四川省泸州市届高三第一次诊断性考试数学理试题 Word版含答案.docx
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四川省泸州市届高三第一次诊断性考试数学理试题Word版含答案
泸州市2015届高三第一次教学质量诊断性考试
数学(理工类)
本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)。
第一部分1至2页,第二部分3至4页,共150分。
考试时间120分钟。
第一部分(选择题共50分)
注意事项:
用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。
不能答在草稿子、试题卷上。
一选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
1、设全集,集合,,则()
A、B、C、D、
2、函数的图象可能是()
A、B、C、D、
3、已知命题:
,,命题:
,,则下列说法中正确的是()
A、命题是假命题B、命题是真命题
C、命题是假命题D、命题是真命题
4、下列函数中,满足“对任意,都有”的是()
A、B、C、D、
5、设函数,其图象在点处的切线与直线垂直,则直线与坐标轴围成的三角形的面积为()
A、B、C、D、
6、已知为的边的中点,所在平面内有一个点,满足,则的值为()
A、B、C、D、
7、设,,且,则下列结论中正确的是()
A、B、C、D、
8、学校餐厅每天供应名学生用餐,每星期一有、两种菜可供选择。
调查表明,凡是在这星期一选菜的,下星期一会有改选菜;而选菜的,下星期一会有改选菜。
用表示第个星期一选的人数,如果,则的值为()
A、B、C、D、
9、已知实数满足,则的取值范围是()
A、B、C、D、
10、已知函数,若存在,当时,,则的取值范围是()
A、B、C、D、
第二部分(非选择题共100分)
注意事项:
用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上,答在试题卷上无效,作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。
答在试题卷上无效。
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分。
11、设复数满足(是虚数单位),则____________。
12、已知点,,则与向量方向相同的单位向量的坐标为____________。
13、已知数列为等差数列,,公差,、、成等比数列,则的值为____________。
14、已知函数在上是减函数,那么的取值范围是____________。
15、设非空集合,若对中任意两个元素,,通过某个法则“”,使中有唯一确定的元素与之对应,则称法则“”为集合上的一个代数运算。
若上的代数运算“”还满足:
(1)对,都有;
(2)对,,使得,。
称关于法则“”构成一个群。
给出下列命题:
①实数的除法是实数集上的一个代数运算;
②自然数集关于自然数的加法不能构成一个群;
③非零有理数集关于有理数的乘法构成一个群;
④正整数集关于法则构成一个群。
其中正确命题的序号是____________。
(填上所有正确命题的序号)。
三、解答题:
本大题共6小题,共75分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16、(本小题满分12分)
在中,角的对边分别是,若。
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若,的面积为,求的值。
17、(本小题满分12分)
某校校庆,各界校友纷至沓来,某班共来了位校友(且),其中女校友位,组委会对这位校友登记制作了一份校友名单,现随机从中选出位校友代表,若选出的位校友代表是一男一女,则称为“友情搭档”。
(Ⅰ)若随机选出的位校友代表为“友情搭档”的概率不小于,求的最大值;
(Ⅱ)当时,设选出的位校友代表中女校友人数为,求的分布列和均值。
18、(本小题满分12分)
设为数列的前项和,且对任意时,点都在函数的图象上。
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和的最大值。
19、(本小题满分12分)
已知函数。
(Ⅰ)判断函数的奇偶性,并证明;
(Ⅱ)若对于任意,不等式恒成立,求正实数的取值范围。
20、(本小题满分13分)
已知函数(,)图象的相邻两对称轴间的距离为,若将函数的图象向左平移个单位后图象关于轴对称。
(Ⅰ)求使成立的的取值范围;
(Ⅱ)设,其中是的导函数,若,且,求的值。
21、(本小题满分14分)
已知函数,。
(Ⅰ)求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)若函数有两个零点,且,求实数的取值范围并证明随的增大而减小。
答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
D
C
B
A
C
B
C
B
二、填空题
11.;12.;13.;14.;15.②③.
三、解答题
16.解:
(I)∵,
由正弦定理得:
,2分
∵,∴,3分
∴,即,5分
又,∴;6分
(II)∵,的面积为,
∴,7分
∴,8分
,即,9分
,10分
∴11分
.12分
17.解:
(Ⅰ)由题可知,所选两人为“最佳组合”的概率,3分
则,4分
化简得,解得,5分
故的最大值为16;6分
(Ⅱ)由题意得,的可能取值为,,,7分
则8分
9分
,10分
所以的分布列为
0
1
2
11分
.12分
18解:
(Ⅰ)因为点都在函数的图象上.
所以,1分
当时,,,2分
当时,,3分
所以,4分
,
是公比为,首项为的等比数列,
;5分
(Ⅱ)因为是公比为,首项为的等比数列,
所以,6分
∴,7分
∵,
∴数列是以为首项,公差为的等差数列,且单调递减,8分
由,9分
所以,即,
因为,,
∴,11分
数列的前项和的最大值为.12分
19.解:
(Ⅰ)由,得且,
∴函数的定义域为,1分
当时,,2分
,3分
所以,4分
∴f(x)在定义域上是奇函数;5分
(Ⅱ)由于,
当或时,恒成立,
所以在上是减函数,6分
因为x∈[2,4]且m>0,所以,7分
由及在上是减函数,
所以,8分
因为x∈[2,4],所以m<(x+1)(x-1)(7-x)在恒成立.9分
设g(x)=(x+1)(x-1)(7-x),,则g(x)=-x3+7x2+x-7,10分
所以g′(x)=-3x2+14x+1=-32+,
所以当时,g′(x)>0.
所以y=g(x)在上是增函数,g(x)min=g
(2)=15.11分
综上知符合条件的m的取值范围是.12分
20.解:
(Ⅰ)函数图象的相邻两对称轴间的距离,
∴函数的周期,,1分
∴,
将的图象向左平移个单位后得到的函数为,2分
∵图象关于y轴对称,
∴,又,3分
∴,即,4分
由得:
,即,5分
∴使的的取值范围是;6分
(Ⅱ)∵,
∴,7分
令得,解得,8分
∴,9分
∵,∴,10分
∵,∴,11分
∴,12分
∴.13分
21.解:
(Ⅰ)∵,所以定义域为且,1分
因为,
(1)当,又,即时,对恒成立,
∴的单调递增区间为;2分
(2)当,又,即时,
由得:
,或,3分
所以的单调递增区间为,;4分
(Ⅱ)当时,由,得.
当变化时,,的变化情况如下表:
1
+
0
-
↗
↘
这时,的单调递增区间是,单调递减区间是.5分
当x大于0且无限趋近于0时,的值无限趋近于;
当x无限趋近于0时,的值无限趋近于,6分
所以有两个零点,须满足>0,即,
所以的取值范围是.7分
因为是函数的两个零点,即,.
故.8分
设,则,且解得,.
所以.9分
令,,则.
令,得.
当时,.因此,在上单调递增,
故对于任意的,,由此可得,
故在上单调递增.
因此,由①可得随着的增大而增大.10分
因为是函数的两个零点,即,,
则,,
因为且,则,.11分
设,则,
所以在上单调递增,在上单调递减.12分
对于任意的,设,
故,其中;,其中.
因为在上单调递增,故由,即,可得;
类似可得,13分
由,则,所以.
所以,x=随着的增大而减小.
即随a增大而减小.14分
6.如图,四边形是平行四边形,D为边BC的中点,所以D为边的中点,的值为1.
7..因为,
,所以.
8.依题意有:
,
即,.因此.
9.由得:
,即,所以a,b是一元二次方程的两实根,且,令,因此,解之得:
,所以的取值范围是.
10.当时,因为,由或,得到的取值范围是,所以即的范围是.
15.①因为没有意义,故命题错误;
②自然数的加法是一个代数运算,加法满足结合律
(1)、
(2)有单位元0、但不满足使,故命题正确;
③有理数集的乘法是一个代数运算,满足
(1)、
(2),有单位元1、存在逆元使,故命题正确;
④是代数运算,运算不满足
(1).如
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