完整版解排列组合应用题的解法技巧.docx
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完整版解排列组合应用题的解法技巧
解排列组合应用题的解法•技巧
引言:
1、本资料对排列、组合应用题归纳为8种解法、13种技巧
2、解排列组合问题的“16字方针”:
分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合
一般先选再排,即先组合再排列,先分再排。
弄清要完成什么样的事件是前提,解决这类问题通常有三种途径
(1)以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素
(2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则
(3)先不考虑附加条件,计算岀排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数前两种方式叫直接
解法,后一种方式叫间接(剔除)解法注:
数量不大时可以逐一排出结果。
3、解排列组合问题的依据是:
分类相加(每类方法都能独立地完成这件事,它是相互独立的,一次的且
每次得岀的是最后的结果,只需一种方法就能完成这件事),分步相乘(一步得岀的结果都不是最后的结果,任何一步都不能独立地完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事,各步是关联的),有序排列,
无序组合.
(一)排列组合应用题的解法
排列组合应用题的解题方法既有一般的规律,又有很多特别的技巧,它要求我们要认真地审题,对题目
中的信息进行科学地加工处理。
下面通过一些例题来说明几种常见的解法。
一.运用两个基本原理二.特殊元素(位置)优先三.捆绑法四.插入法五.
排除法六.机会均等法七.转化法八.隔板法
1.运用两个基本原理
加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点,可以说对每道应用题我们
都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。
例1:
n个人参加某项资格考试,能否通过,有多少种可能的结果?
解法1:
用分类记数的原理,没有人通过,有c0种结果;1个人通过,有cn种结果,……;
n个人通过,有C;种结果。
所以一共有C:
CnC:
2n种可能的结果。
解法2:
用分步记数的原理。
第一个人有通过与不通过两种可能,第二个人也是这
样,……,第n个人也是这样。
所以一共有2n种可能的结果。
例2:
同室四人各写了一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有()
(A)6种(B)9种(C)11种(D)23种
解:
设四个人分别为甲、乙、丙、丁,各自写的贺年卡分别为a、b、c、do
第一步,甲取其中一张,有3种等同的方式;
第二步,假设甲取b,则乙的取法可分两类:
(1)乙取a,则接下来丙、丁的取法都是唯一的,
(2)乙取c或d(2种方式),不管哪一种情况,接下来丙、丁的取法也都是唯一的。
根据加法原理和乘法原理,一共有3(12)9种分配方式。
2.特殊元素(位置)优先----(优待法)
所谓“优待法”是指在解决排列组合问题时,对于有限制条件的元素(或位置)
要优先考虑•
例3:
从0,1,……,9这10个数字中选取数字组成偶数,一共可以得到不含相同数
字的五位偶数多少个?
解:
个位选0,有P4个,个位不选0且万位不能选0,有c4c8P83个,所以一共可以得
到F94C4C8P8313776个偶数。
注0,2,4,6,8是特殊元素,元素0更为特殊,首位与末位是特殊的位置。
例4:
8人站成两排,每排4人,甲在前排,乙不在后排的边上,一共有多少种排法?
解:
先排甲,有P:
种排法。
再排乙,有P?
种排法,再排其余的人,又有P6种排法,
所以一共有P4P51P6614400种排法。
【eg】在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中,不能被
5整除的数共有()个.
(解法一)元素优先数字0、1、2、3、4、5中含有0元素,组成四位数时,
0不能放在首位•又所求四位数不能被5整除,因而可以根据是否含有0和5两个元素将所求四位数分成四类:
第一类:
含0不含5的四位数,共有匸爲:
=48(个);第
IJ
二类:
含5不含0的四位数,共有'宀=72(个);第三类:
含0也含5的四位数,共有©©九=48(个);第四类:
不合0也不含5的四位数,共有':
=24(个)•所以,符合条件的四位数共有48+72+48+24=192(个).
(解法二)位置优待根据所求四位数对首末两个位置的特殊要求可以分步解
答:
第一步:
排个位一一个位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字中任选一个,共有'种选法;第二步;排首位首位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字被个位选掉后剩余的三个数字及数字5中任选一个,共有5种选法;第三步:
排中间两位,中间两柱可以从个位和首位排好后剩余的数字四个数字中任选两个,共有
种排法•所以符合条件的四位数共有匚厲打=4x4X4X3=192(个).
〔注〕这道例题是典型的限制排列组合题.解题时,若从元素入手(即元素优先),常要分类讨论,分类时要注意堵漏防重;若从位置入手(即位置优待1,常要分步解答,分步时要注意分步完整,各步相连.
三•捆绑法
在解决对于某几个元素要求相邻的问题时,先整体考虑,将相邻元素视作一个
大元素进行排序,然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法.
例5:
8人排成一排,甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁,有多少种排法?
解:
把甲、乙、丙先排好,有P2种排法,把这三个人“捆绑”在一起看成是一个,与
其余5个人相当于6个人排成一排,有P66种排法,所以一共有P22P/=1440种排法。
〔注〕运用捆绑法解决排列组合问题时,一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题.
四•插空法
不相邻问题是指要求某些元素不能相邻,由其它元素将它们隔开.解决此类问题可以先将其它元素排好,再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置,故称插空法.
例6:
排一张有8个节目的演出表,其中有3个小品,既不能排在第一个,也不能有两个小品排在一起,有几种排法?
解:
先排5个不是小品的节目,有p55种排法,它们之间以及最后一个节目之后一共有
6个空隙,将3个小品插入进去,有P5种排法,所以一共有P5P53=7200种排法。
注:
捆绑法与插入法一般适用于有如上述限制条件的排列问题
【eg】用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数,要求1与2相邻,2与4相邻,5与6相邻,而7与8不相邻。
这样的八位数共有()个.(用数字作答)
解:
由于要求1与2相邻,2与4相邻,可将1、2、4这三个数字捆绑在一起形成一个大元素,这个大元素的内部中间只能排2,两边排1和4,因此大元素内部共有八种排法,再把5与6也捆绑成一个大元素,其内部也有*种排法,与数字3共计三个元素,先将这三个元素排好,共有A:
种排法,再从前面排好的三个元素形成的间隙及两端共四个位置中任选两个,把要求不相邻的数字7和8插入即可,共
有嘉种插法,所以符合条件的八位数共有仏町“;=288(种).
〔注〕运用插空法解决不相邻问题时,要注意欲插入的位置是否包含两端位置.
五•正难则反一一排除法
对于含“至多”或“至少”的排列组合问题,若直接解答多需进行复杂讨论,可以考虑“总体去杂”,即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉,从而计算出符合条件的排列组合数的方法.
例7;求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。
解:
从8个点中取4个点,共有C;种方法,其中取出的4个点共面的有6612种,
所以符合条件的四面体的个数为C841258个。
例&100件产品中有3件是次品,其余都是正品。
现在从中取出5件产品,其中含有
次品,有多少种取法?
解:
从100件产品中取5件产品,有Cw0种取法,从不含次品的95件中取出5件产品
例9:
8个人站成一排,其中A与B、A与C都不能站在一起,一共有多少种排法?
解:
无限制条件有P88种排法。
A与B或A与C在一起各有P;P7种排法,A、B、C
三人站在一起且A在中间有p22p6种排法,所以一共有P82P/P7+P22P56=21600种排法。
【eg】从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要甲型与乙型电视机各一台,则不同的取法共有()种.
A.140种B.80种
C.70种D.35种
解:
在被取出的3台中,不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合题意,因此符
JJ.3I
合题意的抽取方法有’=70(种),故选C.
应该指出的是,上述介绍的各种方法并非绝对的。
同一问题有时会有多种解法,
这时,要认真思考和分析,灵活选择最佳方法.
〔注〕这种方法适用于反面的情况明确且易于计算的习题
6.机会均等法
例10:
10个人排成一队,其中甲一定要在乙的左边,丙一定要在乙的右边,一共有多少种排法?
解:
甲、乙、丙三人排列一共有6种排法,在这6种排法中各种排列顺序在10个人的
1
所有排列中出现的机会是均等的,因此符合题设条件的排法种数为丄P00604800。
6
例11:
用1,4,5,x四个数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,
求x。
解:
若x不为0,在每一个数位上1,4,5,x,出现的机会是均等的。
由于一共可以得到24个四位数,所以每一个数字在每一个数位上出现6次,于是得到:
64(145x)288,解得x2。
若x为0,无解。
7.转化法
例12:
—个楼梯共10级台阶,每步走1级或2级,8步走完,一共有多少种走法?
解:
10级台阶,要求8步走完,并且每步只能走一级或2级。
显然,必须有2步中每步走2级,6步中每步走一级。
记每次走1级台阶为A,记每次走2级台阶为B,则原问题就相当于在8个格子中选2个填写B。
其余的填写A,这是一个组合问题,所以一共有C228种走法。
例13:
动点从(0,0)沿水平或竖直方向运动到达(6,8),要使行驶的路程最小,有多少种走法?
解:
动点只能向上或向右运动才能使路程最小而且最小的路程为14,把动点运动1个
单位看成是1步,则动点走了14步,于是问题就转化为在14个格子中填写6个“上”和8个“右”,这也是一个组合的问题,于是得到一共有C:
43003种走法。
8.隔板法
例14:
20个相同的球分给3个人,允许有人可以不取,但必须分完,有多少种分法?
解:
将20个球排成一排,一共有21个空隙,将两个隔板插入这些空隙中(两个隔板可
以插在同一空隙中),规定由隔板分成的左、中、右三部分球分别分给3个人,则每一种隔
法对应了一种分法,每一种分法对应了一种隔法,于是分法的总数为C2210种方法。
注:
本题可转化成求方程xyz20的非负整数解的个数。
【eg】10张参观公园的门票分给5个班,每班至少1张,有几种选法?
解:
这里只是票数而已,与顺序无关,故可把10张票看成10个相同的小球放入5个
不同的盒内,每盒至少1球,可先把10球排成一列,再在其中9个间隔中选4个位置插入4块"档板”分成5格(构成5个盒子)有C94种方法。
注:
档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。
【eg】10个相同的球各分给3个人,每人至少一个,有多少种分发?
每人至少两个呢?
(答:
36;
15);
分析:
显然,直接讨论分配方案复杂而又易错,采用隔板模型法,能化繁为简:
取10枚棋子排成一
列,在相邻的每两枚棋子形成的9个空隙中选取2个空隙,分别插入1个隔板(共两个隔板),讲10枚棋
2
子分割成3部分,因此名额分配方案的种数与隔板插入的组合数相等为C936
如果没人至少两个,可以这样理解:
先每人发一本,然后剩下7本每人至少1本按上面的方法有
C615种方法。
(二)排列、组合、解题技巧
排列组合问题是高考必考题,它联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,不易掌握,实践证明,备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用,本文介绍十二类典型排
列组合题的解答策略.
1•相邻问题并组法2•相离问题插空法3•定序问题缩倍法
4•标号排位问题分步法5•有序分配问题逐分法6•多元问题分类法
7•交叉问题集合法&定位问题优先法9•多排问题单排法
10•“至少”问题间接法11.选排问题先取后排法12•部分合条件问题排除法
13、均匀分配问题-均分法
1•相邻问题并组法题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列.
【例1】A、B、C、D、E五人并排站成一排,如果A、B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法种数有
A•60种B•48种C.36种D•24种
分析把A、B视为一人,且B固定在A的右边,则本题相当于
4人全排列,P:
=24种,故选D•
2.相离问题插空法
元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定相离的几
个元素插入上述几个元素间的空位和两端.
【例2】七个人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同排法的种数是
A.1440B.3600C.4820D.4800
分析除甲、乙外,其余5个排列数为Ps5种,再用甲、乙去插
6个空位有P;种,不同排法种数是P55P;=3600种,故选B.
3.定序问题缩倍法
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序,可用缩小倍数的方法.
【例3】A、B、C、D、E五个人并排站成一排,如果B必须站A的右边(A、B可不相
邻),那么不同的排法种数有
A.24种B.60种C.90种D.120种
分析B在A右边与B在A左边排法数相同,所以题设的排法只是
15
5个元素全排列数的一半,即2卩?
=60种,故选B.
4.标号排位问题分步法
把元素排到指定号码的位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元
素,如此继续下去,依次即可完成.
【例4】将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,贝U每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有
A.6种B.9种C.11种D.23种
分析先把1填入方格,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3
X3X1=9种填法,故选B.
5.有序分配问题逐分法
有序分配问题是指把元素按要求分成若干组,可用逐步下量分组法.
【例5】有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需1人承担,从10人中选出4
人承担这三项任务,不同的选法总数有
A.1260种B.2025种C.2520种D.5040种
分析先从10人中选出2个承担甲项任务,再从剩下8个中选1人承担乙项任务,第三步从另外7人中选1个承担两项任务,不同法共有C10C;C;=2520种,故选C.
6.多元问题分类法
元素多,取出的情况也有多种,可按结果要求,分成不相容的几类情况分别计算,最后总计.
【例6】由数字0,1,2,3,4,5组成且没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有
A.210个B.300个C.464个D.600个
分析按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况,
分别有p?
个,p4p1p3个、p3p3p3个、p2p3ps个、p3p3个,合并总计得300个,故选b.
【例7】从1,2,3,…100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,
这两个数的取法(不计顺序)共有多少种?
分析被取的两个数中至少有一个能被7整除时,它们的乘积就能被7整除,将这
100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记作A,则A={7,14,…
98}共有14个元素,不能被7整除
的数的集合A{1,2,…99,100}共有86个元素•由此可知,从A中任
取两数的取法,共有C:
种;从A中任取一个数又从A中任取一个数的取
法,共有C;4C;6种,两种情形共得符合要求的取法有C?
4C;4C;61295
【例8]从1,2,…100这100个数中,任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺
序)有多少?
分析将I={1,2,…,100}分成四个不相交的子集,能被4整除的数集A=
{4,8,…,100};被4除余1的数集B={1,5,…,97};被4除余2的数集为C
={2,6,…98};被4除余3的数集为D={3,7,…99},易见这四个集合,每一个都含25个元素;从A中任取两个数符合要求;从B、D中各取一个数的取法也符合要求;从C中任取两个数的取法同样符合要求;此外其它取法都
不符合要求•由此即可得符合要求的取法共有C;5+C;5C;5+C25(种)•
7•交叉问题集合法
某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式n(AUB)=n(A)
+n(B)—n(AnB)
【例9]从6名运动员中选出4个参加4X100m接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第
四棒,共有多少种不同参赛方法?
分析设全集1={6人中任取4人参赛的排列},A={甲第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:
n(I)—n(A)—n(B)+n(AnB)=P:
P;P;P:
=252(种).
&定位问题优先法
某个(或几个)元素要排在指定位置,可先排这个(几个)元素,再排其他元素.
【例10]1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念,若老师不在两端,则有不同的排
法有种.
分析老师在中间三个位置上选一个位置,有P3种;然后4名同学
在其余4个位置上有P:
种,共p3p:
=72种.
【eg]书架上有3本不同的书,如果保持这些书的相对顺序不变,再放上2本不同的书,有种
不同的放法
分析:
法一:
分两部完成,第一步,固定3本不同的书前后顺序进行排列,设其排列数为N,第二步,
A
再对三本书进行内部排列,有A种不同的方法,由分布计数原理,A?
NA;,所以N5_20种
A3
不同的方法。
2
法二:
可理解为从5个位置中选2个进行排列A5,三本书放剩余位置。
9•多排问题单排法
把元素排成几排的问题,可归结为一排考虑,再分段处理.
【例11]6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是
A.36B.120C.720D.1440.
分析前后两排可看成一排的两段,因此本题可视为6个不同元素
排成一排,共P;=720种,故选C.
【例12】8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,
某1个元素要排在后排,有多少种排法?
(高中代数甲种本第三册P82,23②).
分析看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个,有P42
种;某1个元素在后半段四个位置中选一个,有P41种;其余5个元素任
排在剩余的5个位置上有P;种,故共有p4p42P;=5760种排法.10.“至多”、“至少”问题间接法
关于“至少”类型组合问题,用间接法较方便.
【例13】从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同取法共有
A.140种B.80种C.70种D.35种
分析逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取
另一种型号的电视机,故不同取法共有C9C;C;=70种.故选C.
如从7名男同学和5名女同学中选出5人,至少有2名女同学当选的选法有种(答:
596)
提醒:
亦可分类来求.
11.选排问题先取后排法从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定位置上,可用先取后排法.
【例14】四个不同的球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法共有种
分析先取四个球中的二个为一组,另二组各一个球的方法有C24
种;再排:
在四个盒中每次排三个有P:
种,故共有c2c4=144种.
【例15】9名乒乓球运动员,其中男5名,女4名,现在要进行混合双打训练,有多少种不同分组法?
分析先取男、女运动员各二名,有c2c2种;这四名运动员混双练习有P22种排法,故共有c5c2p;种分组法.
如某种产品有4只次品和6只正品,每只产品均不相同且可区分,今每次取出一只测试,直到4只次
品全测出为止,则最后一只次品恰好在第五次测试时,被发现的不同情况种数是(答:
576)。
12.部分合条件问题排除法在选取总数中,只有一部分合条件,可从总数中减去不合条件数,即为所求.
【例16】以一个正方体顶点为顶点的四面体共有
A.70个B.64个c.58个D.52个
分析正方体8个顶点,从中每次取四点,理论上可构成c48个四
面体,但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体,所
以四面体实际共有C4—12=58个,故选C.
【例17】正六边形中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有
个.
分析7个点中取三点的取法有C3种,但有三组三点共线不能构成三角形,故所求三角形C7—3二32个.
13、均匀分配问题-均分法
【例17】6本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法:
(1)分给甲、乙、丙三人,每人2本;
(2)分为三份,每份2本;
(3)分为三份,一份1本,一份2本,一份3本;
(4)分给甲、乙、丙三人,一人1本,一人2本,一人3本;
(5)分给甲、乙、丙三人,每人至少1本.
解:
(1)根据分步计数原理得到:
c;c2c;90种;
222
(2)分给甲、乙、丙三人,每人两本有C6C4C2种方法,这个过程可以分两步完成:
第
步分为三份,每份两本,设有x种方法;第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A;种
方法.根据分步计数原理可得:
C2阳xC33,所以xC6A3C215.因此,分为三
份,每份两本一共有15种方法.
般地:
将mn个不同元素均匀分成
n组(每组m个元素),共有
种方
An
点评:
本题是分组中的“均匀分组”问题.
法.
(3)这是“不均匀分组”问题,一共有C:
C;C360种方法.
(4)在(3)的基础上再全排列,一共有c6c;C;a3360种方法.
(5)可以分为三类情况:
1“2、2、2型”即
(1)中的分配情况,有C;C:
C;90种方法;
2“1、2、3型”即(4)中的分配情况,有C6C;C;A3360种方法;
3“1、1、4型”,有cfA;90种方法;
所以,一共有
90+360+90=540种方法.
点评:
本题第(
3)种类型为部分均匀分组再分配,其分组总数为C6C2C1
A
思考
(1):
8名球员住AB、C三个房间,每个房间最多住3人,有多少种住宿方法?
解:
332
C8C5C23
A•
思考(
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