部编RJ人教版 九年级数学 下册第二学期春 教学设计 教案 第二十九章 投影 全章教案 含反思.docx

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部编RJ人教版九年级数学下册第二学期春教学设计教案第二十九章投影全章教案含反思

29.1投影

第1课时平行投影与中心投影

1．理解平行投影和中心投影的特征；（重点）

2．在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影．（难点）

一、情境导入

北京故宫中的日晷闻名世界，是我国光辉灿烂文化的瑰宝．它是我国古代利用日影测定时刻的仪器，它由“晷面”与“晷针”组成，当太阳光照在日晷中轴上产生投影，晷针的影子就会投向晷面，随着时间的推移，晷针的影的长度发生变化，晷针的影子在晷面上慢慢移动，聪明的古人以此来显示时刻．

本节课学习有关投影的知识．

二、合作探究

探究点一：

平行投影

【类型一】判断影子的形状

下列图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（　　）

解析：

选项A.影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，正确；选项B.影子的方向不相同，错误；选项C.影子的方向不相同，错误；选项D.不同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，错误．故选A.

方法总结：

平行投影特点：

在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题

【类型二】平行投影作图

在某一时刻，操场上有三根测杆，如图所示，其中测杆AB的影子为BC，你能画出测杆MN的影子NP吗？

若测杆XY的影子的顶端恰好落在点B处，且XY＝MN，你能找出XY所在的位置吗？

请将上述问题画在下面的示意图中，并简述画法．

解析：

过物体顶点作光线的平行线得到物体的平行投影，再根据平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的可找到XY的位置．

解：

连接AC，过点M作MP∥AC交NC于点P，则NP为MN的影子．过点B作BX∥AC，且BX＝MP，过X作XY⊥NC交NC于点Y，则XY即为所求．

方法总结：

先根据物体投影确定光线，然后利用两个物体的顶端和各自影子的对应点的连线是一组平行线，过物体顶端作平行线与地面相交，从而确定影子．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

【类型三】平行投影的相关计算

李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量方法如下：

如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.6m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知李航的身高EF是1.6m，请你帮李航求出楼高AB.

解析：

过点D作DN⊥AB，可得四边形CDME、ACDN是矩形，即可证明△DFM∽△DBN，从而得出BN，进而求得AB的长．

解：

过点D作DN⊥AB，垂足为N，交EF于M点，∴四边形CDME、ACDN是矩形，∴AN＝ME＝CD＝1.2m，DN＝AC＝30m，DM＝CE＝0.6m，∴MF＝EF－ME＝1.6－1.2＝0.4m.∵EF∥AB，∴△DFM∽△DBN，

＝

，即

＝

，∴BN＝20m，∴AB＝BN＋AN＝20＋1.2＝21.2m.

答：

楼高为21.2m.

方法总结：

在同一时刻的物体高度与影长的关系：

＝

.

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题

探究点二：

中心投影

【类型一】判断是否是中心投影

下面属于中心投影的是（　　）

A．太阳光下的树影B．皮影戏

C．月光下房屋的影子D．海上日出

解析：

中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光．在各选项中只有B选项得到的投影为中心投影．故选B.

方法总结：

判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题

【类型二】判断影长的情况

晚上小亮在路灯下散步，在小亮从远处走到灯下，再远离路灯这一过程中，他在地上的影子（　　）

A．逐渐变短B．先变短后变长

C．先变长后变短D．逐渐变长

解析：

晚上小亮在路灯下散步，当小亮从远处走到灯下的时候，他在地上的影子由长变短，当他再远离路灯的时候，他在地上的影子由短变长．故选B.

　　方法总结：

中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题

【类型三】中心投影作图

如图是小明与爸爸（线段AB）、爷爷（线段CD）在同一路灯下的情景，粗线分别表示三人的影子．请根据要求，进行作图（不写画法，但要保留作图痕迹）．

（1）画出图中灯泡所在的位置；

（2）在图中画出小明的身高．

解析：

（1）利用中心投影的图形的性质连接对应点得出灯泡位置即可；

（2）根据灯泡位置即可得出小明的身高．

解：

（1）如图所示：

O即为灯泡的位置；

（2）如图所示：

EF即为小明的身高．

方法总结：

连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

【类型四】中心投影的相关计算

如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1m，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2m，已知王华的身高是1.5m，求路灯A的高度AB.

解析：

根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的光线三者构成的两个直角三角形相似解答．

解：

当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即

＝

；当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即

＝

＝

，∴

＝

.∵CG＝EH＝1.5m，CD＝1m，CE＝3m，EF＝2m，设AB＝x，BC＝y，∴

＝

，解得y＝3，经检验y＝3是原方程的根．∵

＝

，即

＝

，解得x＝6m.即路灯A的高度AB＝6m.

方法总结：

解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

三、板书设计

1．平行投影的定义及应用；

2．中心投影的定义及应用．

本节以自主探索、合作交流为设计主线，从皮影戏、手影、日晷等学生熟悉的生活实际出发，引入物体投影的相关概念，通过观察图片等活动，使学生认识中心投影和平行投影的区别与联系，加强主动学习数学的兴趣，体现数学的应用价值.

29.1投影

第2课时正投影

1．理解正投影的概念；（重点）

2．归纳正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影．（难点）

一、情境导入

观察下图，这三个图分别表示同一块三角尺在阳光照射下形成的投影，其中图①与图②③的投影线有什么区别？

图②③的投影线与投影面的位置关系有什么区别？

二、合作探究

探究点：

正投影

【类型一】确定正投影的形状

如图所示，左面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是（　　）

解析：

依题意，光线是垂直照下的，故只有D符合．故选D.

方法总结：

当投影面垂直于入射光线时，球体的投影是圆形，否则为椭圆形．若投影面不是平面，则投影形状要复杂得多．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题

【类型二】物体与其正投影的关系

木棒长为1.2m，则它的正投影的长一定（　　）

A．大于1.2mB．小于1.2m

C．等于1.2mD．小于或等于1.2m

解析：

正投影的长度与木棒的摆放角度有关，但无论怎样摆都不会超过1.2m．故选D.

方法总结：

当线段平行于投影面时的正投影与原线段相等，当线段不平行于投影面时的正投影小于原线段．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题

【类型三】画投影面上的正投影

画出下列立体图形投影线从上方射向下方的正投影．

解析：

第一个图投影线从上方射向下方的正投影是长方形，第二个图投影线从上方射向下方的正投影也是长方形，第三个图投影线从上方射向下方的正投影是圆且有圆心．

解：

如图所示：

方法总结：

在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

探究点二：

正投影的综合应用

【类型一】正投影与勾股定理的综合

一个长8cm的木棒AB，已知AB平行于投影面α，投影线垂直于α.

（1）求影子A1B1的长度（如图①）；

（2）若将木棒绕其端点A逆时针旋转30°，求旋转后木棒的影长A2B2（如图②）．

　　解析：

根据平行投影和正投影的定义解答即可．

解：

如图①，A1B1＝AB＝8cm；

如图③，作AE⊥BB2于E，则四边形AA2B2E是矩形，∴A2B2＝AE，△ABE是直角三角形．∵AB＝8cm，∠BAE＝30°，∴BE＝4cm，AE＝

＝4

cm，∴A2B2＝4

cm.

　　方法总结：

当线段平行于投影面时的正投影与原线段相等，当线段不平行于投影面时的正投影小于原线段，可以用解直角三角形求得投影的长度．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

【类型二】正投影与相似三角形的综合

在长、宽都为4m，高为3m的房间正中央的天花板上悬挂着一只白炽灯泡，为了集中光线，加上了灯罩（如图所示）．已知灯罩深AN＝8cm，灯泡离地面2m，为了使光线恰好照在相对的墙角D、E处，灯罩的直径BC应为多少？

（结果保留两位小数，

≈1.414）

解析：

根据题意画出图形，则AN＝0.08m，AM＝2m，由房间的地面为边长为4m的正方形可计算出DE的长，再根据△ABC∽△ADE利用相似三角形对应边成比例解答．

解：

如图，光线恰好照在墙角D、E处，AN＝0.08m，AM＝2m，由于房间的地面为边长为4m的正方形，则DE＝4

m.∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴

＝

，即

＝

，∴BC≈0.23（m）．

答：

灯罩的直径BC约为0.23m.

方法总结：

解决问题的关键是画出图形，根据图形相似的性质和判定解题．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

三、板书设计

1．正投影的概念及性质；

2．正投影的综合应用．

本节课的学案设计，力求具体、生动、直观．因此，学生多以操作、观察实物模型和图片等活动为主．比如通过观察铁丝、圆柱、圆锥等图形在不同位置时的正投影特征，归纳出物体正投影的一般规律，并能根据此规律画出简单平面图形的正投影．在介绍投影概念时，借助太阳光线进行投影实例的观察，这样不仅直观而且富有真实感，能激发学生学习兴趣.

29.2三视图

第1课时三视图　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．会从投影的角度理解视图的概念；（重点）

2．会画简单几何体的三视图．（难点）

一、情境导入

如图所示：

直三棱柱的侧棱与水平投影面垂直，请与同伴一起探讨下面的问题：

（1）以水平投影面为投影面，在正投影下这个直三棱柱的三条侧棱的投影是什么图形？

（2）画出直三棱柱在水平投影面的正投影，得到的投影是什么图形？

它与直三棱柱底面有什么关系？

这个水平投影能完全反映这个物体的形状和大小吗？

如不能，那么还需哪些投影面？

物体的正投影从一个方向反映了物体的形状和大小，为了全面地反映一个物体的形状和大小，我们常常再选择正面和侧面两个投影面，今天我们将学习与这三个面的投影相关的知识．

二、合作探究

探究点一：

简单几何体的三视图

【类型一】判断俯视图

下面的几何体中，俯视图为三角形的是（　　）

解析：

选项A.长方体的俯视图是长方形，错误；选项B.圆锥的俯视图是带圆心的圆，错误；选项C.圆柱的俯视图是圆，错误；选项D.三棱柱的俯视图是三角形，正确；故选D.

方法总结：

在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，即为俯视图．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题

【类型二】判断主视图

下面的几何体中，主视图为三角形的是（　　）

解析：

选项A.主视图是长方形，错误；选项B.主视图是长方形，错误；选项C.主视图是三角形，正确；选项D.主视图是长方形，中间还有一条线，错误；故选C.

方法总结：

一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，即为主视图．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题

【类型三】判断左视图

在下面的四个几何体中，左视图与主视图不相同的几何体是（　　）

解析：

选项A.正方体的左视图与主视图都是正方形，不合题意；选项B.长方体的左视图与主视图都是矩形，但是矩形的长宽不一样，符合题意；选项C.球的左视图与主视图都是圆，不合题意；选项D.圆锥的左视图与主视图都是等腰三角形，不合题意；故选B.

方法总结：

主视图、左视图是分别从物体正面、左面看所得到的图形．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

探究点二：

简单组合体的三视图

用四个相同的小立方体搭几何体，要求每个几何体的主视图、左视图、俯视图中至少有两种视图的形状是相同的，下列四种摆放方式中不符合要求的是（　　）

解析：

选项A.此几何体的主视图和俯视图都是

，不合题意；选项B.此几何体的主视图和左视图都是

，不合题意；选项C.此几何体的主视图和左视图都是

，不合题意；选项D.此几何体的主视图是

，俯视图是

，左视图是

，符合题意，故选D.

方法总结：

主视图、左视图、俯视图是分别从正面、左面、上面所看到的图形．理解定义是解决问题的关键．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题

探究点三：

画图形的三视图

分别画出图中几何体的主视图、左视图和俯视图．

解析：

从正面看，从左往右4列正方形的个数依次为1，3，1，1；从左面看，从左往右3列正方形的个数依次为3，1，1；从上面看，从左往右4列正方形的个数依次为1，3，1，1.

解：

如图所示：

方法总结：

画三视图的步骤：

①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”．要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

三、板书设计

1．主视图、俯视图和左视图的概念；

2．三视图的画法．

本节课力求突出具体、生动、直观，因此，学生多以亲自操作、观察实物模型和图片等活动为主．使用多媒体教学，使学生更直观的感受知识，激发学习兴趣．在本次教学过程中，丰富了学生观察、操作、猜想、想象、交流等活动经验，培养了学生的观察能力和想象能力，提升了他们的空间观念.

29.2三视图

第2课时由三视图确定几何体

1．会根据俯视图画出一个几何体的主视图和左视图；（重点）

2．体会立体图形的平面视图效果，并会根据三视图还原立体图形．（难点）

一、情境导入

让学生拿出准备好的六个小正方体，搭一个几何体，然后让学生画出几何体的俯视图，并选择一位学生上台演示并在黑板上画出俯视图（如右图），教师在正方体上标上数字并说明数字含义．

问：

能不能根据上面的俯视图画出这个几何体的主视图和左视图？

看哪些同学速度快．

二、合作探究

探究点：

由三视图确定几何体

【类型一】根据三视图判断简单的几何体

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　）

A．四棱锥B．四棱柱

C．三棱锥D．三棱柱

解析：

主视图是由两个矩形组成，而左视图是一个矩形，俯视图是一个三角形，得出该几何体是一个三棱柱．故选D.

方法总结：

由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题

【类型二】由三视图判断实物图的形状

下列三视图所对应的实物图是（　　）

解析：

从俯视图可以看出实物图的下面部分为长方体，上面部分为圆柱，圆柱与下面的长方体的顶面的两边相切且与长方体高度相同．只有C满足这两点，故选C.

方法总结：

主视图、左视图和俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形．对于本题要注意圆柱的高与长方体的高的大小关系．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题

【类型三】根据俯视图中小正方形的个数判断三视图

如图，是由几个小立方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的立方体的个数，这个几何体的主视图是（　　）

解析：

由俯视图可知，几个小立方体所搭成的几何体如图所示：

，可知选项D为此几何体的主视图．

方法总结：

由俯视图想象出几何体的形状，然后按照三视图的要求，得出该几何体的主视图和侧视图．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

【类型四】由主视图和俯视图判断组成小正方体的个数

如图，是由几个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，组成这个几何体的小正方体的个数是（　　）

A．5个或6个B．6个或7个

C．7个或8个D．8个或9个

解析：

从俯视图可得最底层有4个小正方体，由主视图可得上面一层是2个或3小正方体，则组成这个几何体的小正方体的个数是6个或7个．故选B.

方法总结：

运用观察法确定该几何体有几列以及每列小正方体的个数是解题关键．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题

【类型五】由三视图判断组成物体小正方体的个数

由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则组成该几何体的小立方体有（　　）

A．3块B．4块C．5块D．6块

解析：

由俯视图易得最底层有3个立方体，第二层有1个立方体，那么组成该几何体的小立方体有3＋1＝4（个）．故选B.

方法总结：

解决此类问题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清物体的上下和前后形状．综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题

【类型六】由三视图确定几何体的探究性问题

（1）请你画出符合如图所示的几何体的两种左视图；

（2）若组成这个几何体的小正方体的块数为n，请你写出n的所有可能值．

解析：

（1）由俯视图可得该几何体有2行，则左视图应有2列．由主视图可得共有3层，那么其中一列必有3个正方体，另一列最少是1个，最多是3个；

（2）由俯视图可得该组合几何体有3列，2行，以及最底层正方体的个数及摆放形状，由主视图结合俯视图可得从左边数第2列第2层最少有1个正方体，最多有2个正方体，第3列第2层最少有1个正方体，最多有2个正方体，第3层最少有1个正方体，最多有2个正方体，分别相加得到组成组合几何体的最少个数及最多个数即可得到n的可能值．

解：

（1）如图所示：

（2）∵俯视图有5个正方形，∴最底层有5个正方体．由主视图可得第2层最少有2个正方体，第3层最少有1个正方体；或第2层最多有4个正方体，第3层最多有2个正方体，∴该组合几何体最少有5＋2＋1＝8个正方体，最多有5＋4＋2＝11个正方体，∴n可能为8或9或10或11.

方法总结：

解决本题要明确俯视图中正方形的个数是几何体最底层正方体的个数．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题

三、板书设计

1．由三视图判断几何体的形状；

2．由三视图判断几何体的组成．

本课时的设计虽然涉及知识丰富，但忽略了学生的接受能力，教学过程中需要老师加以引导．通过很多老师的点评，给出了很多很好的解决问题的办法，在以后的教学中，要不断完善自己，使自己的教学水平有进一步的提高.

29.2三视图

第3课时由三视图确定几何体的面积或体积

1．能根据三视图求几何体的侧面积、表面积和体积等；（重点）

2．解决实际生活中与面积、体积等方面有关的实际问题．（难点）

一、情境导入

已知某混凝土管道的三视图，你能根据三视图确定浇灌每段这种管道所需混凝土的体积吗（π＝3.14）?

二、合作探究

探究点：

由三视图确定几何体的面积或体积

【类型一】由三视图求几何体的侧面积

已知如图为一几何体的三视图：

（1）写出这个几何体的名称；

（2）若从正面看的长为10cm，从上面看的圆的直径为4cm，求这个几何体的侧面积（结果保留π）．

解析：

（1）根据该几何体的主视图与左视图是矩形，俯视图是圆可以确定该几何体是圆柱；

（2）根据告诉的几何体的尺寸确定该几何体的侧面积即可．

解：

（1）该几何体是圆柱；

（2）∵从正面看的长为10cm，从上面看的圆的直径为4cm，∴该圆柱的底面直径为4cm，高为10cm，∴该几何体的侧面积为2πrh＝2π×2×10＝40π（cm2）．

方法总结：

解题时要明确侧面积的计算方法，即圆柱侧面积＝底面周长×圆柱高．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题

【类型二】由三视图求几何体的表面积

如图是两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所标尺寸（单位：

mm），求这个几何体的表面积．

解析：

先由三视图得到两个长方体的长，宽，高，再分别表示出每个长方体的表面积，最后减去上面的长方体与下面的长方体的接触面面积即可．

解：

根据三视图可得：

上面的长方体长6mm，高6mm，宽3mm，下面的长方体长10mm，宽8mm，高3mm，这个几何体的表面积为2×（3×8＋3×10＋8×10）＋2×（3×6＋6×6）＝268＋108＝376（mm2）．

答：

这个几何体的表面积是376mm2.

方法总结：

由三视图求几何体的表面积，首先要根据三视图分析几何体的形状，然后根据三视图的投影规律—“长对正，高平齐，宽相等”，确定几何体的长、宽、高等相关数据值，再根据相关公式计算几何体的面积．注意：

求解组合体的表面积时重叠部分不应计算在内．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

【类型三】由三视图求几何体的体积

某一空间图形的三视图如图所示，其中主视图是半径为1的半圆以及高为1的矩形；左视图是半径为1的四分之一圆以及高为1的矩形；俯视图是半径为1的圆，求此图形的体积（参考公式：

V球＝

πR3）．

解析：

由已知中的三视图，我们可以判断出该几何体的形状为下部是底面半径为1，高为1的圆柱，上部是半径为1的

球组成的组成体，代入圆柱体积公式和球的体积公式，即可得到答案．

解：

由已知可得该几何体是一个下部为圆柱，上部为

球的组合体．由三视图可得，下部圆柱的底面半径为1，高为1，则V圆柱＝π，上部

球的半径为1，则V

球＝

π，故此几何体的体积为

.

方法总结：

由三视图求几何体的体积，首先要根据三视图分析几何体的形状，然后根据三视图的投影规律“长对正，高平齐，宽相等”确定几何体的长、宽、高等相关数据值．再根据相关公式计算几何体各部分的体积并求和．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题

【类型四】由三视图确定几何体面