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高中数学必修三主要内容
第一章算法初步
1.1算法与程序图框
1.算法的含义:
在数学中,主要研究计算机能实现的算法,即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。
比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法,等等。
2.例子:
例1任意给定一个大于1的整数n,试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判定。
算法分析:
根据质数的定义,很容易设计出下面的步骤:
第一步:
判断n是否等于2,若n=2,则n是质数;若n>2,则执行第二步。
第二步:
依次从2至(n-1)检验是不是n的因数,即整除n的数,若有这样的数,则n不是质数;若没有这样的数,则n是质数。
这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法。
例2用二分法设计一个求议程x2–2=0的近似根的算法。
算法分析:
回顾二分法解方程的过程,并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过0.005,则不难设计出以下步骤:
第一步:
令f(x)=x2–2。
因为f
(1)<0,f
(2)>0,所以设x1=1,x2=2。
第二步:
令m=(x1+x2)/2,判断f(m)是否为0,若则,则m为所长;若否,则继续判断f(x1)·f(m)大于0还是小于0。
第三步:
若f(x1)·f(m)>0,则令x1=m;否则,令x2=m。
第四步:
判断|x1–x2|<0.005是否成立?
若是,则x1、x2之间的任意取值均为满足条件的近似根;若否,则返回第二步。
例3写出解二元一次方程组的算法
2x+y=1②
解:
第一步,②-①×2得5y=3;③
第二步,解③得y=3/5;
第三步,将y=3/5代入①,得x=1/5
学生做一做:
对于一般的二元一次方程组来说,上述步骤应该怎样进一步完善?
老师评一评:
本题的算法是由加减消元法求解的,这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法。
下面写出求方程组
的解的算法:
第一步:
②×A1-①×A2,得(A1B2-A2B1)y+A1C2-A2C1=0;③
第二步:
解③,得
;
第三步:
将
代入①,得
。
此时我们得到了二元一次方程组的求解公式,利用此公司可得到倒2的另一个算法:
第一步:
取A1=1,B1=-2,C1=1,A2=2,B2=1,C2=-1;
第二步:
计算
与
第三步:
输出运算结果。
可见利用上述算法,更加有利于上机执行与操作。
基础知识应用题
例4写出一个求有限整数列中的最大值的算法。
解:
算法如下。
S1先假定序列中的第一个整数为“最大值”。
S2将序列中的下一个整数值与“最大值”比较,如果它大于此“最大值”,这时你就假定“最大值”是这个整数。
S3如果序列中还有其他整数,重复S2。
S4在序列中一直到没有可比的数为止,这时假定的“最大值”就是这个序列中的最大值。
学生做一做写出对任意3个整数a,b,c求出最大值的算法。
老师评一评在例2中我们是用自然语言来描述算法的,下面我们用数学语言来描述本题的算法。
S1max=a
S2如果b>max,则max=b.
S3如果C>max,则max=c.
S4max就是a,b,c中的最大值。
综合应用题
例5写出求1+2+3+4+5+6的一个算法。
分析:
可以按逐一相加的程序进行,也可以利用公式1+2+…+n=
进行,也可以根据加法运算律简化运算过程。
解:
算法1:
S1:
计算1+2得到3;
S2:
将第一步中的运算结果3与3相加得到6;
S3:
将第二步中的运算结果6与4相加得到10;
S4:
将第三步中的运算结果10与5相加得到15;
S5:
将第四步中的运算结果15与6相加得到21。
算法2:
S1:
取n=6;
S2:
计算
;
S3:
输出运算结果。
算法3:
S1:
将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=3×7;
S2:
计算3×7;
S3:
输出运算结果。
小结:
算法1是最原始的方法,最为繁琐,步骤较多,当加数较大时,比如1+2+3+…+10000,再用这种方法是行不通的;算法2与算法3都是比较简单的算法,但比较而言,算法2最为简单,且易于在计算机上执行操作。
学生做一做求1×3×5×7×9×11的值,写出其算法。
老师评一评算法1;第一步,先求1×3,得到结果3;
第二步,将第一步所得结果3再乘以5,得到结果15;
第三步,再将15乘以7,得到结果105;
第四步,再将105乘以9,得到945;
第五步,再将945乘以11,得到10395,即是最后结果。
算法2:
用P表示被乘数,i表示乘数。
S1使P=1。
S2使i=3
S3使P=P×i
S4使i=i+2
S5若i≤11,则返回到S3继续执行;否则算法结束。
1、写出解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个算法。
2、写出求1至1000的正数中的3倍数的一个算法(打印结果)
1、解:
算法如下
S1计算△=b2-4ac
S2如果△〈0,则方程无解;否则x1=
S3输出计算结果x1,x2或无解信息。
2、解:
算法如下:
S1使i=1
S2i被3除,得余数r
S3如果r=0,则打印i,否则不打印
S4使i=i+1
S5若i≤1000,则返回到S2继续执行,否则算法结束。
1、写出解不等式x2-2x-3<0的一个算法。
解:
第一步:
x2-2x-3=0的两根是x1=3,x2=-1。
第二步:
由x2-2x-3<0可知不等式的解集为{x|-1 评注: 该题的解法具有一般性,下面给出形如ax2+bx+c>0的不等式的解的步骤(为方便,我们设a>0)如下: 第一步: 计算△= ; 第二步: 若△>0,示出方程两根 (设x1>x2),则不等式解集为{x|x>x1或x 第三步: 若△=0,则不等式解集为{x|x∈R且x }; 第四步: 若△<0,则不等式的解集为R。 2、求过P(a1,b1)、Q(a2,b2)两点的直线斜率有如下的算法: 第一步: 取x1=a1,y1=b1,x2=a2,y1=b2; 第二步: 若x1=x2; 第三步: 输出斜率不存在; 第四步: 若x1≠x2; 第五步: 计算 ; 第六步: 输出结果。 3、写出求过两点M(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法。 解: 算法: 第一步: 取x1=-2,y1=-1,x2=2,y2=3; 第二步: 计算 ; 第三步: 在第二步结果中令x=0得到y的值m,得直线与y轴交点(0,m); 第四步: 在第二步结果中令y=0得到x的值n,得直线与x轴交点(n,0); 第五步: 计算S= ; 第六步: 输出运算结果 3.程序框图的概念: 是一种用规定的图形,指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。 4.基本概念: (1)起止框图: 起止框是任何流程图都不可缺少的,它表明程序的开始和结束,所以一个完整的流程图的首末两端必须是起止框。 (2)输入、输出框: 表示数据的输入或结果的输出,它可用在算法中的任何需要输入、输出的位置。 图1-1中有三个输入、输出框。 第一个出现在开始后的第一步,它的作用是输入未知数的系数a11,a12,a21,a22和常数项b1,b2,通过这一步,就可以把给定的数值写在输入框内,它实际上是把未知数的系数和常数项的值通知给了计算机,另外两个是输出框,它们分别位于由判断分出的两个分支中,它们表示最后给出的运算结果,左边分支中的输出分框负责输出D≠0时未知数x1,x2的值,右边分支中的输出框负责输出D=0时的结果,即输出无法求解信息。 (3)处理框: 它是采用来赋值、执行计算语句、传送运算结果的图形符号。 图1-1中出现了两个处理框。 第一个处理框的作用是计算D=a11a22-a21a12的值,第二个处理框的作用是计算x1=(b1a22-b2a12)/D,x2=(b2a11-b1a21)/D的值。 (4)判断框: 判断框一般有一个入口和两个出口,有时也有多个出口,它是惟一的具有两个或两个以上出口的符号,在只有两个出口的情形中,通常都分成“是”与“否”(也可用“Y”与“N”)两个分支,在图1-1中,通过判断框对D的值进行判断,若判断框中的式子是D=0,则说明D=0时由标有“是”的分支处理数据;若D≠0,则由标有“否”的分支处理数据。 例如,我们要打印x的绝对值,可以设计如下框图。 5.三种基本结构: 1)顺序结构: 顺序结构描述的是是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序进行的。 例2: 已知一个三角形的三边分别为2、3、4,利用海伦公式设计一个算法,求出它的面积,并画出算法的程序框图。 算法分析: 这是一个简单的问题,只需先算出p的值,再将它代入公式,最后输出结果,只用顺序结构就能够表达出算法。 程序框图: 2)条件结构: 一些简单的算法可以用顺序结构来表示,但是这种结构无法对描述对象进行逻辑判断,并根据判断结果进行不同的处理。 因此,需要有另一种逻辑结构来处理这类问题,这种结构叫做条件结构。 它是根据指定打件选择执行不同指令的控制结构。 例3: 任意给定3个正实数,设计一个算法,判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在,画出这个算法的程序框图。 算法分析: 判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在,只需要验收这3个数当中任意两个数的和是否大于第3个数,这就需要用到条件结构。 程序框图: 3)循环结构: 在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理步骤的情况,这就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,显然,循环结构中一定包含条件结构。 循环结构又称重复结构,循环结构可细分为两类: (1)一类是当型循环结构,如图1-5 (1)所示,它的功能是当给定的条件P1成立时,执行A框,A框执行完毕后,再判断条件P1是否成立,如果仍然成立,再执行A框,如此反复执行A框,直到某一次条件P1不成立为止,此时不再执行A框,从b离开循环结构。 (2)另一类是直到型循环结构,如下图所示,它的功能是先执行,然后判断给定的条件P2是否成立,如果P2仍然不成立,则继续执行A框,直到某一次给定的条件P2成立为止,此时不再执行A框,从b点离开循环结构。 例4: 设计一个计算1+2+…+100的值的算法,并画出程序框图。 算法分析: 只需要一个累加变量和一个计数变量,将累加变量的初始值为0,计数变量的值可以从1到100。 程序框图: 1.2算法的基本语句 (一)输入语句 在该程序中的第1行中的INPUT语句就是输入语句。 这个语句的一般格式是: INPUT“提示内容”;变量 其中,“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息。 如每次运行上述程序时,依次输入-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,计算机每次都把新输入的值赋给变量“x”,并按“x”新获得的值执行下面的语句。 INPUT语句不但可以给单个变量赋值,还可以给多个变量赋值,其格式为: INPUT“提示内容1,提示内容2,提示内容3,…”;变量1,变量2,变量3,… 例如,输入一个学生数学,语文,英语三门课的成绩,可以写成: INPUT“数学,语文,英语”;a,b,c 注: ①“提示内容”与变量之间必须用分号“;”隔开。 ②各“提示内容”之间以及各变量之间必须用逗号“,”隔开。 但最后的变量的后面不需要。 (二)输出语句 在该程序中,第3行和第4行中的PRINT语句是输出语句。 它的一般格式是: PRINT“提示内容”;表达式 同输入语句一样,表达式前也可以有“提示内容”。 例如下面的语句可以输出斐波那契数列: 此时屏幕上显示: TheFibonacciProgressionis: 11235813213455… 输出语句的用途: (1)输出常量,变量的值和系统信息。 (2)输出数值计算的结果。 〖思考〗: 在1.1.2中程序框图中的输入框,输出框的内容怎样用输入语句、输出语句来表达? (学生讨论、交流想法,然后请学生作答) 参考答案: 输入框: INPUT“请输入需判断的整数n=”;n 输出框: PRINTn;“是质数。 ” PRINTn;“不是质数。 ” (三)赋值语句 用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句。 除了输入语句,在该程序中第2行的赋值语句也可以给变量提供初值。 它的一般格式是: 变量=表达式 赋值语句中的“=”叫做赋值号。 赋值语句的作用: 先计算出赋值号右边表达式的值,然后把这个值赋给赋值号左边的变量,使该变量的值等于表达式的值。 注: ①赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式。 如: 2=X是错误的。 ②赋值号左右不能对换。 如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。 ③不能利用赋值语句进行代数式的演算。 (如化简、因式分解、解方程等) ④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。 〖思考〗: 在1.1.2中程序框图中的输入框,哪些语句可以用赋值语句表达? 并写出相应的赋值语句。 (学生思考讨论、交流想法。 ) 【例题精析】 〖例1〗: 编写程序,计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩。 分析: 先写出算法,画出程序框图,再进行编程。 算法: 程序: INPUT“数学=”;a INPUT“语文=”;b INPUT“英语=”;c y=(a+b+c)/3 PRINT“Theaverage=”;y END 开始 输入a,b,c 结束 输出y 〖例2〗: 给一个变量重复赋值。 程序: [变式引申]: 在此程序的基础上,设计一个程序,要求最后A的输出值是30。 (该变式的设计意图是学生加深对重复赋值的理解) 程序: 〖例3〗: 交换两个变量A和B的值,并输出交换前后的值。 分析: 引入一个中间变量X,将A的值赋予X,又将B的值赋予A,再将X的值赋予B,从而达到交换A,B的值。 (比如交换装满水的两个水桶里的水需要再找一个空桶) 程序: 〖补例〗: 编写一个程序,要求输入一个圆的半径,便能输出该圆的周长和面积。 ( 取3.14) 分析: 设圆的半径为R,则圆的周长为 ,面积为 ,可以利用顺序结构中的INPUT语句,PRINT语句和赋值语句设计程序。 程序: (四)条件语句 条件语句的作用: 在程序执行过程中,根据判断是否满足约定的条件而决定是否需要转换到何处去。 需要计算机按条件进行分析、比较、判断,并按判断后的不同情况进行不同的处理。 算法中的条件结构是由条件语句来表达的,是处理条件分支逻辑结构的算法语句。 它的一般格式是: (IF-THEN-ELSE格式) 当计算机执行上述语句时,首先对IF后的条件进行判断,如果条件符合,就执行THEN后的语句1,否则执行ELSE后的语句2。 其对应的程序框图为: (如上右图) 在某些情况下,也可以只使用IF-THEN语句: (即IF-THEN格式) 〖例2〗: 编写程序,使得任意输入的3个整数按从大到小的顺序输出。 算法分析: 用a,b,c表示输入的3个整数;为了节约变量,把它们重新排列后,仍用a,b,c表示,并使a≥b≥c.具体操作步骤如下。 第一步: 输入3个整数a,b,c. 第二步: 将a与b比较,并把小者赋给b,大者赋给a. 第三步: 将a与c比较.并把小者赋给c,大者赋给a,此时a已是三者中最大的。 第四步: 将b与c比较,并把小者赋给c,大者赋给b,此时a,b,c已按从大到小的顺序排列好。 第五步: 按顺序输出a,b,c. (四)循环语句 满足条件? 循环体 是 否 算法中的循环结构是由循环语句来实现的。 对应于程序框图中的两种循环结构,一般程序设计语言中也有当型(WHILE型)和直到型(UNTIL型)两种语句结构。 即WHILE语句和UNTIL语句。 (1)WHILE语句的一般格式是: 其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。 WHLIE后面的“条件”是用于控制计算机执行循环体或跳出循环体的。 当计算机遇到WHILE语句时,先判断条件的真假,如果条件符合,就执行WHILE与WEND之间的循环体;然后再检查上述条件,如果条件仍符合,再次执行循环体,这个过程反复进行,直到某一次条件不符合为止。 这时,计算机将不执行循环体,直接跳到WEND语句后,接着执行WEND之后的语句。 因此,当型循环有时也称为“前测试型”循环。 其对应的程序结构框图为: (如上右图) 〖思考〗: 直到型循环又称为“后测试型”循环,参照其直到型循环结构对应的程序框图,说说计算机是按怎样的顺序执行UNTIL语句的? (让学生模仿执行WHILE语句的表述) 从UNTIL型循环结构分析,计算机执行该语句时,先执行一次循环体,然后进行条件的判断,如果条件不满足,继续返回执行循环体,然后再进行条件的判断,这个过程反复进行,直到某一次条件满足时,不再执行循环体,跳到LOOPUNTIL语句后执行其他语句,是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。 〖提问〗: 通过对照,大家觉得WHILE型语句与UNTIL型语句之间有什么区别呢? (让学生表达自己的感受) 区别: 在WHILE语句中,是当条件满足时执行循环体,而在UNTIL语句中,是当条件不满足时执行循环体。 【例题精析】 〖例3〗: 编写程序,计算自然数1+2+3+……+99+100的和。 分析: 这是一个累加问题。 我们可以用WHILE型语句,也可以用UNTIL型语句。 由此看来,解决问题的方法不是惟一的,当然程序的设计也是有多种的,只是程序简单与复杂的问题。 程序: WHILE型: UNTIL型: 1.3算法案例 辗转相除法: 1.辗转相除法 例1求两个正数8251和6105的最大公约数。 (分析: 8251与6105两数都比较大,而且没有明显的公约数,如能把它们都变小一点,根据已有的知识即可求出最大公约数) 解: 8251=6105×1+2146 显然8251的最大公约数也必是2146的约数,同样6105与2146的公约数也必是8251的约数,所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0 则37为8251与6105的最大公约数。 以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。 也叫欧几里德算法,它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。 利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下: 第一步: 用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0; 第二步: 若r0=0,则n为m,n的最大公约数;若r0≠0,则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1; 第三步: 若r1=0,则r1为m,n的最大公约数;若r1≠0,则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2; …… 依次计算直至rn=0,此时所得到的rn-1即为所求的最大公约数。 练习: 利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数(答案: 53) 2.更相减损术 我国早期也有解决求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。 更相减损术求最大公约数的步骤如下: 可半者半之,不可半者,副置分母·子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之。 翻译出来为: 第一步: 任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。 若是,用2约简;若不是,执行第二步。 第二步: 以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。 继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。 例2用更相减损术求98与63的最大公约数. 解: 由于63不是偶数,把98和63以大数减小数,并辗转相减,即: 98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21 21-7=14 14-7=7 所以,98与63的最大公约数是7。 练习: 用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。 (答案: 12) 3.比较辗转相除法与更相减损术的区别 (1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 (2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到,而更相减损术则以减数与差相等而得到 4.辗转相除法与更相减损术计算的程序框图及程序 利用辗转相除法与更相减损术的计算算法,我们可以设计出程序框图以及BSAIC程序来在计算机上实现辗转相除法与更相减损术求最大公约数,下面由同学们设计相应框图并相互之间检查框图与程序的正确性,并在计算机上验证自己的结果。 (1)辗转相除法的程序框图及程序 程序框图: 程序: INPUT“m=”;m INPUT“n=”;n IFm m=n n=x ENDIF r=mMODn WHILEr<>0 r=mMODn m=n n=r WEND PRINTm END 3.秦九韶计算多项式的方法 例设计利用秦九韶算法计算5次多项式 当 时的值的程序框图。 解: 程序框图如下: 4.排序 直接插入排序: 冒泡排序: 进位制互相转化: 把余数从下往上排列即可。 第二章统计 2.1随机抽样 简单随机抽样的概念: 一般地,设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样,这样抽取的样本,叫做简单随机样本。 【说明】简单随机抽样必须具备下列特点: (1)简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的。 (2)简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N。 (3)简单随机样本是从总体中逐个抽取的。 (4)简单随机抽样是一种不放回的抽样。 (5)简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为n/N。 最常用的简单随机抽样法: 抽签法的定义。 一般地,抽签法就是把总体中的N个个体编号,把号码写在号签上,将号签放在一个容器中,搅拌均匀后,每次从中抽取一个号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本。 抽签法的一般步骤: (1)将总体的个体编号。 (2)连续抽签获取样本号码。 随机数法的定义: 利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样,叫随机数表法,这里仅介绍随机数表法。 怎样利用随机数表产生样本呢? 下面通过例子来说明,假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标,现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验,利用随机数表抽取样本时,可以按照下面的步骤进行。 第一步,先将800袋牛奶编号,可以编为000,001,…,799。 第二步,在随机数表中任选一个数,例如选出第8行第7列的数7(为了便于说明,下面摘取了附表1的第6行至第10行)。 162277943949544354821737932378 844217533157245506887704744767 630163785916955567199810507175 332112342978645607825242074438 576086324409472796544917460962 87352096438426349164 21
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