《用一次函数解决问题》解答题专题练习要点.docx

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《用一次函数解决问题》解答题专题练习要点

《用一次函数解决问题》解答题专题练习

1．星期天，李玉刚同学随爸爸妈妈回老家探望爷爷奶奶，爸爸8：

30骑自行车先走，平均每小时骑行20km；李玉刚同学和妈妈9：

30乘公交车后行，公交车平均速度是40km/h．爸爸的骑行路线与李玉刚同学和妈妈的乘车路线相同，路程均为40km．设爸爸骑行时间为x（h）．

（1）请分别写出爸爸的骑行路程y1（km）、李玉刚同学和妈妈的乘车路程y2（km）与x（h）之间的函数解析式，并注明自变量的取值范围；

（2）请在同一个平面直角坐标系中画出

（1）中两个函数的图象；

（3）请回答谁先到达老家．

2．有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：

（1）A、B两点之间的距离是　　米，甲机器人前2分钟的速度为　　米/分；

（2）若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式；

（3）若线段FG∥x轴，则此段时间，甲机器人的速度为　　米/分；

（4）求A、C两点之间的距离；

（5）直接写出两机器人出发多长时间相距28米．

3．甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A地出发前往B地，甲出发1h后，y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示．

（1）甲的速度是　　km/h；

（2）当1≤x≤5时，求y乙关于x的函数解析式；

（3）当乙与A地相距240km时，甲与A地相距　　km．

4．环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：

所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系．

（1）求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；

（2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？

为什么？

5．某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：

原进价（元/张）

零售价（元/张）

成套售价（元/套）

餐桌

a

270

500元

餐椅

a﹣110

70

已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．

（1）求表中a的值；

（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？

最大利润是多少？

（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元，按照

（2）中获得最大利润的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际全部售出后，所得利润比

（2）中的最大利润少了2250元．请问本次成套的销售量为多少？

6．根据卫生防疫部门要求，游泳池必须定期换水，清洗．某游泳池周五早上8：

00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：

30全部排完．游泳池内的水量Q（m3）和开始排水后的时间t（h）之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：

（1）暂停排水需要多少时间？

排水孔排水速度是多少？

（2）当2≤t≤3.5时，求Q关于t的函数表达式．

7．公司有330台机器需要一次性运送到某地，计划租用甲、乙两种货车共8辆，已知每辆甲种货车一次最多运送机器45台、租车费用为400元，每辆乙种货车一次最多运送机器30台、租车费用为280元（Ⅰ）设租用甲种货车x辆（x为非负整数），试填写表格．

表一：

租用甲种货车的数量/辆

3

7

x

租用的甲种货车最多运送机器的数量/台

135

租用的乙种货车最多运送机器的数量/台

150

表二：

租用甲种货车的数量/辆

3

7

x

租用甲种货车的费用/元

2800

租用乙种货车的费用/元

280

（Ⅱ）给出能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案，并说明理由．

8，暑假期间，小刚一家乘车去离家380公里的某景区旅游，他们离家的距离y（km）与汽车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．

（1）从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间？

（2）求线段AB对应的函数解析式；（3）小刚一家出发2.5小时时离目的地多远？

9．小李是某服装厂的一名工人，负责加工A，B两种型号服装，他每月的工作时间为22天，月收入由底薪和计件工资两部分组成，其中底薪900元，加工A型服装1件可得20元，加工B型服装1件可得12元．已知小李每天可加工A型服装4件或B型服装8件，设他每月加工A型服装的时间为x天，月收入为y元．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）根据服装厂要求，小李每月加工A型服装数量应不少于B型服装数量的

，那么他的月收入最高能达到多少元？

运行区间

票价

起点站

终点站

一等座

二等座

都匀

桂林

95（元）

60（元）

10．都匀某校准备组织学生及家长代表到桂林进行社会实践活动，为便于管理，所有人员必须乘坐同一列高铁，高铁单程票价格如表所示，二等座学生票可打7.5折，已知所有人员都买一等座单程火车票需6175元，都买二等座单程火车票需3150元；如果家长代表与教师的人数之比为2：

1．

（1）参加社会实践活动的老师、家长代表与学生各有多少人？

（2）由于各种原因，二等座单程火车票只能买x张（x＜参加社会实践的总人数），其余的须买一等座单程火车票，在保证所有人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买单程火车票的总费用y与x之间的函数关系式．

（3）在

（2）的方案下，请求出当x=30时，购买单程火车票的总费用．

11．我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在2000kg﹣5000kg（含2000kg和5000kg）的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）：

方案A：

每千克5.8元，由基地免费送货．方案B：

每千克5元，客户需支付运费2000元．

（1）请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y（元）与购买量x（kg）之间的函数表达式；

（2）求购买量x在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；

（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．

12．某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．

（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？

（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式；

（3）小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？

13．某学校计划组织500人参加社会实践活动，与某公交公司接洽后，得知该公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如表所示：

A型客车

B型客车

载客量（人/辆）

45

28

租金（元/辆）

400

250

经测算，租用A，B型客车共13辆较为合理，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：

（1）用含x的代数式填写下表：

车辆数（辆）

载客量（人）

租金（元）

A型客车

x

45x

400x

B型客车

13﹣x

（2）采用怎样的租车方案可以使总的租车费用最低，最低为多少？

14．我州某养殖场计划购买甲、乙两种鱼苗600条，甲种鱼苗每条16元，乙种鱼苗每条20元，相关资料表明：

甲、乙两种鱼苗的成活率为80%，90%

（1）若购买这两种鱼苗共用去11000元，则甲、乙两种鱼苗各购买多少条？

（2）若要使这批鱼苗的总成活率不低于85%，则乙种鱼苗至少购买多少条？

（3）在

（2）的条件下，应如何选购鱼苗，使购买鱼苗的总费用最低？

最低费用是多少？

15．周末，小芳骑自行车从家出发到野外郊游，从家出发0.5小时到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，小芳离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，行驶10分钟时，恰好经过甲地，如图是她们距乙地的路程y（km）与小芳离家时间x（h）的函数图象．

（1）小芳骑车的速度为　　km/h，H点坐标　　．

（2）小芳从家出发多少小时后被妈妈追上？

此时距家的路程多远？

（3）相遇后，妈妈载上小芳和自行车同时到达乙地（彼此交流时间忽略不计），求小芳比预计时间早几分钟到达乙地？

16．某校准备组织师生共60人，从南靖乘动车前往厦门参加夏令营活动，动车票价格如表所示：

（教师按成人票价购买，学生按学生票价购买）．

运行区间

成人票价（元/张）

学生票价（元/张）

出发站

终点站

一等座

二等座

二等座

南靖

厦门

26

22

16

若师生均购买二等座票，则共需1020元．

（1）参加活动的教师有　　人，学生有　　人；

（2）由于部分教师需提早前往做准备工作，这部分教师均购买一等座票，而后续前往的教师和学生均购买二等座票．设提早前往的教师有x人，购买一、二等座票全部费用为y元．

①求y关于x的函数关系式；

②若购买一、二等座票全部费用不多于1032元，则提早前往的教师最多只能多少人？

港口

运费（元/吨）

甲库

乙库

A港

14

20

B港

10

8

17．为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资．已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用（元/吨）如表所示：

（1）设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）求出最低费用，并说明费用最低时的调配方案．

18．某公司今年如果用原线下销售方式销售一产品，每月的销售额可达100万元．由于该产品供不应求，公司计划于3月份开始全部改为线上销售，这样，预计今年每月的销售额y（万元）与月份x（月）之间的函数关系的图象如图1中的点状图所示（5月及以后每月的销售额都相同），而经销成本p（万元）与销售额y（万元）之间函数关系的图象图2中线段AB所示．

（1）求经销成本p（万元）与销售额y（万元）之间的函数关系式；

（2）分别求该公司3月，4月的利润；

（3）问：

把3月作为第一个月开始往后算，最早到第几个月止，该公司改用线上销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出200万元？

（利润=销售额﹣经销成本）

19．荔枝是深圳的特色水果，小明的妈妈先购买了2千克桂味和3千克糯米糍，共花费90元；后又购买了1千克桂味和2千克糯米糍，共花费55元．（每次两种荔枝的售价都不变）

（1）求桂味和糯米糍的售价分别是每千克多少元；

（2）如果还需购买两种荔枝共12千克，要求糯米糍的数量不少于桂味数量的2倍，请设计一种购买方案，使所需总费用最低．

20．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地，设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），甲车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示

（1）求甲车从A地到达B地的行驶时间；

（2）求甲车返回时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）求乙车到达A地时甲车距A地的路程．

21．（列方程（组）及不等式解应用题）

春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．

（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？

（2）商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．

22．一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg．且不高于180元/kg，经销一段时间后得到如下数据：

销售单价x（元/kg）

120

130

…

180

每天销量y（kg）

100

95

…

70

设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系．

（1）直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；

（2）当销售单价为多少时，销售利润最大？

最大利润是多少？

23．某花店准备购进甲、乙两种花卉，若购进甲种花卉20盆，乙种花卉50盆，需要720元；若购进甲种花卉40盆，乙种花卉30盆，需要880元．

（1）求购进甲、乙两种花卉，每盆各需多少元？

（2）该花店销售甲种花卉每盆可获利6元，销售乙种花卉每盆可获利1元，现该花店准备拿出800元全部用来购进这两种花卉，设购进甲种花卉x盆，全部销售后获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式；

（3）在

（2）的条件下，考虑到顾客需求，要求购进乙种花卉的数量不少于甲种花卉数量的6倍，且不超过甲种花卉数量的8倍，那么该花店共有几种购进方案？

在所有的购进方案中，哪种方案获利最大？

最大利润是多少元？

24．A城有某种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．

（1）设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元，则有多少种不同的调运方案？

将这些方案设计出来；

（3）现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元（a≤200）作为优惠，其它费用不变，如何调运，使总费用最少？

25．甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，两车离开A城的距离y与t的对应关系如图所示：

（1）A、B两城之间距离是多少千米？

（2）求乙车出发多长时间追上甲车？

（3）直接写出甲车出发多长时间，两车相距20千米．

26．下表是世界人口增长趋势数据表：

年份x

1960

1974

1987

1999

2010

人口数量y（亿）

30

40

50

60

69

（1）请你认真研究上面数据表，求出从1960年到2010年世界人口平均每年增长多少亿人；

（2）利用你在

（1）中所得到的结论，以1960年30亿人口为基础，设计一个最能反映人口数量y关于年份x的函数关系式，并求出这个函数的解析式；

（3）利用你在

（2）中所得的函数解析式，预测2020年世界人口将达到多少亿人．

27．某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且全部售出，两种产品的利润如表所示：

A型产品利润

B型产品利润

甲店

200元/件

170元/件

乙店

160元/件

150元/件

（1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W（元），求W关于x的函数关系式，并求x的取值范围．

（2）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品每件的利润仍高于甲店B型产品每件的利润，其它利润不变，问该公司如何设计分配方案，可使得总利润最大？

28．某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台、乙型30台，现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割水稻，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如下表：

每台甲型收割机的租金

每台乙型收割机的租金

A地区

1800元

1600元

B地区

1600元

1200元

（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式；

（2）若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，试写出满足条件的所有分派方案；

（3）农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由．

29．甲、乙两组同学玩“两人背夹球”比赛，即：

每组两名同学用背部夹着球跑完规定的路程，若途中球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：

甲组两位同学掉了球；乙组两位同学则顺利跑完．设比赛距出发点用y表示，单位是米；比赛时间用x表示，单位是秒．两组同学比赛过程用图象表示如下．

（1）这是一次　　米的背夹球比赛，获胜的是　　组同学；

（2）请直接写出线段AB的实际意义；

（3）求出C点坐标并说明点C的实际意义．

30．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．

（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；

（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．

①求y关于x的函数关系式；

②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？

参考答案与解析

1．解；

（1）由题意，得y1=20x（0≤x≤2）

y2=40（x﹣1）（1≤x≤2）；

（2）由题意得；（3）由图象可得李玉刚和妈妈乘车和爸爸骑行同时到达老家．

　2．解：

（1）由图象可知，A、B两点之间的距离是70米，甲机器人前2分钟的速度为：

（70+60×2）÷2=95米/分；

（2）设线段EF所在直线的函数解析式为：

y=kx+b，

∵1×（95﹣60）=35，∴点F的坐标为（3，35），则

，解得，

，

∴线段EF所在直线的函数解析式为y=35x﹣70；

（3）∵线段FG∥x轴，∴甲、乙两机器人的速度都是60米/分；

（4）A、C两点之间的距离为70+60×7=490米；（5）设前2分钟，两机器人出发x分钟相距28米，由题意得，60x+70﹣95x=28，解得，x=1.2，前2分钟﹣3分钟，两机器人相距28米时，35x﹣70=28，解得，x=2.8．4分钟﹣7分钟，直线GH经过点（4，35）和点（7，0），

则直线GH的方程为y=﹣

x+

，当y=28时，解得x=4.6，

答：

两机器人出发1.2分或2.8分或4.6分相距28米．

3．解：

（1）根据图象得：

360÷6=60km/h；

（2）当1≤x≤5时，设y乙=kx+b，把（1，0）与（5，360）代入得：

，解得：

k=90，b=﹣90，

4．则y乙=90x﹣90；

（3）∵乙与A地相距240km，且乙的速度为360÷（5﹣1）=90km/h，

（4）∴乙用的时间是240÷90=

h，则甲与A地相距60×（

+1）=220km，

故答案为：

（1）60；（3）220

4．解：

（1）分情况讨论：

①当0≤x≤3时，设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b；

把A（0，10），B（3，4）代入得

，解得：

，∴y=﹣2x+10；

②当x＞3时，设y=

，把（3，4）代入得：

m=3×4=12，∴y=

；

综上所述：

当0≤x≤3时，y=﹣2x+10；当x＞3时，y=

；

（2）能；理由如下：

令y=

=1，则x=12＜15，故能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．　

5．解：

（1）由题意得

=

，解得a=150，经检验，a=150是原分式方程的解；

（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，销售利润为W元．得：

x+5x+20≤200，得：

x≤30．∵a=150，∴餐桌的进价为150元/张，餐椅的进价为40元/张．依题意可知：

W=

x•（500﹣150﹣4×40）+

x•（270﹣150）+（5x+20﹣

x•4）•（70﹣40）=245x+600，

∵k=245＞0，∴W关于x的函数单调递增，∴当x=30时，W取最大值，最大值为7950．

故购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是7950元．

（3）涨价后每张餐桌的进价为160元，每张餐椅的进价为50元，

设本次成套销售量为m套．依题意得：

（500﹣160﹣4×50）m+（30﹣m）×（270﹣160）+（170﹣4m）×（70﹣50）=7950﹣2250，即6700﹣50m=5700，解得：

m=20．

答：

本次成套的销售量为20套．　

6．解：

（1）暂停排水需要的时间为：

2﹣1.5=0.5（小时）．∵排水数据为：

3.5﹣0.5=3（小时），一共排水900m3，∴排水孔排水速度是：

900÷3=300m3/h；

（2）当2≤t≤3.5时，设Q关于t的函数表达式为Q=kt+b，易知图象过点（3.5，0）．

∵t=1.5时，排水300×1.5=450，此时Q=900﹣450=450，∴（2，450）在直线Q=kt+b上；

把（2，450），（3.5，0）代入Q=kt+b，得

，解得

，

∴Q关于t的函数表达式为Q=﹣300t+1050．　

7．解：

（Ⅰ）由题意可得，在表一中，当甲车7辆时，运送的机器数量为：

45×7=315（台），则乙车8﹣7=1辆，运送的机器数量为：

30×1=30（台），

当甲车x辆时，运送的机器数量为：

45×x=45x（台），则乙车（8﹣x）辆，运送的机器数量为：

30×（8﹣x）=﹣30x+240（台），

在表二中，当租用甲货车3辆时，租用甲种货车的费用为：

400×3=1200（元），则租用乙种货车8﹣3=5辆，租用乙种货车的费用为：

280×5=1400（元），

当租用甲货车x辆时，租用甲种货车的费用为：

400×x=400x（元），则租用乙种货车（8﹣x）辆，租用乙种货车的费用为：

280×（8﹣x）=﹣280x+2240（元），

故答案为：

表一：

315，45x，30，﹣30x+240；

表二：

1200，400x，1400，﹣280x+2240；

（Ⅱ）能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是甲车6辆，乙车2辆，

理由：

当租用甲种货车x辆时，设两种货车的总费用为y元，

则两种货车的总费用为：

y=400x+（﹣280x+2240）=120x+2240，

又∵45x+（﹣30x+240）≥330，解得x≥6，∵120＞0，

∴在函数y=120x+2240中，y随x的增大而增大，∴当x=6时，y取得最小值，

即能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是甲种货车6辆，乙种货车2辆．　

8．解：

（1）从小刚家到该景区乘车一共用了4h时间；

（2）设AB段图象的函数表达式为y=kx+b．∵A（1，80），B（3，320）在AB上，

∴

，解得

．∴y=120x﹣40（1≤x≤3）；

（3）当x=2.5时，y=120×2.5﹣40=260，380﹣260=120（km）．

故小刚一家出发2.5小时时离目的地120km远．

9．解：

（1）由题意