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完整word版等差数列知识点总结推荐文档
第一讲数列定义及其性质
一、基本概念:
1、通项公式:
;2、前
项和:
3、关系:
二、性质:
1、单调性:
增数列:
;减数列:
;常数列:
2、最值:
3、前
项积
有最大值:
三、几种常见数列:
1、
2、
3、
4、
5、
★随堂训练:
1、已知数列
通项公式是
,那么这个数列是()
A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列
2、已知数列
满足
,
,那么这个数列是()
A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列
3、已知数列
通项公式是
,若对任意
,都有
成立,则实数
的取值范围是()
4、已知数列
通项公式是
是数列
的前
项积,即
,当
取到最大值是,n的值为()
5、设数列
的前
项和
,则
的值是()
等差数列专题
一、等差数列知识点回顾与技巧点拨
1.等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.
2.等差数列的通项公式
若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d=(n-m)d=p.
3.等差中项
如果三个数x,A,y组成等差数列,那么A叫做x和y的等差中项,如果A是x和y的等差中项,则A=
.
4.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:
an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.
(5)S2n-1=(2n-1)an.
(6)若n为偶数,则S偶-S奇=
;
若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).
5.等差数列的前n项和公式
若已知首项a1和末项an,则Sn=
,或等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其前n项和公式为Sn=na1+
d.
6.等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn=
n2+
n,数列{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn(A,B为常数).
7.最值问题
在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值,若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.
一个推导
利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式:
Sn=a1+a2+a3+…+an,①
Sn=an+an-1+…+a1,②
①+②得:
Sn=
.
两个技巧
已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善于设元.
(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,….
(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元
.
四种方法
等差数列的判断方法
(1)定义法:
对于n≥2的任意自然数,验证an-an-1为同一常数;
(2)等差中项法:
验证2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)都成立;
(3)通项公式法:
验证an=pn+q;
(4)前n项和公式法:
验证Sn=An2+Bn.
注:
后两种方法只能用来判断是否为等差数列,而不能用来证明等差数列.
基础训练:
(公式的运用,定义的把握)
1.已知等差数列{an}中,a3=9,a9=3,则公差d的值为( )
A.
B.
1
C.
D.
﹣1
2.已知数列{an}的通项公式是an=2n+5,则此数列是( )
A.
以7为首项,公差为2的等差数列
B.
以7为首项,公差为5的等差数列
C.
以5为首项,公差为2的等差数列
D.
不是等差数列
3.在等差数列{an}中,a1=13,a3=12,若an=2,则n等于( )
A.
23
B.
24
C.
25
D.
26
4.两个数1与5的等差中项是( )
A.
1
B.
3
C.
2
D.
5.(2005•黑龙江)如果数列{an}是等差数列,则( )
A.
a1+a8>a4+a5
B.
a1+a8=a4+a5
C.
a1+a8<a4+a5
D.
a1a8=a4a5
考点1:
等差数列的通项与前n项和
题型1:
已知等差数列的某些项,求某项
【解题思路】给项求项问题,先考虑利用等差数列的性质,再考虑基本量法
【例1】已知
为等差数列,
,则
对应练习:
1、已知
为等差数列,
(
互不相等),求
.
2、已知
个数成等差数列,它们的和为
,平方和为
,求这
个数.
题型2:
已知前
项和
及其某项,求项数.
【解题思路】
⑴利用等差数列的通项公式
求出
及
,代入
可求项数
;
⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出
,代入
可求项数
.
【例2】已知
为等差数列
的前
项和,
,求
对应练习:
3、若一个等差数列的前4项和为36,后4项和为124,且所有项的和为780,求这个数列的项数
.
4、已知
为等差数列
的前
项和,
,则
.
题型3:
求等差数列的前n项和
【解题思路】
(1)利用
求出
,把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.
(2)含绝对值符号的数列求和问题,要注意分类讨论.
【例3】已知
为等差数列
的前
项和,
.
(1)
;⑵求
;⑶求
.
练习:
对应练习:
5、已知
为等差数列
的前
项和,
,求
.
考点2:
证明数列是等差数列
【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有:
1、定义法:
(
,
是常数)
是等差数列;
2、中项法:
(
)
是等差数列;
3、通项公式法:
(
是常数)
是等差数列;
4、项和公式法:
(
是常数,
)
是等差数列.
【例4】已知
为等差数列
的前
项和,
.求证:
数列
是等差数列.
对应练习:
6、设
为数列
的前
项和,
,
(1)常数
的值;
(2)证:
数列
是等差数列.
考点3:
等差数列的性质
【解题思路】利用等差数列的有关性质求解.
【例5】1、已知
为等差数列
的前
项和,
,则
;
2、知
为等差数列
的前
项和,
,则
.
对应练习:
7、含
个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为()
8.设
、
分别是等差数列
、
的前
项和,
,则
.
考点4:
等差数列与其它知识的综合
【解题思路】1、利用
与
的关系式及等差数列的通项公式可求;
2、求出
后,判断
的单调性.
【例6】已知
为数列
的前
项和,
;数列
满足:
,
,其前
项和为
1数列
、
的通项公式;
⑵设
为数列
的前
项和,
,求使不等式
对
都成立的最大正整数
的值.
课后练习:
1.(2010广雅中学)设数列
是等差数列,且
,
,
是数列
的前
项和,则
A.
B.
C.
D.
2.在等差数列
中,
,则
.
3.数列
中,
,当数列
的前
项和
取得最小值时,
.
4.已知等差数列
共有
项,其奇数项之和为
,偶数项之和为
,则其公差是.
5.设数列
中,
,则通项
.
对应练习:
9.已知
为数列
的前
项和,
,
.
1数列
的通项公式;
⑵数列
中是否存在正整数
,使得不等式
对任意不小于
的正整数都成立?
若存在,求最小的正整数
,若不存在,说明理由
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