理的顺序相反。

2种处理先后作用于同1个受试对象,并且交叉出现在各对受试对象之间,故称为交叉设计。

　　值得注意的是:

由于2种处理先后作用于同1个受试对象,故此设计仅限于处理的作用在短时间内就能消失的试验问题中。

否则,易造成2种处理的效应混杂。

２．应用实例

　　[例2.3.7]　为研究A（90402中药复方）、B（安慰剂）2种药物（处理因素）对提高高原劳动能力的影响,以条件近似的12名健康人测试,把受试对象和测定顺序Ⅰ（1992.12.18～12.24）与Ⅱ（1993.4.6～4.10）作为2个重要的非处理因素,每人都用2种药物各1次,条件最接近的每2人配成1对,用随机的方法确定每对中之一使用A、B药物的顺序,另1个人的顺序相反。

有人进行了交叉设计并收集到试验数据如下,观测指标为PWC170（即把心跳校正到每分钟170次时能做的功（kg.m））,试分析此资料。

表2.3.4　　　　　2种药物对提高高原劳动能力的试验结果

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

受试者　　　药物与PWC170　　　　　　受试者　　　　药物与PWC170

　　　　━━━━━━━━━━━　　　　　　　　━━━━━━━━━━━━

编　号　顺序:

　Ⅰ　　　　Ⅱ　　　　编　号　顺序:

　Ⅰ　　　　Ⅱ

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

　　1　　　　A　159.4　B　153.8　　　　2　　　　　B　129.4　A　159.8

　　3　　　　A　156.1　B　　.　　　　4　　　　　B　122.1　A　137.6

　...　　　...................　　　...　　　　　.................

　11　　　　A　180.1　B　150.7　　　12　　　　　B　122.8　A　　.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

　　注:

详细资料见[ANOVAN5.PRG];第3号与第12号两人的数据不全,不参入计算。

[分析与解答]　H0:

2种药物的影响结果相同;H1:

2种药物的影响结果不同;α=0.05。

对2个区组因素─受试者、测定顺序也有类似的假设。

拉丁方设计及其统计分析

若试验中涉及到3个因素,当它们之间不存在交互作用或交互作用可以忽略不计,且各因素均取相同水平时,适合于选择拉丁方设计。

１．试验设计

　　假定某项研究中涉及1个试验因素,它有K个水平,同时,还需排除2个重要非处理因素的影响,研究者希望采用拉丁方设计。

于是,需选用K×K拉丁方设计格式之一作为此设计的核心部分,K×K拉丁方阵中的每一个字母代表试验因素的一个水平;让２个区组因素也各取K个水平,并把它们分别放在K×K拉丁方阵的横向和纵向上,由２个区组因素便形成了K×K种水平组合,每种水平组合下伴有试验因素的1个水平,此3个水平便构成了1个特定的试验条件,每个试验条件下做1次试验（若数据间变异很大,建议做2次以上重复试验）。

　　常见的正交拉丁方（同阶的任何２个拉丁方阵之间互相正交）设计格式如下,使用时可选其一。

每1个拉丁方阵具有如下的性质:

每个拉丁字母在每行及每列中只出现1次且仅容许出现1次;同阶的任何2个拉丁方阵具有如下的性质:

任何2富同符号（字母或数字）都只相遇1次。

　　　　　　　3×3　　　　　　　　　　　　　　4×4

　　　　ABC　　abc　　　　　ABCD　　abcd　　αβγδ

　　　　BCA　　cab　　　　　BADC　　cdab　　δγβα

　　　　CAB　　bca　　　　　CDAB　　dcba　　βαδγ

　　　　　　　　　　　　　　　　　DCBA　　badc　　γδαβ

　　　　　　　　　　　　　　　　　5×5

　　　　ABCDE　　　abcde　　　αβγδε　　12345

　　　　BCDAE　　　cdeab　　　δεαβγ　　51234

　　　　CDEAB　　　eabcd　　　εαβγδ　　45123

　　　　DEABC　　　bcdea　　　βγδεα　　34512

　　　　EABCD　　　deabc　　　δεαβγ　　23451

　　[说明]　同阶方阵中几个方阵分别用不同符号表示是为了便于把其中任何2个搭配起来使用（即希腊拉丁方设计）,一般统计书上一律用拉丁字母A,B,…,给出。

　　[例2.3.8]　为研究5富同剂量的甲状腺提取液对豚鼠甲状腺重的影响,考虑到鼠的种系和体重对观测指标可能有一定的影响,设计试验时,最好将这２个重要的非处理因素一并安排。

根据专业知识得知,这3个因素之间的交互作用可忽略不计,请选用合适的试验设计方案,并对所收集的定量资料进行统计分析。

　表2.3.5　　5富同剂量的甲状腺提取液对豚鼠甲状腺重的影响情况

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

　　　　　　　　甲状腺提取液的剂量（字母）与甲状腺重（g/200g体重）

　种　系　　　━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

　　　　　　　体重:

Ⅰ　　　　Ⅱ　　　　Ⅲ　　　　Ⅳ　　　　Ⅴ

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

　　1　　　　　　　C　65　　E　85　　A　57　　B　49　　D　79　

　　2　　　　　　　E　82　　B　63　　D　77　　C　70　　A　46　

　　3　　　　　　　A　73　　D　68　　C　51　　E　76　　B　52　

　　4　　　　　　　D　92　　C　67　　B　63　　A　41　　E　68　

　　5　　　　　　　B　81　　A　56　　E　99　　D　75　　C　66　

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

　注:

具体剂量分别为A（273）,B（308）,C（319）,D（391）,E（410）。

[分析与解答]　H0:

各剂量所对应的观测指标的总体均数相等,H1:

各剂量所对应的观测指标的总体均数不等或不全相等;α=0.05。

对种系和体重２个区组因素也有类似的假设。

[输出结果的解释]　含3个因素的方差分析模型总体上看是显著的,因F=3.94,P=0.0123;处理因素dose的作用非常显著,因F=8.01,P=0.0022;２个区组因素的作用均不显著。

　　[专业结论]　结合5只同剂量的均数可知,随着剂量增加,甲状腺重的均数也在增加。

配对实验设计及其统计分析

1.试验设计

　　在处理因素分别取2只同水平时,对同一个指标观测到2个数据,这2个数据来自同1个受试对象或来自非常相同（对重要的非处理因素而言）的2个受试对象,故可把这2个数据看作一对。

这种设计称为配对设计。

　　根据每对数据所对应的条件的严格与否,可将配对设计划分为以下3种:

　　①自身配对设计─每对数据测自同一个受试对象;

　　②同源配对设计─每对数据测自同一窝（或胎）的2个受试对象;

　　③条件相近者配对设计─每对数据测自条件（指最重要的非处理因素）相近的2个受试对象。

　　处理配对设计资料的思想是:

先考虑1个指标的情形,无论是采取上述3种配对设计中的哪一种形式,都可将每对中的2个数据相减（各对数据相减的顺序要一致）求愁值d,若处理的2个水平之间本质上没有差别,而且,配对的条件又十分严格,由每对数据所算得的差值d都应接近于零。

于是,我们可把d的均数看作样本均数,把零看作理论均数,问题转化为对d的总体均数与零比较的假设检验。

常用的法有配对比较的t检验或符号秩检验。

　　同理,可考虑多个指标的情形,最后问题转化为对差量的总体均值向量与零向量比较的假设检验。

需用T2检验,可用Wilks'∧检验代替。

2.应用实例

（1）一元的情形

　　[例2.2.5]　分别从10例乳癌患者化疗前和化疗后1天的尿