排列与组合练习习题.docx
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排列与组合练习习题
排列与组合练习习题
(含答案解析)
1.6个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,则不同的乘车
方法数为()
A.40B.50C.60D.70
[解析]先分组再排列,一组2人一组4人有C=15种不同的分法;
C3
两组各3人共有A2=10种不同的分法,所以乘车方法数为25X2=50,
故选B.
2.有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()
A.36种B.48种C.72种D.96种
[解析]恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共a3a4=72种排法,故选C.
3.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使
用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有()
A.6个B.9个C.18个D.36个
[解析]注意题中条件的要求,一是三个数字必须全部使用,二是
相同的数字不能相邻,选四个数字共有C3=3(种)选法,即1231,1232,1233,而每种选择有A^C=6(种)排法,所以共有3X6=18(种)情况,即这样的四位数有18个.
4.男女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共
有30种不同的选法,其中女生有()
A.2人或3人B.3人或4人C.3人D.4人
[解析]设男生有n人,则女生有(8—n)人,由题意可得UgLn=30,解得n=5或n=6,代入验证,可知女生为2人或3人.5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用8步走完,则方法有()
A.45种B.36种C.28种D.25种
[解析]因为10*8的余数为2,故可以肯定一步一个台阶的有6步,一步两个台阶的有2步,那么共有C8=28种走法.
6.某公司招聘来8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,则不同的分配方案共有()
A.24种B.36种C.38种D.108种
[解析]本题考查排列组合的综合应用,据题意可先将两名翻译人员分到两个部门,共有2种方法,第二步将3名电脑编程人员分成两组,一组1人另一组2人,共有C3种分法,然后再分到两部门去共有Ca2种方法,第三步只需将其他3人分成两组,一组1人另一组2人即可,由于是每个部门各4人,故分组后两人所去的部门就已确定,故第三步共有C3种方法,由分步乘法计数原理共有2Ca26=36(种).7.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为()
A.33B.34C.35D.36
[解析]①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C1•A3
=12个;
②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有c2・a3+
AU18个;
③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C=3个.
故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33个,故选A.
8.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的
六位偶数的个数是()
A.72B.96C.108D.144
[解析]分两类:
若1与3相邻,有A•CaAA=72(个),若1与3不相邻有A3・a3=36(个)
故共有72+36=108个.
9.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,
每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有()
A.50种B.60种C.120种D.210种
[解析]先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有6种:
(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7),甲任选一种为C6,然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有A2种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C・a5=120种,故选C.
10.安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有种.(用数字作答)
[解析]先安排甲、乙两人在后5天值班,有a5=20(种)排法,其余5人再进行排列,有A5=120(种)排法,所以共有20X120=2400(种)安排方法.
11.今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这
9个球排成一列有中不同的排法.(用数字作答)
[解析]由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问
题,共有C9・C・C=1260(种)排法.
12.
将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有种(用数字作答).
c6c2
[解析]先将6名志愿者分为4组,共有cc种分法,再将4
组人员分到4个不同场馆去,共有A4种分法,故所有分配方案有:
CTC4井
—A—・A4=1080种.
13.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花,要
求相邻区域不同色,有中不同的种法(用数字作答).
[解析]5有4种种法,1有3种种法,4有2种种法.若1、3同色,2有2种种法,若1、3不同色,2有1种种法,二有4X3X2X(1X2+1X1)=72种.
14.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有
(A)12种(B)18种(C)36种(D)
54种
【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有^种方法;其他四封信放入
两个信封,每个信封两个有-种方法,共有「种,故选B.
15.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天1人,每人值班1天,若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有
A.504种B.960种C.1008种
D.1108种
解析:
分两类:
甲乙排1、2号或6、7号共有2A?
A:
A4种方法
甲乙排中间,丙排7号或不排7号,共有
4A;(A:
+A3A3A3)种方法
故共有1008种不同的排法
16.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是
(A)72(B)96(C108(D)144w_w_w.k*s
5*u.co*m
解析:
先选一个偶数字排个位,有3种选法w_w_w.k*s5*u.co*m
①若5在十位或十万位,则1、3有三个位置可排,3A2A2=24个
②若5排在百位、千位或万位,则1、3只有两个位置可排,共
3a;a2=12个
算上个位偶数字的排法,共计3(24+12)=108个
答案:
C
17.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)
表示一个信息,不同排列表示不同信息,若所用数字只有0和1,则
与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为
A.10B.11C.12D.15
【薛析】与信恳0110至多有两个对应位胃上的散字相同的信息刨S三娄…
第一粪』与信恳0!
询有两个对应位萱上的数字相同有C:
=6(个)屮
第二粪「与信恳0110有一个対应注置上的数序相同有C》4(个)卩
第三宾1与佰息0110没有一个对应上的数字相同^C;=l(个)•
与佰Mono至梦有两个对極憧賈上閑数宇相同的信息有<5+卄1=11丄个)・徵选b…
【命題意图】本题专査组合旬題与分题法计散庚理屈中档题.P
18.现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加。
甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙丁戌都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是
A.152B.126C.90D.54
【解析】分类讨论:
若有2人从事司机工作,则方案有C32A^18;若有1人从事司机工作,则方案有C;xc:
xA3^108种,所以共有18+108=126种,故B正确
19.甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学。
若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有(D)
(A)150种(B)180种(C)300种(D)345种
解:
分两类
(1)甲组中选出一名女生有c5'C3c;=225种选法;■■-乙组中选出一名女生有c5c;c2=120种选法.故共有
345种选法.选D
20.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为
A18B.24C.30D.36
【解析】用间接法解答:
四名学生中有两名学生分在一个班的种数是雳,顺序有a3种,而甲乙被分在同一个班的有a3种,所以种数是c:
a3—A3=30
21.2位男生和3位女生共5位同学站成一排,若男生甲不站两端,
3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是
A.60B.48C.42
D.36
【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A,(A共有C;A;=6种不同排法),剩下一名女生记作B,两名男生分别记作甲、乙;则男生甲必须在A、B之间(若甲在AB两端。
则为使AB不相邻,只有把男生乙排在A、B之间,此时就不能满足男生甲不在两端的要求)此时共有6X2=12种排法(A左B右和A右B左)最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙,所以,共有12X4=48
种不同排法。
解法二;同解法一,从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A,(A共有C32Af=6种不同排法),剩下一名女生记作B,两名男生分别记作甲、乙;为使男生甲不在两端可分三类情况:
第一类:
女生A、B在两端,男生甲、乙在中间,共有6A;A;=24种排法;
第二类:
“捆绑”A和男生乙在两端,则中间女生B和男生甲只有一种排法,此时共有6A2=12种排法
第三类:
女生B和男生乙在两端,同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法。
此时共有6A2=12种排法
三类之和为24+12+12=48种。
22.从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数位
[C]
A85B56C49D28
【解析】解析由条件可分为两类:
一类是甲乙两人只去一个的选法有:
C;C;=42,另一类是甲乙都去的选法有c2C;=7,所以共有42+7=49,即选C项。
23.3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,
3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是
A.360B.188C.216D.96
解析:
6位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻的排法
有A;C32A:
A2=332种,其中男生甲站两端的有a2a2c"a3a2=144,符合条件的排法故共有188
解析2:
由题意有2a2(c33a2)c2c3+a2”(c3a2)‘a:
=188,选B。
24.12个篮球队中有3个强队,将这12个队任意分成3个组(每组
4个队),则3个强队恰好被分在同一组的概率为()
A.1B.?
C.1D.】
555543
解析因为将12个组分成4个组的分法有目字种,而3个强队恰好
A3
被分在同一组分法有
3144
GG*。
故个强队恰好被分在同一组的概率为A2
c9c;c8c4a;c42c8c4a3二
3
:
。
55
25.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,
同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是(用数字作答).
【解析】对于7个台阶上每一个只站一人,则有A;种;若有一个台阶有2人,另一个是1人,则共有C3A;种,因此共有不同的站法种数是336种.
26.
锅中煮有芝麻馅汤圆6个,花生馅汤圆5个,豆沙馅汤圆4个,
圆都至少取到1个的概率为()
【解析】因为总的滔法G;,而所求事件的取法分为三类,即芝麻馅汤
圆、花生馅汤圆。
豆沙馅汤圆取得个数分别按1.1.2;1,2,1;2,1,1三类,故所求概率为
48
91
C^> c45 27.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则 不同的分配方案有种(用数字作答). 【解析】分两步完成: 第一步将4名大学生按,2,1,1分成三组, 其分法有C4C2C1;第二步将分好的三组分配到3个乡镇,其分法有A A3所以满足条件得分配的方案有C4C2C1心36 A 28.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里, 使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有() A.10种B.20种C.36种D.52 种 解析: 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,分情况讨论: 11号盒子中放1个球,其余3个放入2号盒子,有c;=4种方法; 21号盒子中放2个球,其余2个放入2号盒子,有C: =6种方法;则不同的放球方法有10种,选A. 29.将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有 (A)30种(B)90种(C)180种(D) 270种 解析: 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则将5名教师分成三组,一组1人,另两组都是2人,有鱼李=15种方法,再将3组分到3个班,共有15AJ.90种不同的分 A 配方案,选B. 30.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地 1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有种 解析: 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,可以分情况讨论,①甲、丙同去,则乙不去,有C: A4=240种选法;②甲、丙同不去,乙去,有C「a;=240种选法;③甲、乙丙都不去,有AS120种选法,共有600种不同的选派方案. 31.用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数,则其中数字 1,2相邻的偶数有个(用数字作答). 解析: 可以分情况讨论: ①若末位数字为0,则1,2,为一组,且可以交换位置,3,4,各为1个数字,共可以组成2A: =12个五位数;②若末位数字为2,则1与它相邻,其余3个数字排列,且0不是首位数字,则有2A2=4个五位数;③若末位数字为4,则1,2,为一组,且可以交换位置,3,0,各为1个数字,且0不是首位数字,则有2(2a|)=8个五位数,所以全部合理的五位数共有24个。 32.有一排8个发光二极管,每个二极管点亮时可发出红光或绿光, 若每次恰有3个二极管点亮,但相邻的两个二极管不能同时点亮,根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息,求 这排二极管能表示的信息种数共有多少种? [解析]因为相邻的两个二极管不能同时点亮,所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上,共有C3种亮灯办法.然后分步确定每个二极管发光颜色有2X2X2=8(种)方法,所以这排二极管能表示的信息种数共有Cx2X2X2=160(种). 33.按下列要求把12个人分成3个小组,各有多少种不同的分法? (1)各组人数分别为2,4,6个; (2)平均分成3个小组;(3)平均分成 3个小组,进入3个不同车间. c4cc [解析] (1)C: 2CoCf=13860(种); (2)—A—=5775(种); (3)分两步: 第一步平均分三组;第二步让三个小组分别进入三个不c42c8c4 同车间,故有一A—•A3=C2•Cs・C4=34650(种)不同的分法. 34.6男4女站成一排,求满足下列条件的排法共有多少种? (1)任何2名女生都不相邻有多少种排法? (2)男甲不在首位,男乙不在末位,有多少种排法? (3)男生甲、乙、丙排序一定,有多少种排法? (4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法? [解析] (1)任何2名女生都不相邻,则把女生插空,所以先排男生再让女生插到男生的空中,共有A6种不同排法. (2)方法一: 甲不在首位,按甲的排法分类,若甲在末位,则有a9种排法,若甲不在末位,则甲有aS种排法,乙有aS种排法,其余有aS种排法, 综上共有(A9+AA•A8)种排法. 方法二: 无条件排列总数 甲在首,乙在末A8 a1°°-甲在首,乙不在末a9-A 甲不在首,乙在末a9-A 甲不在首乙不在末,共有(A10-2启+A)种排法. (3)10人的所有排列方法有A0种,其中甲、乙、丙的排序有A3种, 又对应甲、乙、丙只有一种排序,所以甲、乙、丙排序一定的排法有 A10 A种. ⑷男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人 1 排列数相等,而10人排列数恰好是这二者之和,因此满足条件的有2A;0种排法. 35.已知m,n是正整数,f(x)=(1x)m(1x)n的展开式中x的系数为7, (1)试求f(x)中的X2的系数的最小值 (2)对于使f(x)的X2的系数为最小的m,n,求出此时x3的系数 (3)利用上述结果,求f(0.003)的近似值(精确到0.01) 解: 根据题意得: cm+C;=7,即m+n=7 (1) 22 m(m「1)n(nT)mn_n ! = 222 x2的系数为 将 (1)变形为n=7-m代入上式得 m2-7m21=(m-? )2-35 24 故当m=3或4时,x2的系数的最小值为9 (1)当m=3,n=4或m=4,n=3时,x3的系数为为C;•C;=5 (2)f(0.003)2.02
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