毕业论文拉格朗日中值定理分析.docx

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毕业论文拉格朗日中值定理分析

毕业论文

题目拉格朗日中值定理

指导教师王子华

学生姓名卢波

学号201200702049

专业信息与计算科学

教学单位德州学院数学科学学院

二O一六年五月二十日

德州学院毕业论文课题说明书

2014年12月20日

题目

拉格朗日中值定理

指导教师

王子华

职称

教授

主要研究方向

拉格朗日中值定理的证明与应用

选题的主要目的和意义

拉格朗日中值定理是微积分的基础定理之一，在理论和应用上都有着重要的意义，它是沟通函数及其导数关系的桥梁，在高等代数与数学分析中的一些理论推导中有着中重要的作用。

通过对拉格朗日中值定理的证明和理解，可以在解决一些实际问题中取得大的效果。

国内外研究现状和发展趋势：

拉格朗日中值定理是数学学科中的基础学科，在自然科学和社会科学中有着不可替代的地位和作用.随着科学技术的发展和计算机的普及，拉格朗日中值定理的知识更是与经济息息相关，很多项经济方面的研究都离不开拉格朗自中值定理知识的应用，它为经济预测和决策提供了新的手段，是研究经济问题的有效工具.拉格朗日中值定理广泛应用于各领域，其发展与人类的生活息息相关,人类社会的进步离不开它的发展.

教学单位领导小组审批意见：

组长签名：

年月日

德州学院毕业论文开题报告书

2016年3月5日

院（系）

数学科学院

专业

信息与计算科学

姓名

卢波

学号

20120702049

论文题目

拉格朗日中值定理

一、选题目的和意义

拉格朗日中值定理是微积分的基础定理之一，在理论和应用上都有着重要的意义，它是沟通函数及其导数关系的桥梁，在高等代数与数学分析中的一些理论推导中有着中重要的作用。

通过对拉格朗日中值定理的证明和理解，可以在解决一些实际问题中取得大的效果

二、本选题在国内外的研究现状和发展趋势

拉格朗日中值定理是数学学科中的基础学科，在自然科学和社会科学中有着不可替代的地位和作用.随着科学技术的发展和计算机的普及，拉格朗日中值定理的知识更是与经济息息相关，很多项经济方面的研究都离不开拉格朗自中值定理知识的应用，它为经济预测和决策提供了新的手段，是研究经济问题的有效工具.拉格朗日中值定理广泛应用于各领域，其发展与人类的生活息息相关,人类社会的进步离不开它的发展

三、时间进度安排

起止时间：

2016年3月5日－2016年5月20日

进度安排：

3月5日－3月10日：

写好开题报告书草稿，并上交．按指导老师的建议对论文提纲或设计任务的内容、方法、步骤及相关问题进行修改；

3月11日—3月15日：

在老师的指导下，完成并打印好开题报告书，格式规范；

3月16日—4月30日：

进一步查阅资料，完成论文初稿，于4月20日-25日接受指导教师期中检查，并按指导老师提出的意见或建议修改论文，并打印完成；

5月4日—5月20日：

请指导老师再审阅论文打印稿，按指导教师要求及撰写规范进行修改，准备提交．

四、主要参考文献

[1] 华东师范大学数学系．数学分析（第三版）（上册）[M]．北京：

高等教育出版社，2001，119-121． 

[2] 华东师范大学.数学分析习题解析[M]．陕西：

陕西师范大学出版社，2004，87-91． 

[3] 钱吉林.数学分析题解精粹[M]．武汉：

崇文书局，2003，61-83

[4] 沈树民．微积分解题分析上[M].南京：

江苏科学技术出版社，2008，140. 

[5] 余庆红.中值定理的应用探讨[D].西安航空技术高等专科学校学报，2007（25）：

34-36.

[6] 刘坤林，谭泽光.大学数学概念、方法与技巧[M].北京：

教学单位领导小组审批意见：

组长签名：

年月日

德州学院毕业论文中期检查表

院（系）：

数学科学学院专业：

信息与计算科学2016年4月20日

毕业论文题目：

拉格朗日中值定理

学生姓名

卢波

学号

201200702049

指导教师

王子华

职称

教授

计划完成时间：

2015年5月20日

毕业论文的进度计划：

3月5日－3月10日：

写好开题报告书草稿，并上交．按指导老师的建议对论文提纲或设计任务的内容、方法、步骤及相关问题进行修改；

3月11日—3月15日：

在老师的指导下，完成并打印好开题报告书，格式规范；

3月16日—4月30日：

进一步查阅资料，完成论文初稿，于4月20日-25日接受指导教师期中检查，并按指导老师提出的意见或建议修改论文，并打印完成；

5月4日—5月20日：

请指导老师再审阅论文打印稿，按指导教师要求及撰写规范进行修改，准备提交．

完成情况：

到现在为止，我通过阅读文献和查找资料具体学习和认识了拉格朗日中值定理的相关知识，能够较为全面的了解拉格朗日中值定理在经济生活中的应用，并且经过进一步查阅资料完成了初稿.同时在这段时间里，我也深深体会到了从事学术研究的艰辛，但同时又体会到了收获的快乐.

指导教师评议：

评议人：

年月日

备注：

目   录

摘  要………………………………………………………………………………1 

关键字…………………………………………………………1 

Abstract………………………………………………………………………………1 

KeyWord………………………………………………………………………………1 

0前言…………………………………………………………………………………1 

1对拉格朗日中值定理的理解 ………………………………………………………1 

1.1承上启下的定理……………………………………………………………1

1.2定理中的条件………………………………………………………………1 

1.3定理中的x…………………………………………………………………2 

1.4定理的意义…………………………………………………………………2 

2 拉格朗日中值定理的证明……………………………………………………2 

3 拉格朗日中值定理的应用…………………………………………………………3 

3.1求极限………………………………………………………………………3 

3.2证明不等式….………………………………………………………………5 

3.3证明恒等式…………………………………………………………………8 

3.4证明等式……………………………………………………………………9 

3.5研究函数在区间上的性质 …………………………………………………10 

3.6估值问题 ……………………………………………………………………11

 3.7判定级数的收敛性 …………………………………………………………12 

3.8证明方程根的存在性 ……………………………………………………13

 3.9误用拉格朗日中值定理 ……………………………………………………14 

结束语……………………………………………………………………………15

参考文献………………………………………………………16 

致 谢…………………………………………………………………………………16

拉格朗日中值定理的应用 

                          学生姓名：

卢波       学号：

201200702049

                       院系：

数学科学学院        专业：

信息与还算科学

     指导老师：

王子华       职称：

教授

摘要：

拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，它是沟通函数及其导数之间关系的桥梁，课本中关于拉格朗日中值定理的应用并没有专门的讲解，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用，并没有系统的总结。

本文首先进一步分析了定理的实质，以便使读者深入理解拉格朗日中值定理；然后从课本中证明拉格朗日中值定理的思想（构造辅助函数法）出发，提出了一个较简单的辅助函数，从而使拉格朗日中值定理的证明简单化；以此为理论依据并在别人研究的基础上，最后重点总结了拉格朗日中值定理在各个方面的应用。

这对于正确的理解掌握拉格朗日中值定理，以及以后进一步学习数学具有重要的作用和深远的意义。

关键词：

拉格朗日中值定理；应用；极限；不等式；收敛；根的存在性  

The Application of Lagrange's mean value theorem 

Abstract：

The Lagrange's mean value theorem is one of basic theorems of differential calculus and it also is communication function and its derivative bridge. There is no special explaination about the applications of Lagrange's mean value theorem and many researchers also just studied it in some applications and no systematic summary. In order to make the reader understand Lagrange's mean value theorem, this paper first analyzed the essence of the theorem and then from textbook proof Lagrange's mean value theorem thoughts （structure method of auxiliary function）, puts forwards a simpler auxiliary function. Thus make the proof of Lagrange's mean value theorem simplify. According to this theorem and the basis of others study, finally summarized all the aspects application of Lagrange's mean value theorem. It is quite important for understanding and mastering Lagrange's mean value theorem and also have a significant and profound significance for further study of mathematics.       

Keywords：

Lagrange's mean value theorem; Application; Limit; Inequality; Convergence; Roots

0前言

函数与其导数是两个不同的的函数，而导数只是反映函数在一点的局部特征，如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。

以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的理论基础。

拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用拉格朗日中值定理通过导数去研究函数的性态，拉格朗日中值定理的主要作用在于理论分析和证明. 

拉格朗日中值定理是几个微分中值定理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁。

在高等代数与数学分析中的一些理论推倒中起着很重要的作用。

课本中对拉格朗日中值定理的应用只是简单的举了例子，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用，并没有系统的总结，所以研究拉格朗日中值定理的应用，力求正确地理解和掌握它是十分必要的. 

拉格朗日中值定理：

若函数f满足如下条件：

（1） f在闭区间[a,b]上连续； 

（2） f在开区间（a,b）内可导，

 则在（a,b）内至少存在一点&，使得f’（&）= 

.[1]

对于此定理的应用，本文从求极限、估值问题、证明不等式、以及研究函数在区间上的性质等几个方面详细举例说明，以便我们更好的理解和掌握拉格朗日中值定理。

1 对拉格朗日中值定理的理解 

拉格朗日中值定理是微积分的基础定理之一，在理论和应用上都有着极其重要的意义。

该定理的叙述简单明了，并有明确的几何意义，很容易简单掌握，但要深刻认识定理的内容，特别是点的含义，就有较大难度。

熟练掌握定理的本质，会在解题时游刃有余，若对定理的实质了解不够深刻的话，会进入不少误区。

下面从四个方面对定理进行分析，以便更好的掌握定理。

1.1 承上启下的定理 

拉格朗日中值定理是导数概念的延伸，是导数各种应用的理论基础。

在讲完导数内容后，介绍导数的应用是顺理成章的。

而正是这一定理使得导数概念与其应用有机的联系起来。

例：

函数

==-=

∙

∙

∙

∙