第三章 第一次课 概率的基础知识.docx

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第三章第一次课概率的基础知识

授课章节

第三章概率与概率分布

授课对象

生物科学本科

授课时数

10学时

授课时间

第三学年下学期

授课地点

教学楼

教学目的与要求

教学目标：

掌握概率的统计学定义；统计数分布的概念和特点；熟悉掌握二项分布、泊松分布、正态分布的概念、特点及概率的计算

教学重点与难点

重点知识：

二项分布、泊松分布、正态分布的特点及概率的计算。

难点：

1小概率事件实际不可能性原理的概念、作用。

2正态分布标准化的概念和方法及标准正态分布的概率计算方法

教学方法与组织安排

教学方法：

课堂讲授为主，课堂提问、CAI课件为辅。

时间安排：

教师讲授本章课内容450分钟，分5次讲授。

教学方法

讲授、ＣＡＩ课件、举例。

教具

多媒体

教学提纲、课堂小结与课后练习

一、教学提纲

1概率的基础知识：

事件、频率、概率；概率的计算；概率分布（离散性随机变量的概率分布、连续性随机变量的概率分布）；大数定律。

2几种常见的理论分布

2.1.二项分布的概念、特征、应用

2.2.Poisson分布的概念、特征、应用

2.3.正态分布的概念

2.4.正态曲线下面积的分布规律

2.5.标准正态分布、正态分布的应用

3统计数的分布

3.1抽样试验与无偏估计的概念

3.2样本平均数的分布的基本性质

3.3样本平均数差数分布的基本性质

3.4t分布的特征

3.5卡方分布的特征

3.6F分布的特征

二、课堂小结

1.随机变量的概率分布是统计中极为重要的基本概念。

本章介绍了三个最常用的分布模型,包括离散型变量的二项分布、Poisson分布以及连续性变量的正态分布。

2.如果每一次试验只有阳性或阴性两种可能的结果；每次试验阳性结果的发生概率均为p，阴性结果的发生概率均为（1-p）；每次试验结果是相互独立的，那么,重复n次试验，发生阳性结果的次数Ｘ的概率分布称为二项分布。

二项分布用于描述二项分类变量两种观察结果出现的规律。

发生概率p（或1-p）很小，而观察例数n很大时的二项分布近似于Poisson分布。

3.正态分布是一种很重要的连续性分布。

很多生物现象都近似地服从正态分布，正态分布也是许多统计方法的理论基础。

4.确定正态分布的两个参数是均数μ和标准差σ。

为了应用方便对任意一个正态分布随机变量Ｘ作正态离差变换，将其转换为标准正态分布。

5.应用正态分布曲线下面积的分布规律，可估计生物参考值范围、进行质量控制。

6样本平均数分布的基本性质：

1）样本平均数分布的平均数等于总体平均数；2）样本平均数分布的方差等于总体方差除以样本容量；3）如果从正态总体中N（μ,σ2）进行抽样，其样本平均数是一个具有平均数μ、方差σ2/n的正态分布；4）如果被抽样总体不是正态总体，但具有平均数μ和方差σ2，当样本容量n不断增大，其样本平均数的分布也越来越接近正态分布，且具有平均数μ、方差σ2/n，这称为中心极限定理。

三、课后练习

1什么是频率？

什么是概率？

频率如何转化为概率？

2解释随机事件、不可能事件、必然事件。

3什么是正态分布？

其曲线有什么特点？

μ和σ对曲线有何影响？

教学内容与组织安排：

第三章概率与概率分布

介绍本章教学目标，回忆平均数、方差计算及特性，引出本章内容。

要求：

掌握随机事件（事件）、必然事件、不可能事件的概念；概率的概念及其性质；小概率事件及小概率原理；正态分布的定义、特点及其标准化；正态分布条件下概率计算以及几个重要的特殊概率；二项分布的定义、特点和概率计算以及总体平均数和标准差的计算；样本平均数的抽样分布；标准误的概念、标准误与标准差的区别与联系。

了解概率的客观性；离散型和连续型随机变量的概率分布及其性质；正态分布表的使用；泊松分布及其应用；三种分布的联系；t分布及其曲线的特点。

第一节：

概率基础知识

本次课要求：

重点掌握随机事件（事件）、必然事件、不可能事件的概念；概率的计算，概率分布、大数定律。

难点：

离散型随机变量的概率分布和连续型随机变量的概率分布

一、概率的概念

（一）事件

定义：

在一定条件下，某种事物出现与否就称为是事件。

自然界和社会生活上发生的现象是各种各样的，常见的有两类。

一类是确定性事件：

在一定条件下必然出现某种结果或必然不出现某种结果。

分为必然事件和不可能事件

另一类是随机事件（randomevent）或不确定事件：

在一定条件下可能发生也可能不发生通常称事件。

为了研究随机现象，需要进行大量重复的调查、实验、测试等，这些统称为试验。

（二）频率

若在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A出现的次数m称为事件A出现的频数，比值m/n称为事件A出现的频率（frequency），记为W（A）=m/n。

0≤W（A）≤1

表3-1玉米种子发芽试验结果

种子总数（n）1020501002005001000

发芽种子数（m）9194791186458920

种子发芽率（m/n）0.9000.9500.9400.9100.9300.9180.920

种子发芽与否是不能事先确定的，但从表中可以看出，试验随着n值的不同，种子发芽率也不相同，当n充分大时，发芽率在0.92附近摆动。

频率表明了事件频繁出现的程度，因而其稳定性说明了随机事件发生的可能性大小，是其本身固有的客观属性，提示了隐藏在随机现象中的规律性。

（三）概率

概率的统计定义：

设在相同的条件下，进行大量重复试验，若事件A的频率稳定地在某一确定值p的附近摆动，则称p为事件A出现的概率。

P（A）=p

在一般情况下，随机事件的概率P是不可能准确得到的。

通常以试验次数n充分大时，随机事件A的频率作为该随机事件概率的近似值。

二、概率的计算

一）事件的相互关系

1和事件

事件A和事件B中至少有一个发生而构成的新事件称为事件A和事件B的和事件，记作A+B。

n个事件的和，可表示为A1+A2+…+An

2积事件

事件A和事件B中同时发生而构成的新事件称为事件A和事件B的积事件，记作A•B。

n个事件的积，可表示为A1•A2•…•An

3互斥事件（互不相容事件）

事件A和事件B不能同时发生，则称这两个事件A和B互不相容或互斥。

A•B=V，n个事件两两互不相容，则称这n个事件互斥。

4对立事件

事件A和事件B必有一个发生，但二者不能同时发生，且A和B的和事件组成整个样本空间。

即A+B=U，AB=V。

我们称事件B为事件A的对立事件。

5独立事件

事件A和事件B的发生无关，事件B的发生与事件A的发生无关，则事件A和事件B为独立事件。

如果多个事件A1、A2、A3、…、An彼此独立，则称之为独立事件群。

6完全事件系

如果多个事件A1、A2、A3、…、An两两互斥，且每次试验结果必然发生其一，则称事件A1、A2、A3、…、An为完全事件系。

完全事件系的和事件概率为１，任何一个事件发生的概率为1/n。

即：

　　　　P（A1＋A2＋…＋An）＝１

二）概率的计算法则

1互斥事件加法定理

定理:

若事件A与B互斥，则P（A+B）=P（A）+P（B）

试验的全部结果包含n个基本事件，事件A包含其中m1个基本事件，事件B包含其中m2个基本事件。

由于A和B互斥，因而它们各包含的基本事件应该完全不同。

所以事件A＋B所包含的基本事件数为m1+m2。

P（A+B）=m1+m2/n=m1/n+m2/n=P（A）+P（B）

推理1P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）

推理2P（A）=1-P（A）

推理3完全事件系的和事件的概率为1。

例：

玉米田中，一穗株（A）占67.2%，双穗株（B）占30.7%，空穗株（C）占2.1%，试计算一穗株和双穗株的概率

解：

P（A+B）=P（A）+P（B）=0.672+0.307=0.979

或因为P（A）+P（B）+P（C）=1

P（A+B）=1-P（C）=1-0.021=0.979

2独立事件乘法定理

定理:

事件A和事件B为独立事件，则事件A与事件B同时发生的概率为各自概率的乘积。

P（AB）=P（A）P（B）

推理：

A1、A2、…An彼此独立，则P（A1A2A3…An）=P（A1）P（A2）P（A3）…P（An）

例:

播种玉米，种子的发芽率为90%，每穴两粒，则：

A:

第一粒种子发芽，P（A）=0.9，P（A）=0.1

B:

第二粒种子发芽，P（B）=0.9，P（B）=0.1

求：

C:

两粒种子均发芽，C=AB，P（C）=P（A）P（B）=0.81

D:

一粒种子发芽：

D=AB+AB，P（D）＝0.9*0.1+0.1*0.9=0.18

E:

两粒种子均不发芽：

E=AB，P（E）＝P（A）P（B）=0.1*0.1=0.01

三概率分布

一）、离散型变量的概率分布

要了解离散型随机变量x的统计规律，必须知道它的一切可能值xi及其每种可能值的概率pi。

对离散型变量x的一切可能值xi（i=1,2,3…）,及其对应的概率pi

P（x=xi）=pi,i=1,2,3…

表3-2某鱼群的年龄组成

年龄（x）1234567

频率（W）0.45970.33350.12540.05070.02150.00800.0012

此表给出了该鱼群年龄构成的全部，我们称之为该鱼群年龄的概率分布。

表婴儿的性别情况表

性别（x）0（男）1（女）

概率（P）0.5170.483

此表列出了性别变量的取值及相应值的概率，揭示了观察婴儿性别试验的统计规律。

用随机变量的可能取值及取相应值的概率来表示随机试验的规律称为随机变量的分布律或概率函数。

表3-3离散型变量的概率分布

变量（x）x1x2x3x4……..xn

概率（P）p1p2p3p4…….pn

P（x=xi）=pi,i=1,2,3…

设离散型变量x的所有一切可能值xi（i=1,2,3…）,取相应值的概率为pi，则P（x=xi）称为离散型随机变量x的概率函数。

二）、连续型变量的概率分布

当试验资料为连续型变量，一般通过分组整理成频率分布表。

如果从总体中抽取样本的容量n相当大，则频率分布就趋于稳定，我们将它近似地看成总体概率分布。

1）直方图中同一组内的频率是相等的。

2）直方图中每一矩形的面积就表示该组的频率。

图3.1鲢鱼体长的频率分布图

3）当n无限大时，频率转化为概率，频率密度也转化为概率密度，阶梯形曲线也就转化为一条光滑的连续曲线，这时频率分布也就转化为概率分布了，此曲线为总体的概率密度曲线，曲线函数f（x）称为概率密度函数。

4）对于一个连续型随机变量x，取值于区间[a,b]内的概率为函数f（x）从a到b的积分，即：

连续型随机变量的概率由概率分布密度函数所确定。

概率密度函数f（x）曲线与x轴所围成的面积为1。

四）：

大数定律

大数定律：

是概率论中用来阐述大量随机现象平均结果稳定性的一系列定律的总称。

主要内容：

样本容量越大，样本统计数与总体参数之差越小。

1贝努里大数定律

设m是n次独立试验中事件A出现的次数，而p是事件A在每次试验中出现的概率，则对于任意小的正数ε，有如下关系：

2辛钦大数定律

设x1,x2,x3,…,xn是来自同一总体的变量，对于任意小的正数ε，有如下关系：

内容小结、布置作业、复习及预习内容

1、什么是随机试验？

它具有那三个特征？

2、什么是必然事件、不可能事件、随机事件?

3、概率的统计定义及古典定义分别是什么?

事件的概率具有那些基本性质？

课后回忆（经验教训、效果估计或反应，存在问题……）：