三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质.docx

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三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质

三角形“四心”向量形式的充要条件应

用

知识点总结

1.0是的重心；

若0是的重心，则故；

为的重心.

2.0是的垂心；

若0是（非直角三角形）的垂心，则

故

3.0是的外心（或）

若0是的外心则

故

4.0是内心的充要条件是

引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记的单位向量为，则刚才0是内心的

充要条件可以写成，0是内心的充要条件也可以是。

若0是的内心，则

故；

是的内心；

向量所在直线过的内心（是的角平分线所在直线）；

xx例

（一）将平面向量与三角形内心结合考查

例1.O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（）

（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心

解析：

因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可

化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在xx，AP平分，贝卩知选B.

（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”

例2.H是厶ABC所在平面内任一点，点H是厶ABC的垂心.

由,

同理，.故H是厶ABC的垂心.（反之亦然（证略））

例3.（xx）P是厶ABC所在平面上一点，若，则P是厶ABCF（D）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

解析:

由.即

贝S所以P为的垂心.故选D.

（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”

例4.G是厶ABC所在平面内一点，=0点G是厶ABC的重心.

证明作图如右，图中

连结BE和CE贝SCE=GBBE=GCBGCE平行四边形D是BC的中点，AD为BC边

上的中线.

将代入=0，

得=0,故G是厶ABC的重心.（反之亦然（证略））

例5.P是厶ABC所在平面内任一点.G是厶ABC的重心.

证明

••*是厶ABC的重心/•=0=0,即

由此可得.（反之亦然（证略））

例6若为内一点,,则是的（）

A.内心B.外心C.垂心D.重心

解析：

由得，如图以OBOC为相邻两边构作平行四边形，贝卩，由平行四边形性质知,,同理可证其它两边上的这个性质,所以是重心,选D。

（四）将平面向量与三角形外心结合考查

例7若为内一点,,贝是的（）

A.内心B.外心C.垂心D.重心

解析：

由向量模的定义知到的三顶点距离相等。

故是的外心,选B。

（五）将平面向量与三角形四心结合考查

例8．已知向量,,满足条件++=0,||=||=||=1,

求证△P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题）

证明由已知+=-，两边平方得•=,

同理•=•=,

「•11=11=11=，从而△P1P2P3是正三角形•

反之，若点0是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有++=0且||=||=||.

即0是4ABC所在平面内一点，

++=0且11=11=11点0是正△P1P2P3的中心.

例9.在△ABCxx已知QGH分别是三角形的外心、重心、垂心。

求证：

Q

GH三点共线，且QG:

GH=1:

2

【证明】：

以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系

设A（0,0）、B（x1,0）、C（x2,y2）,DE、F分别为ABBCAC的中点，则有:

由题设可设,

BC=化-X1,y2）

*岂-BC

AH*BCx2（x2-Xr）y2y4=0

y4-

:

QF_AC

rx2x,y2

.qf*ac=x2（2i）y2（2-y3）=0

222

x2（x2—Xi）y2

y3----

2y22

=1QH

3

即，故QGH三点共线，且QGGH=12

例10.若OH分别是△ABC的外心和垂心.求证

证明若厶ABC的垂心为H,外心为O,如图.

xxBO并延长交外接圆于D,XX结AD,CD.

•••,.又垂心为H,,,

•••AH//CDCH//AD

•••四边形AHCD为平行四边形，

•,故•

著名的“XX定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：

（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线一一“XX线”；

（2）三角形的重心在“XX线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心

到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。

“xx定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题

例11.设OGH分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求证

证明按重心定理G是厶ABC的重心

按垂心定理由此可得.

补充练习

1.已知A、B、C是平面上不共线的三点，0是三角形ABC的重心，动点P满足

=（++2）,则点P一定为三角形ABCF（B）

A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）

C.重心D.AB边的中点

1.B取AB边的xx点M贝打由二（-+刃可得3,二，即点P为三角形xxAB边上的xx线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.

2.在同一个平面上有及一点O满足关系式：

+=+=+,则O为的（D）

A外心E内心C重心D垂心

2.已知△ABC的三个顶点AB、C及平面内一点P满足：

，则P为的（C）

A外心E内心C重心D垂心

3.已知0是平面上一定点，AB、C是平面上不共线的三个点，动点P满足:

，贝SP的轨迹一定通过厶ABCW（C）

A外心E内心C重心D垂心

4.已知△ABCP为三角形所在平面上的动点，且动点P满足:

，则P点为三角形的（D）

A外心E内心C重心D垂心

5.已知△ABCP为三角形所在平面上的一点，且点P满足：

，贝SP点为三角形的（B）

A外心E内心C重心D垂心

6.在三角形ABCxx动点P满足：

，则P点轨迹一定通过厶ABC的:

（B）

A外心E内心C重心D垂心

7.已知非零向量与满足（+）•=0且・二，则厶ABC为（）

A.xx均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形

解析：

非零向量与满足（）•=0,即角A的平分线垂直于BC二AB=AC又二，/A二，所以△ABC为等边三角形，选D.

8.的外接圆的圆心为Q两条边上的高的交点为H,,则实数m二1

9•点Q是所在平面内的一点，满足，则点Q是的（B）

（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点

（C）三条中线的交点（D）三条高的交点

10.如图1,已知点G是的重心，过G作直线与ABAC两边分别交于MN两点，且，

，则。

三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质

证点G是的重心，知Q

得Q有。

又MNG三点共线（A不在直线MNxX,

于是存在，使得，

有=，

得，于是得。

例讲三角形中与向量有关的问题

教学目标：

1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法

2、向量的加法、数量积等性质

3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题

4、数形结合

教学重点：

灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题教学难点：

针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题教学过程：

1、课前练习

1.1已知Q是厶ABC内的一点，若，贝S0是厶ABCF〔〕

A、重心B、垂心C夕卜心D内心

1.2在厶ABCxx有命题①；②；③若，则△ABC为等腰三角形；④若，则厶ABC为锐角三角形，上述命题xx正确的是〔〕

A、①②B、①④C②③D②③④

2、知识回顾

2.1三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法

2.2向量的有关性质

2.3上述两者间的xx

3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题

例1、已知△ABCxx有和，试判断△ABC的形状。

练习1、已知△ABCxx，，B是厶ABCxx的最大角，若，试判断厶ABC的形状。

4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题

例2、已知0是4ABC所在平面内的一点，满足，则0是4ABC的:

〕

A、重心B、垂心C、外心D内心

5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题

例3、已知P是厶ABC所在平面内的一动点，且点P满足，则动点P一定过

△ABC—〕

三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质

A、重心B、垂心C、外心D内心

练习2、已知0为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足，

则动点P的轨迹一定通过厶ABCF〔〕

A、重心B、垂心C外心D内心

例4、已知0是厶ABC所在平面内的一点，动点P满足，则动点P一定过△ABC的

〔〕

A、重心B、垂心C、外心D内心

练习3、已知0是4ABC所在平面内的一点，动点P满足，则动点P一定过△ABC

的〔〕

A、重心B、垂心C、外心D内心

例5、已知点G是的重心，过G作直线与ABAC分别相交于MN两点，且，

求证：

6、小结

处理与三角形有关的向量问题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的

实数互化，合理地将向量等式和图形进行转化是处理这类问题的关键。

7、作业

1、已知0是厶ABC内的一点，若，贝S0是厶ABC的:

〕

A、重心B垂心C外心D内心

2、若厶ABC勺外接圆的圆心为Q半径为1,且，则等于〔〕

A、B、、1D、

3、已知Q是厶ABC所在平面上的一点，AB、C所对的过分别是a、b、c若，

则Q是厶ABCWt〕

A、重心B、垂心C、外心D内心

4、已知P是厶ABC所在平面内与A不重合的一点，满足，则P是厶ABCK〕

A、重心B、垂心C、外心D内心

5、平面上的三个向量、、满足，，求证：

△ABC为正三角形。

6、在厶ABCxxQ为xx线AM上的一个动点，若AMk2,求

三角形四心与向量的典型问题分析

向量是数形结合的载体,有方向,大小,双重性,不能比较大小。

在高中数学“平面向量”（必修4第二章）的学习中,一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面,我们又以向量为工具,运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。

在平面向量的应用中,用平面向量解决平面几何问题时,首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示,然后选择适当的基底向量,将相关向量表示为基向量的线性组合,把问题转化为基向量的运算问题,最后将运算的结果再还原为几何关系。

下面就以三角形的四心为出发点,应用向量相关知识,巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质。

既学习了三角形四心的一些特定性质,又体会了向量带来的巧妙独特的数学xx。

“重心”的向量风采

【命题1】是所在平面上的一点，若，则是的重心.如图

（1）.

【命题2】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的重心.

【解析】由题意，当时，由于表示边上的中线所在直线的向量，所以动点的

轨迹一定通过的重心，如图⑵.

“垂心”的向量风采【命题3】是所在平面上一点，若，则是的垂心.

【解析】由，得，即，所以.同理可证，.••是的垂心.如图⑶.

【命题4】

已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，

则动点的轨迹一定通过的垂心．

【解析】

由题意，由于，

即,所以表示垂直于的向量，即点在过点且垂直于的直线上，所以动点的轨迹一

定通过的垂心，如图⑷.

三、“内心”的向量风采

【命题5】

已知为所在平面上的一点，且，，.若，则是的内心.

图⑸图⑹

【解析】•••，，则由题意得，

・>

•••.T与分别为和方向上的单位向量，

•••与平分线共线，即平分.

同理可证：

平分，平分.从而是的内心，如图⑸.

【命题6】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的内心.

【解析】由题意得，.••当时，表示的平分线所在直线方向的向量，故动点的

轨迹一定通过的内心，如图⑹.

四、“外心”的向量风采

【命题7】已知是所在平面上一点，若，则是的外心.

【解析】若，贝打二，则是的外心，如图⑺。

【命题7】已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心。

【解析】由于过的中点，当时，表示垂直于的向量（注意：

理由见二、4条

解释。

），所以在垂直平分线上，动点的轨迹一定通过的外心，如图⑻。