对称性奇偶性和周期性的综合运用.docx
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对称性奇偶性和周期性的综合运用
对称性、奇偶性和周期性的综合运用
二函数的对称性
(一)函数yf(x)的图象自身对称
1、轴对称
对于函数f(x)的定义域内任意一个X,
f(ax)f(bx)yf(x)
图象关于直线
x(ax)2(bx)a2b对称.
推论1:
f(ax)f(ax)
yf(x)的图象关于
直线xa对称•
推论2:
f(x)f(2ax)
yf(x)的图象关于
直线xa对称•
推论3:
f(x)f(2ax)
yf(x)的图象关于
直线xa对称•
求对称轴方法:
x(ax)2(b
x)ab
2
2、中心对称
f(ax)f(bx)2cyf(x)
(专,C)对称.
对于函数f(x)的定义域内任意一个X,的图象关于点
推论:
f(ax)f(ax)2b
yf(x)的图象关于
点(a,b)对称.
论:
f(x)f(2ax)2b
yf(x)的图象关于
点(a,b)对称.
论:
f(x)f(2ax)2b
yf(x)的图象关于
点(a>b)对称.
求对称中心方法横坐标x『ILA纵坐标y今°
小结:
轴对称与中心对称的区别
轴对称:
f(a+x)=f(b-x)中,自变量系数互为相反数(内反),函数值相等(差为零);
中心对称:
f(a+x)=-f(b-x)+2c中,自变量系数互为相反数(内反),函数值和为定值.
(二)两个函数的图象相互对称
1、函数yf(ax)与函数yf(bx)图象关于直线
x对称;
特别地,函数y=f(a+x)与y=f(a—x)关于直线x=0(y轴)轴对称;
求对称轴方法:
令
a+x=b-x,得
称;
2、函数y=f(a+x)+c与y=—f(b—x)+d关于点(宁,铲)中心对称;
特别地,函数y=f(a+x)与y=—f(a—x)关于点(0,0)(原点)中心对称.
函数y3与函数yf(x)图象关于原点对称函数•
求对称中心方法:
横坐标令a+x=b-x,得ba
x〒,纵坐标y=甘.
二.函数的奇偶性
1.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,
都有f(—X)=f(x)_(f(x)___—f(—x)=0),
那么函数f(x)叫做偶函数•偶函数的图象关
于y车由(x=0)对称.
推论:
若y=f(x+a)为偶函数,则f(x+a)
=f(—x+a),即y=f(x)的图像关于直线x=a轴对称.
2.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(—x)=—f(x)(f(x)+f(—x)=0),
那么函数f(x)叫做奇函数.奇函数的图象关于原点(0,0)对称.
推论:
若y=f(x+a)为奇函数,贝I」f(—x+
a)=—f(a+x),即y=f(x)的图像关于点(a,0)中心对称.
三.函数的周期性
1.定义:
对于f(x>定义域内的任意一个x,都存在非零常数T,使得f(xT)f(x)恒成立,则称函数“)具有周期性,T叫做f<x>的一个周期,则kT(kZ,k0)也是f(x)的周期,所有周期中的最小正数叫『")的最小正周期.
2.推论:
(11)若函数y=f(x)同时关于直线x=a与x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a-b|.
推论:
偶函数yf(x)满足f(ax)f(ax)yf(x)J周T2a
(12)若函数y=f(x)同时关于点(a,0)与点
(b,0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a—b|.
推论:
奇函数yf(x)满足f(ax)f(ax)0yf(x)J周T4a
(13)yf(x)有一条对称轴xa和一个对称中心
(b,0)f(x)的周期T=4|a—b|.
小结:
①函数对称性、奇偶性和周期性定义共
同点:
"对于函数f(x)定义域内任意一个
x;
2对称性、周期性定义中条件,“内反表示对称性,内同表示周期性”;
3定义在R上的函数yf(x),在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中,只要有两条存在,则第三条一定存在•
题型分类
1.求函数值
f(x)是(,
1时,f(x)
)上的奇函数,f(2x)f(x),,则f(7.5)等于(-0.5)
(B)-0.5;(C)
-1.5.
满足条件f(x+1)=f(x-
log-,5)
3
例1.设
当。
x
(A)0.5;
1.5;(D)
例2.偶函数y=f(x)
1),且当x€[—1,0]时,f(x)=3x+9,则f(
0,1
例3.若f(x)(xR)是以2为周期的偶函数,当
t1
时,f(x)X1998,试比较嚅)、f(护、f(1;04)的大小.
乙1
解:
f(x)(xR)是以2为周期的偶函数,又f(x)x碗在0,1上是增函数,且0舟曙黑1,
D.1
解:
由于偶函数
-1),,说明函数的周期为2,f(-x)=f(x)
X€[-1,0]时,f(x)
y=f(x)
满足条件f(x+1)=f(x
当
=3+4,则对于log25=-log35,
f(―)f(I6)f(£),即f(98)f(^04).
171915171915
3、求函数解析式
例4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)=
f(4-x),且当x2.0时,f(x)=—2x+1,求当x4,6时求f(x)的解析式.
例5.设f(x)是定义在(,)上以2为周期的周期函数,且f(x)是偶函数,在区间2‘3上,f(x)2(x3)24.求x1,2时,f(x)的解析式.
解:
当x3,2,即x2,3,
f(x)f(x)2(x3)242(x3)24
x1,2
又f(x)是以2为周期的周期函数,于是当即3x42时,
有f(x)f(x4)
f(x)2(x4)3242(x1)24(1x2).
f(x)2(x1)4(1x2).
4、判断(证明)函数性质
x)f(2x)对
(2x)f(2x)
例6.已知foo的周期为4,且等式f(2任意xR均成立,
判断函数f(x)的奇偶性.
解:
由f(x)的周期为4,得f(x)f(4x),由得
f(x)f(4x),f(x)f(x),故f(x)为偶函数.
且满足
例7.已知f(x)是定义在R上的函数,
1
f(x+999)=帀,f(999+x)=f(999—x),试
判断函数f(x)的奇偶性.
例8.已知f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)=f(4-x),且当x2,0时,f(x)是减函数,求证当x4,6时f(x)为增函数
x24x140
解:
设4xx26则2•••f(x)在[-2,0]上是减函数•••
f(X24)f(xi4)
又函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)=f(4-x),类比命题3
(1)知函数f(x)的周期为4
故f(x+4)=f(x)f(x2)f(xj
f(-x)=f(x).f(X2)f(xi)
故当x4,6时f(x)为增函数
例9.设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于x=1对称,证明f(x)是周期函数
例10.设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(10
+x)=f(10—x),f(20—x)=—f(20+x),则f(x)是(C)
A.偶函数,又是周期函数B•偶函数,
但不是周期函数
C.奇函数,又是周期函数D.奇函数,
但不是周期函数
例11.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且
满足对任意x€R都有f(2+x)=-f(x),又当x€[-1,1]时f(x)=x
⑴证明:
直线x=1是f(x)图像的一条对称轴;
⑵当x€[1,5]时,求函数f(x)的解析式.
判断函数的单调性
5、确定函数零点个数
例12.设函数f(x)对任意实数x满足f(2x)f(2x),f(7x)f(7x),且f(0)0,判断函
数f(x)图象在区间30,30上与x轴至少有多少个交占丿J八\、・
解:
由题设知函数f(x)图象关于直线x2和x7对称,又由函数的性质得
f(x)是以10为周期的函数•在一个周期区间0,10上,
f(0)0,f(4)f(22)f(22)f(0)0且f(x)不能恒为零,
故f(x)图象与x轴至少有2个交点•
而区间30,30有6个周期,故在闭区间30,30上f(x)图象与x轴至少有13个交点•
6、求参数的值(范围)
例13.①若函数f(x)=|x+a|,且f(x)满足对
x€R都有f(3+x)=f(2-x),则实数a=.
②若函数f(x)=(x+a)3,且f(x)满足对x€R
都有f(3+x)=-f(2-x),则实数a=.
例14.f(x)满足f(x)=-f(6-x),f(x)=f(2-x),
若f(a)=-f(20OO),a€[5,9]且f(x)在[5,
9]上单调.求a的值.
例15.设fx是定义在R上的奇函数,且当x0时,fxx2.若对任意的xa,a2,
不等式fxaf42x恒成立,则实数a的取值范围是()
A.aoB.a<2C.a\2
D・a0
7.两个函数图像的对称性
例16.函数y=f(x)是定义在实数集R上的函
数,那么y=—f(x+4)与y=f(6—x)的图象之间(D)
A.关于直线x=5对称B•关于直线x=1对称
C.关于点(5,0)对称D.关于点(1,0)对称解:
据复合函数的对称性知函数y=—f(x+4)与y=f(6—x)之间关于点((6—4)12,0)即(1,0)中心对称,故选D.
例17.求与函数y=lg(l+x)的图像关于点(2,1)成中心对称的函数解析式.
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- 对称性 奇偶性 周期性 综合 运用