高考数学理科一本培养优选练中档大题分类练5选考部分选修44选修45.docx
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高考数学理科一本培养优选练中档大题分类练5选考部分选修44选修45
中档大题分类练(五) 选考部分(选修4-4、选修4-5)
(建议用时:
60分钟)
(对应学生用书第141页)
1.[选修4—4:
坐标系与参数方程]
(2018·邯郸市一模)在平面直角坐标系xOy中,曲线M的参数方程为
(t为参数,且t>0),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ.
(1)将曲线M的参数方程化为普通方程,并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求曲线M与曲线C交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
[解]
(1)∵
=t,∴x=
,即y=
(x-2),
又t>0,∴
-
>0,∴x>2或x<0,
∴曲线M的普通方程为y=
(x-2)(x>2或x<0).
∵ρ=4cosθ,∴ρ2=4ρcosθ,∴x2+y2=4x,
即曲线C的直角坐标方程为x2-4x+y2=0.
(2)由
得x2-4x+3=0,
∴x1=1(舍去),x2=3,
则交点的直角坐标为(3,
),极坐标为
.
[选修4-5:
不等式选讲]
(2018·邯郸市一模)已知函数f(x)=|x-4|+|x-1|-3.
(1)求不等式f(x)≤2的解集;
(2)若直线y=kx-2与函数f(x)的图象有公共点,求k的取值范围.
[解]
(1)由f(x)≤2,得
或
或
解得0≤x≤5.
故不等式f(x)≤2的解集为[0,5].
(2)f(x)=|x-4|+|x-1|-3=
作出函数f(x)的图象,如图所示,
直线y=kx-2过定点C(0,-2),
当此直线经过点B(4,0)时,k=
;
当此直线与直线AD平行时,k=-2.
故由图可知,k∈(-∞,-2)∪
.
2.[选修4—4:
坐标系与参数方程]
(2018·唐山市一模)已知直线l的参数方程为
(t为参数,0≤φ<π),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=1,l与C交于不同的两点P1,P2.
(1)求φ的取值范围;
(2)以φ为参数,求线段P1P2中点轨迹的参数方程.
[解]
(1)曲线C的直角坐标方程为x2+y2=1,将
代入x2+y2=1得
t2-4tsinφ+3=0(*).
由16sin2φ-12>0,得|sinφ|>
,又0≤φ≤π,
所以φ的取值范围是
.
(2)由(*)可知,
=2sinφ,代入
中,整理得P1P2的中点的轨迹方程为
φ为参数,
<φ<
.
[选修4-5:
不等式选讲]
(2018·沈阳质监三)已知正实数a,b,c,函数f(x)=|x+a|·|x+b|.
(1)若a=1,b=3,解关于x的不等式f(x)+x+1<0;
(2)求证:
f
(1)f(c)≥16abc.
[解]
(1)原不等式等价于|(x+1)(x+3)|<-x-1⇔x+1<(x+1)(x+3)<-x-1
⇔
⇔
⇔x∈(-4,-2).
(2)∵a,b,c为正数,所以有
∴f
(1)f(c)=(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)
≥2
·2
·2
·2
=16abc.
3.[选修4-4:
坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为
(φ为参数)以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C的普通方程;
(2)直线l的极坐标方程是2ρsin
=4
,射线OM:
θ=
与圆C的交点为O、P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.
[解]
(1)∵圆C的参数方程为
(φ为参数)∴圆C的普通方程为x2+(y-3)2=9.
(2)化圆C的普通方程为极坐标方程得ρ=6sinθ,
设P(ρ1,θ1),则由
解得ρ1=3,θ1=
,
设Q(ρ2,θ2),则由
解得ρ2=4,θ2=
,∴|PQ|=ρ2-ρ1=1.
[选修4-5:
不等式选讲]
已知函数f(x)=|x-4|+|x-2|.
(1)求不等式f(x)>2的解集;
(2)设f(x)的最小值为M,若2x+a≥M的解集包含[0,1],求a的取值范围.
[解]
(1)f(x)=|x-4|+|x-2|=
∴当x≤2时f(x)>2,6-2x>2,解得x<2;
当2<x<4时,f(x)>2得2>2,无解;
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