第一章 1 11 第2课时 集合的表示.docx

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第一章111第2课时集合的表示

第2课时　集合的表示

学习目标

　1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用.2.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．

知识点一　列举法

把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{}”内表示集合的方法叫作列举法．

思考　一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？

答案　不需要，集合元素具有无序性．

知识点二　描述法

通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法．一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}，即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征．

思考　不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？

答案　元素的共同特征为x∈R，且x<5.

知识点三　有限集、无限集、空集

含有有限个元素的集合叫作有限集；含有无限个元素的集合叫作无限集；不含任何元素的集合叫作空集，记作∅.

知识点四　区间

1．区间概念（a，b为实数，且a

定义

名称

符号

数轴表示

{x|a≤x≤b}

闭区间

[a，b]

{x|a

开区间

（a，b）

{x|a≤x

半开半闭区间

[a，b）

{x|a

半开半闭区间

（a，b]

2.其他区间的表示

定义

R

{x|x≥a}

{x|x>a}

{x|x≤a}

{x|x

区间

（－∞，＋∞）

[a，＋∞）

（a，＋∞）

（－∞，a]

（－∞，a）

思考　区间能表示空集吗？

答案　不能，因为区间[a，b]（（a，b））中a

1．由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．（　×　）

2．集合{（1,2）}中的元素是1和2.（　×　）

3．集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．（　√　）

4．{x|x>1}与{y|y>1}是不同的集合．（　×　）

一、用列举法表示集合

例1　用列举法表示下列集合：

（1）不大于10的非负偶数组成的集合；

（2）方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；

（3）一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点所组成的集合；

（4）由所有正整数构成的集合．

解　

（1）因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．

（2）方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．

（3）将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是（0,1），故交点组成的集合是{（0,1）}．

（4）正整数有1,2,3，…，所求集合为{1,2,3，…}．

（学生留）

反思感悟　用列举法表示集合应注意的两点

（1）应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素．

（2）若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素．

跟踪训练1　用列举法表示下列给定的集合：

（1）方程（x－1）2（x－2）＝0的解组成的集合；

（2）“Welcome”中的所有字母构成的集合；

（3）2022年冬奥会的主办城市组成的集合；

（4）函数y＝2x－1的图象与坐标轴的交点组成的集合．

解　

（1）方程（x－1）2（x－2）＝0的解为1和2，因此可以用列举法表示为{1,2}．

（2）由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m，共6个元素，因此可以用列举法表示为{W，e，l，c，o，m}．

（3）北京、张家口同为2022年冬奥会主办城市，因此可以用列举法表示为{北京，张家口}．

（4）函数y＝2x－1的图象与x轴的交点为

，与y轴的交点为（0，－1），因此可以用列举法表示为

.

二、用描述法表示集合

例2　用描述法表示下列集合：

（1）使y＝

有意义的实数x的集合；

（2）坐标平面上第一、三象限内点的集合；

（3）函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象上所有点的集合；

（4）方程x2＋（m＋2）x＋m＋1＝0（m∈Z）的解组成的集合．

解　

（1）要使y＝

有意义，则x－6≠0，即x≠6，

故满足题意的实数x的集合是{x∈R|x≠6}．

（2）第一、三象限内点的特征是横、纵坐标符号相同，因此满足题意的点的集合是{（x，y）|xy>0，x∈R，y∈R}．

（3）满足题意的点的集合是{（x，y）|y＝ax2＋bx＋c（a≠0），x∈R}．

（4）方程的解组成的集合是{x|x2＋（m＋2）x＋m＋1＝0，m∈Z，x∈R}．

（学生）

反思感悟　利用描述法表示集合应关注五点

（1）写清楚该集合的代表元素．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}．

（2）所有描述的内容都要写在花括号内．

（3）不能出现未被说明的字母．

（4）在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．

（5）在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素．如{直角三角形}，{自然数}等．

跟踪训练2　用描述法表示下列集合：

（1）方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；

（2）平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．

解　

（1）方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为（x－2）2＋（y＋3）2＝0，解得x＝2，y＝－3.

所以方程的解集为{（x，y）|x＝2，y＝－3}．

（2）坐标轴上的点（x，y）的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{（x，y）|xy＝0}．

三、集合表示法的综合应用

例3　选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集：

（1）大于1且小于70的正整数构成的集合；

（2）方程x2－2

x＋2＝0的实数解构成的集合；

（3）方程组

的解集．

解　

（1）设大于1且小于70的正整数构成的集合为A，则集合A中有68个元素，是有限集，用描述法表示为A＝{x∈N|1

（2）设方程x2－2

x＋2＝0的实数解构成的集合为B，因为Δ＝8－8＝0，所以该方程有2个相等的实数解，即集合B中存在1个元素，则B是有限集．用描述法表示为B＝{x|x2－2

x＋2＝0}．

（3）由

得

故解集可用描述法表示为

，

也可用列举法表示为{（4，－2）}，是有限集．

反思感悟　

（1）如果集合中的元素比较少或所含元素不易表述，宜用列举法．

（2）如果集合中的元素比较多或有无限个元素，宜用描述法．

跟踪训练3　用适当的方法表示下列集合：

（1）36与60的公约数组成的集合；

（2）在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合；

（3）不等式x－2>6的解构成的集合；

（4）大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．

解　

（1）36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合为{1,2,3,4,6,12}．

（2）{x|x＝2n＋1且x<1000，n∈N}．

（3）{x|x>8}．

（4）{1,2,3,4,5,6}．

1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为（　　）

A．{1,1}B．{1}

C．{x＝1}D．{x2－2x＋1＝0}

答案　B

解析　方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实数解1，根据集合元素的互异性知B正确．

2．下列四个集合中，是空集的是（　　）

A．{0}B．{x|x>8或x<5}

C．{x∈R|x2＋1＝0}D．{x∈N|3.5

答案　C

解析　选项A，B，D都含有元素，而选项C中无元素，故选C.

3．集合{x∈N＋|x<5}的另一种表示法是（　　）

A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}

C．{0,1,2,3,4,5}D．{1,2,3,4,5}

答案　B

解析　N＋是正整数组成的集合．

4．能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为________________________．

答案　{x|x＝2n，n∈N＋}

解析　正整数中所有的偶数均能被2整除．

5．用列举法表示集合A＝

＝________.

答案　{5,4,2，－2}

解析　∵x∈Z，

∈N，∴6－x∈{1,2,4,8}，此时x∈{5,4,2，－2}，即A＝{5,4,2，－2}．

1．知识清单：

（1）用列举法和描述法表示集合．

（2）两种表示法的综合应用．

2．方法归纳：

等价转化．

3．常见误区：

点集与数集的区别．

1．集合{2,4,6,8,10}用描述法表示出来应是（　　）

A．{x|1

B．{x|2≤x≤10}

C．{x|x≤10，x∈N}

D．{x|x＝2n，n∈N,1≤n≤5}

答案　D

解析　集合{2,4,6,8,10}用描述法表示出来应是{x|x＝2n，n∈N,1≤n≤5}，故选D.

2．如果A＝{x|x>－1}，那么（　　）

A．－2∈AB．1∉AC．－3∈AD．0∈A

答案　D

解析　∵0>－1，故0∈A，选D.

3．已知集合M＝{y

}，用自然语言描述M应为（　　）

A．满足y＝x2的所有函数值y组成的集合

B．满足y＝x2的所有自变量x的取值组成的集合

C．函数y＝x2图象上的所有点组成的集合

D．以上均不对

答案　A

解析　由于集合M＝{y|y＝x2}的代表元素是y，而y为函数y＝x2的函数值，则M为满足y＝x2的所有函数值y组成的集合．

4．下列集合中，不同于另外三个集合的是（　　）

A．{x|x＝1}B．{x|x2＝1}

C．{1}D．{y|（y－1）2＝0}

答案　B

解析　{x|x2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，故选B.

5．（多选）下列结论不正确的是（　　）

A．集合{x∈R|x2＝1}中有两个元素

B．集合{0}中没有元素

C.

∈{x|x<2

}

D．{1,2}与{2,1}是不同的集合

答案　BCD

解析　{x∈R|x2＝1}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x|x<2

}＝{x|x<

}，

>

，

∉{x|x<2

}；根据集合中元素的无序性可知{1,2}与{2,1}是同一个集合．

6．已知集合A＝{x

}，用列举法表示集合A＝__________

答案　{1,2}

解析　因为A＝{x

}，所以A＝{1,2}．

7．已知集合A＝{x|2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________________．

答案　{a|a≤－2}

解析　∵1∉{x|2x＋a>0}，

∴2×1＋a≤0，即a≤－2.

8．下列六种表示方法：

①{x＝1，y＝4}；

②

；

③{1,4}；

④（1,4）；

⑤{（1,4）}；

⑥{x，y|x＝1或y＝4}．

其中，能表示“一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合”的是________（把所有正确答案的序号填在横线上）．

答案　②⑤

9．用适当的方法表示下列集合：

（1）一年中有31天的月份的全体；

（2）大于－3.5小于12.8的整数的全体；

（3）梯形的全体构成的集合；

（4）所有能被3整除的数的集合；

（5）方程（x－1）（x－2）＝0的解集；

（6）不等式2x－1>5的解集．

解　

（1）{1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．

（2）{－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}．

（3）{a|a是梯形}或{梯形}．

（4）{x|x＝3n，n∈Z}．

（5）{1,2}．

（6）{x|x>3}．

10．设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3,1}，试用列举法表示集合B.

解　集合A中的方程为x2－ax＋b－x＝0，整理得x2－（a＋1）x＋b＝0.

因为A＝{－3,1}，所以方程x2－（a＋1）x＋b＝0的两根为－3,1.

由根与系数的关系，得

解得

所以集合B中的方程为x2＋6x－3＝0，解得x＝－3±2

，

所以B＝{－3－2

，－3＋2

}．

11．已知P＝{x|2

A．6

C．5

答案　B

解析　∵P＝{x|2

∴P＝{3,4,5,6}，∴6≤k<7.

12．（多选）设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素可以为（　　）

A．5B．6C．7D．8

答案　ABCD

解析　1,2,3与4,5分别相加可得5,6,6,7,7,8，根据集合中元素的互异性可得集合M中有4个元素．

13．已知集合M＝{x|x＝3n，n∈Z}，N＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，P＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，且a∈M，b∈N，c∈P，若d＝a－b＋c，则（　　）

A．d∈MB．d∈N

C．d∈PD．d∈M且d∈N

答案　B

解析　由题意，设a＝3k，k∈Z，b＝3y＋1，y∈Z，c＝3m－1，m∈Z，则d＝3k－（3y＋1）＋3m－1＝3（k－y＋m）－2，令t＝k－y＋m，则t∈Z，则d＝3t－2＝3t－3＋1＝3（t－1）＋1，t∈Z，则d∈N，故选B.

14．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝

{－1,1,2}________（填“是”或“不是”）可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集________．（答案不唯一）

答案　不是　

解析　由于2的倒数

不在集合A中，故集合A不是可倒数集．若一个元素a∈A，则

∈A.若集合中有三个元素，故必有一个元素a＝

，即a＝±1，故可取的集合有

，

等．

15．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：

当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝16}中的元素个数是（　　）

A．18B．17

C．16D．15

答案　B

解析　因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，集合M中的元素是有序数对（a，b），所以集合M中的元素共有17个，故选B.

16．设集合B＝

.

（1）试判断元素1和2与集合B的关系；

（2）用列举法表示集合B.

解　

（1）当x＝1时，

＝2∈N；

当x＝2时，

＝

∉N，

所以1∈B,2∉B.

（2）因为

∈N，x∈N，

所以2＋x只能取2,3,6，

所以x只能取0,1,4，

所以B＝{0,1,4}．